重庆市2023—2024学年高一上学期期中七校联考数学试题（Word版附解析）

2023—2024学年度高一半期七校联考高一数学试题命题学校：重庆市实验中学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求集合的交集运算.【详解】因为，，所以，，，，所以.故选：B2.函数的定义域为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，列不等式确定函数的定义域.【详解】根据函数的解析式可知，要得到函数的定义域，需满足，得且，即函数的定义域为.故选：C3.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】全称命题的否定是特称命题，则命题：的否定是：故选：D.4.已知幂函数，且，则实数（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先代入求出的值，即可得到函数解析式，再代入求值即可.【详解】因为，且，即，解得，所以，则.故选：A5.设函数，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分别代入求值.【详解】由解析式可知，.故选：D6.函数的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】结合奇函数的图象性质及特殊函数值判断即可.【详解】解：由，得函数为奇函数，排除B项，由，得，则排除C、D两项.故选：A.7.若、是方程的两个根，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先写出韦达定理，再结合对数运算法则，即可求解.【详解】由题意可知，，，则， .故选：B8.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先根据函数的性质，以及零点的位置，确定或的解集，在求解不等式的解集.【详解】在区间上，函数单调递增，且，所以在区间，，在区间，，因为函数为奇函数，所以，在区间，，在区间，，不等式等价于或，所以不等式的解集为.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若实数，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用特殊值判断B、D，根据指数函数的性质判断A，根据幂函数的性质判断C. 【详解】对于A：因为且在定义域上单调递增，所以，故A正确；对于B：当，，满足，但是，故B错误；对于C：因为且在定义域上单调递增，所以，故C正确；对于D：当时与均无意义，故D错误；故选：AC10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（）A.的值域为B.的定义域为C.为周期函数D.为偶函数【答案】BCD【解析】【分析】由所给定义求出函数的定义域与值域，即可判断A、B，根据周期性的定义判断C，根据偶函数的定义判断D.【详解】因为，所以的值域为，定义域为，故A错误，B正确；对于任何一个非零有理数，若为有理数，则也为有理数，则，若为无理数，则也为无理数，则，即任何一个非零有理数都是函数的周期，即为周期函数，故C正确；当为有理数时，为有理数，则，当为无理数时，为无理数，则，故为偶函数，故D正确；故选：BCD11.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件 B.函数与是同一函数C.函数的单调递增区间是D.已知的定义域为，则函数的定义域为【答案】AD【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，求出函数的定义域即可判断B、C，根据抽象函数的定义计算规则判断D.【详解】对于A：由，即，解得或，所以由推得出，故充分性成立，由推不出，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，即A正确；对于B：因为函数，所以，解得，所以函数的定义域为因为，则，解得或，故的定义域为，函数和函数的定义域不同，故不是同一函数，故B错误；对于C：由，解得或，即函数的定义域为，故C错误；对于D：因为函数的定义域为，所以，得，故函数的定义域为，故D正确；故选：AD12.已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（）A.的一个周期为B.在区间上单调递减 C.的图像关于直线对称D.在区间上共有个实根【答案】BCD【解析】【分析】首先利用赋值，确定，再根据周期函数的性质确定函数的周期，判断A；并利用周期和条件判断B；结合条件和对称性的定义，即可判断C；根据一个周期的零点个数，结合周期，即可判断D.【详解】令，则，则，因为函数是R上的偶函数，则，所以，即，那么，所以函数的一个周期为，故A错误；因为函数在区间上是增函数，且为偶函数，则在区间为减函数，函数的周期为12，则函数在区间为减函数，故B正确；因为函数满足，所以函数关于对称，故C正确；根据以上可知，，且在区间上是增函数，为减函数，所以函数在一个周期内有2个零点，，即在区间有168个周期，其中包含336个零点，在区间中，其中，所以在区间有个零点，则在区间有个零点，故D正确.故选：BCD第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则____________.【答案】 【解析】【分析】法一：首先求函数的解析式，再求函数值；法二：直接赋值,求函数值.【详解】法一：令，则，，即.法二：直接令，得.故答案为：14.若、为正实数，且，则的最大值为_______.【答案】【解析】【分析】依题意根据指数幂的运算法则得到，再利用基本不等式计算可得.【详解】因为，即，即，所以，又、为正实数，所以，当且仅当，即、时取等号.故答案为：15.已知集合，，且，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】首先求出集合，再根据二次函数的性质求出集合，最后根据交集的结果计算可得.【详解】因为，，所以，又，所以，即实数的取值范围是.故答案为： 16.已知定义域为R的函数，则满足条件的实数的取值范围是____________.【答案】或.【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再变形不等式，即可求解.【详解】，所以函数为奇函数，且单调递增函数，所以不等式，则，即，解得：或.故答案为：或四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.化简求值（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算可得；（2）根据对数的运算性质计算可得.【小问1详解】. 【小问2详解】.18.设集合，，．（1）若时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先得到集合，再根据补集、交集的定义计算可得；（2）依题意可得Ü，分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围.【小问1详解】当时，所以或，又，所以【小问2详解】因为“”是“”充分不必要条件，所以Ü，当，即，解得，符合题意；当时，则，解得，当时，符合题意，当时，符合题意， 综上可得实数的取值范围为.19.求解下面两题：（1）已知关于的不等式的解集为，求不等的解集；（2）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理，即可求解，再代入不等式，即可求解；（2）由不等式恒成立，转化为，即可求解.【小问1详解】由不等式的解集为，则对于方程的两个根分别为或可知，解得：，则不等式，等价于，解得：，所以不等式的解集为；【小问2详解】若对于任意实数，不等式恒成立，则，解得：20.（1）已知，求的最小值； （2）若，且满足条件，求的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）再利用基本不等式可得答案；（2）再利用基本不等式可得答案．【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即等号成立，所以当时，的最小值为9；（2）因为，，所以，，，则，当且仅当，即，等号成立，所以当，时，的最小值为.21.党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． （1）分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1），（2）产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元.【解析】【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解；（2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解.【小问1详解】设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元由题设，，由图知，故，又，所以．从而，．【小问2详解】设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元，则，令，则，所以，当时，，此时.故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元.22.已知是定义在上的奇函数．（1）求的值；（2）已知函数若函数与在上有两个交点，求实数 的取值范围．【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数定义即得值,还需检验；（2）根据两函数图像有交点等价转化为对应方程由实根，再分离参数，将其转化为直线与新函数的交点问题，结合函数单调性绘制简图即得参数范围.【小问1详解】因是定义在上的奇函数，故解得：此时，故时，是奇函数.小问2详解】由（1）得：由函数与在上有两个交点可知：方程在上有两个实根，即：方程在上有两个实根，设，则，不妨记，依题意，须使函数与在上有两个交点，易知，的图像在上单调递减，在单调递增，（证明见人教A版（2019）第79页例3.）且的值在上恒为正数，故在上单调递增，在单调递减，且时，,如图. 要使函数与在上有两个交点，须使，即实数的取值范围是