江苏省南京市四校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年度第一学期期中调研高一数学试卷本卷：共150分考试时间120分钟一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求.【详解】由题设有，故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，使得D.，使得【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断.【详解】全称命题的否定是特称命题，命题，的否定是，使得，故选：D．3.在下列函数中，与函数表示同一函数（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义，只有两个函数的定义域和对应法则相同，这两个函数才相同，由此对选项一一判断，即可得出答案. 【详解】函数的定义域为，对于A，函数的定义域为，故与函数不是同一函数；对于B，函数的定义域为，可化简为，与函数是同一函数；对于C，函数的定义域为，故与函数不是同一函数；对于D，函数与函数解析式不相同，故与函数不是同一函数.故选：B.4.下列等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可.【详解】解：对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：A5.已知函数，若，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出，则可得，解方程可得的值.【详解】因为，所以， 解得.故选：D6.关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（）A.B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】由且不等于1，由题意得，，解得.故选：D.7.世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得，由此可得.【详解】，，.故选：C.8.已知偶函数在区间上单调递减，则满足实数x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据题意得，进而得，再解不等式即可.【详解】因为偶函数在区间上单调递减，且满足，所以不等式等价于，即，所以，解得，即的取值范围是.故选：C.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题合出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在签题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9.设集合，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系得有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数的定义,任意,存在唯一的与之对应分别判断即可.【详解】根据函数的定义,任意,存在唯一的与之对应,对于A,当时,没有与之对应,故A错误;对于B,满足任意,存在唯一的与之对应,故B正确;对于C,满足任意,存在唯一的与之对应,故C正确; 对于D,当时,均有2个不用的值与之对应,故C错误.故选:BC.10.已知，那么命题的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】解不等式组得命题的充要条件，然后根据集合的包含关系进行判断即可.【详解】解不等式得，解不等式得，所以的充要条件为，A错误；记，因为AÜ，ÜA，AÜ，所以，BD为命题的必要不充分条件，C为命题的充分不必要条件.故选：BD11.已知函数有且只有一个零点，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.若不等式的解集为，则【答案】ABC【解析】【分析】根据函数有且只有一个零点，由，再逐项判断.【详解】解：因为函数有且只有一个零点，所以，即，故A正确；，故B正确；，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；若不等式的解集为，则，故D错误，故选：ABC 12.已知函数，则（）A.是奇函数B.在上单调递增C.方程有两个实数根D.函数的值域是【答案】BCD【解析】【分析】求出函数的定义域，不关于原点对称可判断A，分离常数后可得函数的单调性可判断B，解方程可判断C，分离常数求解函数值域可判断D.【详解】A．函数的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；B．时，，函数在上单调递增，则函数在上单调递减，故在上单调递增，B正确；C．由题可得是方程一个根，时，(舍去)，时，，故C正确；D．时，，时，，当时，，所以函数的值域为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置．13.若函数为奇函数，则a等于________． 【答案】【解析】【分析】由题得且，根据函数是奇函数即得解.【详解】由题得，所以且，又为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝，此时，为奇函数．故答案为：【点睛】本题主要考查奇函数的概念，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14.已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是______．【答案】【解析】【分析】分和讨论，当时，利用判别式即可求解.【详解】当时，由方程解得，集合A只有一个元素；当时，因为集合A中只有一个元素，则，解得.综上，实数的取值的集合为.故答案为：15.已知函数是定义域为的奇函数，在区间上是增函数，当时，的图象如图所示．若，则实数的取值范围是______．【答案】 【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性间的关系进行求解即可.【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，故可化为，即，当，时，由图象可知，，当，时,根据奇函数图象的对称性可知，故的取值范围为.故答案为：16.若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为______，实数的取值范围为______.【答案】①.3②.【解析】【分析】计算该不等式，然后辨别两个端点的大小并确定之间的整数，最后计算即可.【详解】令可得由，所以所以不等式的解集为依题可知：不等式有且只有两个整数解所以这两个整数解为：1，2所以这两个整数解之和为3 满足，又，所以故答案为：3，.四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数的定义域是，集合.（1）若，求，；（2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)根据函数解析式，求出集合,然后利用集合的运算即可求解；(2)将条件进行等价转化，也即，列出条件成立的不等式组，解之即可.【小问1详解】要使函数有意义，则有，解得，故.若，则，，.【小问2详解】由（1）知：，若命题“”是真命题，则.，故实数的取值范围是.18.化简求值：（1）计算：（2）已知，求的值． 【答案】（1）2；（2）7.【解析】【分析】（1）应用对数的运算性质化简求值；（2）由指数幂的运算性质求得，结合因式分解求目标式的值.【小问1详解】.【小问2详解】，则，故.19.已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求、的值；（2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得的值，结合可得出的值；（2）任取、，且，作差，通分、因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立.【小问1详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，在上恒成立，即在上恒成立，即恒成立，则，所以，，又因为，即，所以.故，. 【小问2详解】证明：由（1）可得，任取、，且，则，，则，即，所以函数在区间上单调递增．20.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围48m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使每间虎笼面积为36，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？【答案】（1）长为6m,宽为4m时，面积最大值为；（2）长为、宽为时，钢筋网总长最小为.【解析】【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值.（2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值.【小问1详解】解：设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，则，所以，即，所以，当，即时等号成立.所以每间虎笼的长为6m,宽为4m时，面积的最大值为；【小问2详解】 解：设长，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，则钢筋网总长为，所以钢筋网总长最小为，当且仅当，即时，等号成立.所以当每间虎笼的长为、宽为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小为.21.已知二次函数满足下列两个条件：①的解集为；②的最小值为（1）求的值；（2）求关于的不等式的解集．【答案】（1），，；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据不等式解集和最值列方程组求解可得；（2）分、、三种情况讨论即可.【小问1详解】由条件知：，由①知：的两根为，所以，由②结合对称性可知：联立，解得.小问2详解】因为，即，化简得， 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．22.已知函数．（1）当时，求的值域；（2）若存在，使得不等式成立，求a的取值范围；（3）讨论函数在上的最小值．【答案】（1）（2）（3）答案见解析,【解析】【分析】（1）分段函数分别求值域即可；（2）分离参数，结合基本不等式，即可求得的范围；（3）对二次函数对称轴的情况分类讨论即可.【小问1详解】当时，,时，，当时有最小值1，时，，此时，故的值域为【小问2详解】由得：（*）当时，（*）显然不成立当时，又 当且仅当即或时等号成立则，即，所以a的取值范围为.【小问3详解】由题知,当时，，当时，的最小值为,当时，,即时，即时，当时，，在上的最小值为,当时，，，所以,当时，，，所以,当时，，，所以.综上可知：当时，当时，当时，