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江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题(Word版附解析)

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2023-2024学年第一学期期中六校联合调研试题高一数学本试卷共4页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组,由此可解得函数的定义域.【详解】对于函数,有,解得且,故函数的定义域为.故选:C.2.下列各组表示同一函数的是() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】A选项,对应法则不同,BD选项,定义域不同,C选项,定义域和对应关系相同.【详解】A选项,,故不是同一函数,A错误;B选项,的定义域为R,的定义域为,故不是同一函数,B错误;C选项,,且的定义域都为,故是同一函数,C正确;D选项,的定义域为R,的定义域为,D错误.故选:C3.已知函数,则=()A.1B.3C.-3D.-1【答案】B【解析】【分析】计算出,从而求出.【详解】,.故选:B4.“”是“”的()条件A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】利用不等式性质可判断充分性,举反例可判断必要性. 【详解】由不等式性质可知,若,则有,取,显然,但不满足,所以“”是“”的充分不必要条件.故选:B5.已知函数,若函数在上单调递增,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的单调性的判定方法,列出不等式组,即可求解.【详解】由函数在上单调递增,则,解得,即实数的取值范围为.故选:.6.函数的图象大致是()AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及函数值求解. 【详解】函数的定义域为,,所以函数为偶函数,C,D错误;又因为,当时,,;当时,;当时,,,故A错误,B满足题意;故选:B.7.设是偶函数,且对任意的、,有,,则的解集为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析函数的单调性,由可得,分、两种情况讨论,结合函数的单调性可得出原不等式的解集.【详解】对任意的、,有,不妨设,则,,则,所以,函数在上为增函数,又因为函数为偶函数,则该函数在上为减函数,因为,则,由知, 当时,,可得;当时,,可得,所以,不等式的解集为.故选:D.8.任何正实数N可以表示成,此时,则在小数点后第()位开始出现非零数字?(参考数据:)A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】计算的值,由此确定的位数.【详解】在小数点后第7位开始出现非零数字.故选:D.二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知,若,,,则下列不等式正确的是()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】依题意可得且,再根据不等式的性质判断即可.【详解】因为,,,所以且,则,故A、C正确;所以,所以,故D正确;当,时满足且,但是,故B错误; 故选:ACD10.设函数、的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论一定正确的是()A.是奇函数B.是偶函数C.是偶函数D.是偶函数【答案】BD【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义逐项判断,可得出合适的选项.【详解】因为函数、的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,对于A选项,设,则该函数的定义域为,,所以,函数不是奇函数,A错;对于B选项,令,则该函数的定义域为,,所以,函数是偶函数,B对;对于C选项,令,则该函数的定义域为,,所以,函数为奇函数,C错;对于D选项,令,则该函数的定义域为,,所以,是偶函数,D对.故选:BD.11.下列选项中正确的有()A.若集合,且,则实数的取值所组成的集合是.B.若不等式的解集为,则不等式的解集为 .C.已知函数的定义域是,则的定义域是.D.已知一元二次方程的两根都在内,则实数的取值范围是.【答案】BCD【解析】【分析】对于A,利用分类讨论思想,建立方程,可得答案;对于B,根据一元二次不等式与方程的关系,利用韦达定理,可得答案;对于C,根据函数定义域的定义,建立不等式,可得答案;对于D,根据一元二次方程的根的判别式,结合二次函数的性质,可得答案.【详解】对于A,当时,方程无解,则;当时,由方程,解得,可得或,解得或,综上所述,解集为,故A错误;对于B,由题意可知:方程的解为,且,由韦达定理可得,,则,,解得,,则不等式为由,则不等式变为,解得,故B正确;对于C,由题意可得,则,所以函数的定义域为,对于函数,则,解得,所以其定义域为,故C正确;对于D,由题意可得,解得或,设,其对称轴为,则,解得,,,解得,综上所述,的取值范围为,故D正确.故选:BCD. 12.已知定义在上的函数满足:,且当时,,下列说法正确的是(    )A.的值域为B.在上为减函数C.在上有唯一的零点D.若方程有4个不同的解,且,则的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】根据题意作出函数图象,借助数形结合求解即可.【详解】由知函数的图象关于直线对称,当且时,,作出函数的图象如下:由图象知,的值域为,故选项A正确;在上为增函数,故选项B错误;是在上的唯一零点,故选项C正确;对于选项D,作出函数的图象如图所示,要使方程有4个不同的解,则.因为函数的图象关于直线对称,所以函数的图象也关于直线对称,所以.由得,其关于直线的对称值为,故,所以 ,故选项D错误.故答案为:AC.【点睛】关键点点睛:判断选项A,B,C关键是作出函数的图象,因为的图象关于关于直线对称,所以只需分析并作出时的函数图象再关于直线对称即可;判断D选项的关键是数形结合和确定的取值范围,先求解在上的根,再根据对称性变换即可.第II卷(非选择题共90分)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若命题“,使得”是真命题,则实数的取值范围是_____.【答案】或【解析】【分析】分析可得出,即可解得实数的取值范围.【详解】因为命题“,使得”是真命题,则,解得或,因此,实数的取值范围是或.故答案为:或.14.函数的值域是_____.【答案】【解析】【分析】利用换元法,转化为二次函数求值域.【详解】换元法:令,则, 所以,所以当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,所以,所以函数的值域为,即函数的值域是,故答案为:.15.若实数满足,且,则实数值为__________.【答案】【解析】【分析】现结合指数与对数的互化公式,表示出,再结合换底公式表示出,最后结合对数运算即可求解【详解】由可得,又,即,求得故答案为:【点睛】本题考查指数和对数的互化,换底公式的用法,对数的运算性质,属于基础题16.已知函数,,若,,使得,则的取值范围是______.【答案】##【解析】【分析】由题意可得.后确定最小值,通过讨论确定函数的单调性进而确定最小值,计算即可得答案.【详解】因为函数,,若,,使得,所以, ,令,因为,所以,因为在上单调递减,所以在上的最小值为,的对称轴为,当时,即,在区间上单调递增,所以的最小值为,所以,解得;当时,即,在区间上单调递减,所以的最小值为,所以,解得;当时,即,在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以的最小值为,因为成立,所以;综上所诉:的取值范围是.故答案为:.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算下列各式:(1);(2).【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用指数幂的运算性质、根式的运算性质以及对数恒等式计算可得出所求代数式的值;(2)利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.18.已知集合,.(1)当时,求;(2),,若是的必要且不充分条件,求实数的取值范围.【答案】18.19.【解析】【分析】(1)当时,求出集合,利用补集和交集的定义可求得集合;(2)求出集合,分析可知,可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】当时,集合,则或,又因为,故.【小问2详解】因为,则,则,所以,,因为是的必要且不充分条件,则,所以,,解得当时,,满足, 当时,,满足,综上所述,.19.已知.(1)求的最小值(2)求的最小值.【答案】(1)(2)2【解析】【分析】(1)利用对数运算得到,从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解;(2)法一:利用换元法,结合基本不等式即可得解;法二:用表示,再利用配凑法,结合基本不等式即可得解.【小问1详解】由得,即,,则,因为,所以,当且仅当,即时取得“=”,所以的最小值为.【小问2详解】法一:令,则,,故由可得,整理得,, 当且仅当,即,即时取“=”,所以的最小值为2.法二:由可得,又,,当且仅当,即时取得“=”,所以的最小值为2.20.从以下三个条件中任意选择一个条件,“①设是奇函数,是偶函数,且;②已知;③若是定义在上的偶函数,当时,”,并解答问题:(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.)(1)求函数的解析式;(2)判断并用定义证明函数在上的单调性;(3)当时,函数满足,求实数的取值范围.【答案】(1)条件选择见解析,答案见解析(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)选①,根据函数奇偶性的定义可得出关于、的方程组,即可解得函数的解析式; 选②,由,得出,即可解出函数的解析式;选③,由,得,可求出的表达式,再利用偶函数的性质可求出函数在时解析式,即可得出函数的解析式;(2)任取、且,作差,因式分解后判断的符号,结合函数单调性的定义即可证得结论成立;(3)利用函数在区间上的单调性,以及,即可得出关于实数的不等式组,即可解得实数的取值范围.【小问1详解】解:若选①,因为是奇函数,是偶函数,所以可得,所以,,解得;若选②,因为,则,联立方程组,解得;若选③,因为是定义在上的偶函数,当时,,当时,,则,因为函数是定义在上的偶函数,当时,, 综上所述,.【小问2详解】证明:由(1)可知,当时,,且函数在上单调递增,任取、且,即,则,,则,所以,,故函数在上单调递增.【小问3详解】解:由(2)可知,函数在上单调递增,当时,函数满足,则,解得,所以,实数的取值范围是.21.某健身器材厂研制了一种足浴气血生机,具体原理是:在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔,产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现,该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用.已知臭氧发生孔工作时,对左脚的干扰度与成反比,比例系数为;对右脚的干扰度与成反比,比例系数为,且当时,对左脚和右脚的干扰度之和为.(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式;(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值.【答案】(1)(2) 【解析】【分析】(1)由已知可的,将代入函数解析式,求出的值,(2)将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的值,利用等号成立的条件求出的值,即可得出结论.【小问1详解】解:由题意,得,将代入,得:,得,故.【小问2详解】解:因为,则,所以,,当且仅当时,即当时,等号成立,因此,臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为.22.设为实数,函数.(1)当时,判断函数的奇偶性并说明理由;(2)若在区间上为增函数,求的取值范围;(3)求在上的最大值.【答案】22.奇函数,理由见解析;23.;24.当时,;当时,; 当时,;当时,.【解析】【分析】(1)根据函数的奇偶性定义进行判断;(2)将写成分段函数并得到单调递增区间,再根据在上为增函数,列出不等式组进行求解;(3)分类讨论情况下在上的最大值.【小问1详解】是R上的奇函数,理由如下:定义域为R,当时,,所以为R上的奇函数.【小问2详解】当时,对称轴为,时,对称轴为则在上减函数,上为增函数,上为减函数因为在区间上为增函数,所以,解得,所以的取值范围为.【小问3详解】由(2)知在上为减函数,上为增函数,上为减函数当即时,;当即时,;当即时,;当时,. 综上,当时,;当时,;当时,;当时,.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-12-22 02:05:01 页数:19
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文章作者:随遇而安

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