浙江省宁波市六校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

鄞州中学2023学年第一学期期中考试高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号、贴好条形码，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．3．本次考试期间不得使用计算器．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单选题1.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】依题意，解得且，所以的定义域为.故选：B2.已知集合，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】解方程化简集合，然后利用元素和集合、集合和集合的关系逐项判断即可.【详解】集合，所以，，，.故选：AC.3.下列各组函数表示同一函数的是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数定义域是否相同，再在定义域基础上，化解解析式是否一致即可.【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；对于B，，定义域不同，故不为同一函数；对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：对于D，，定义域不同，故不为同一函数．故选：C．4.已知，，则“且”是“”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当时，，由，取，此时，所以“且”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.5.已知无理数，若，，，则它们的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性即可比较大小.【详解】因为函数为增函数，所以，又函数在上单调递增，所以，所以，又，所以.故选：A6.函数的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数是偶函数可判断错误，根据，可排除.【详解】依题可知：函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，故函数为偶函数，故错误；又当时，，故错误，故选：.7.已知实数为常数，且，函数，甲同学：的解集为：乙同学：的解集为；丙同学：存在最小值.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则a的范围为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解.【详解】若甲正确，则且，即，则；若乙正确，则且，即，则；若丙正确，则二次函数开口向上即；因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故.故选：C8.已知函数的定义域为，且对任意正实数x，y都成立，则下列结论一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对于ACD：举反例分析判断；对于B：利用反证法，假设存在，使得，令，结合题意分析证明.【详解】对于选项A：例如函数符合题意，则，故A错误；对于选项CD：例如符合题意，则，故C错误；令，则，可知，故D错误；对于选项B：反证：假设存在，使得，令， 则，可得，这与假设相矛盾，故假设不成立，所以对任意，，故B正确；故选：B.二、多选题9.集合，集合则集合可表示为（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】化简集合，结合集合的运算判断各选项的对错.【详解】不等式的解集为或，所以或，因为，所以或，B正确，，则或，A正确，，又或，C正确，，，故D错误.故选：ABC10.下列函数中，属于偶函数并且值域为的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据偶函数的定义即函数的值域，逐项判断即可.【详解】对于函数，定义域为，且值域，故错误；对于函数，定义域为, 且，故为偶函数，且值域为，故正确；对于函数，定义域，且，故函数为偶函数，又，当且仅当时，等号成立，故函数的值域为，故正确；对于函数，令得，或者或者，故函数的定义域或或，关于原点对称，，故函数为偶函数，且函数的值域为，故正确，故选：11.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A.且B.在10℃的保鲜时间是60小时C.要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃D.在零下2℃的保鲜时间将超过150小时【答案】AB【解析】【分析】本题首先可根据题意得出是减函数，且，可判断出正确；根据及，可得，则可求得的值，判断出正确；解不等式得，则错误；当时，可求得，则错误.【详解】因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，易得是减函数，结合复合函数的单调性可知， 又，可知，所以正确；又，即，故，，则，故正确；若，则，结合，不等式化为，即，又，所以，故错误；当时，，故错误；故选：12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若的图象与直线有三个交点，则实数B.若有三个不同实数根，则C.不等式的解集是D.若对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】对于AB，作出函数的图象即可判断；对于C，先根据图象求出的范围，再分情况讨论即可；对于D，根据图象结合图象平移分析运算即可判断.【详解】对于A，如图，作出函数的图象，由图可知，若的图象与直线有三个交点，则实数，故A正确； 对于B，如图，作出函数的图象，由题意得两函数交点得横坐标为，不妨设，则关于对称，故，由图可知，所以，故B正确；对于C，由函数的图象可知，当时，，则由，可得，则或，解得或，所以不等式的解集是，故C错误；对于D，当时，显然不成立，故舍去，当时，可以通过向左平移个单位得到， 如图2，显然不成立，舍去，当时，可以通过向右平移个单位得到，如图3，以射线与相切为临界，即，则，所以，解得，所以，综上所述，实数a的取值范围是，故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、选择题13.实数且，则函数的图象恒过定点______． 【答案】【解析】【分析】令，结合指数函数的性质即可得解.【详解】令，则，所以函数的图象恒过定点.故答案为：.14.化简求值：______．【答案】3【解析】【分析】根据指数幂运算公式计算.【详解】原式=.故答案：3.15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则______．①定义域为，值域为②在定义域内是偶函数③的图象与x轴有三个公共点【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题意结合二次函数的性质可取，再证明即可.【详解】根据题意可取，函数的定义域为，值域为，故①符合， 因为，所以函数为偶函数，故②符合，令，解得或，所以的图象与x轴有三个公共点，故③符合，所以函数符合题意.故答案为：.16.若正数a，b满足，则的最大值是______．【答案】【解析】【分析】引入待定系数，结合基本不等式求出答案.【详解】正数a，b满足，引入待定系数，得到，令，解得，解得，负值舍去，则，故，当且仅当时，等号成立，故答案为：四、解答题17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．请从条件①，条件②，这两个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2） 问的解答．【答案】（1）;（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据集合的并运算，直接求解即可；（2）选择不同的条件，根据集合之间的关系，分别讨论参数的范围即可.【小问1详解】∵当时，集合，∴．【小问2详解】选择①若，∴，∴当时，，解得；当时，，解得，满足题意；综上所述：实数的取值范围是．选择②若，∵或，∴时，，解得；当时，，解得满足题意；综上所述：实数的取值范围是．18.已知命题p：“，”是真命题，（1）求实数a的取值所构成的集合A； （2）在（1）的条件下，设不等式的解集为B，若是的必要条件，求实数b的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意方程无解，利用判别式法求解即可；（2）先求出集合B，由题意，分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】因为命题p：“，”是真命题，所以方程无解，所以，解得，所以实数a的取值所构成的集合.【小问2详解】因为，所以，解得，所以，又是的必要条件，所以，当时，即，满足题意；当时，，解得；综上，.19.已知幂函数（为常数）的图象经过点.（1）求的解析式；（2）设，（i）判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；（ii）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】19.20.（i）在区间上单调递增，证明见解析； （ii）【解析】【分析】（1）根据幂函数的图象所过点，列出方程求解即可.（2）（i）判断函数的单调性并用单调性的定义证明即可；（ii）利用上单调性可得，即可得解.【小问1详解】因为幂函数（为常数）的图象经过点，则，所以，故；【小问2详解】，（i）在区间上单调递增，证明如下：设，所以，因为，所以，所以，所以，可得函数在区间上单调递增；（ii）因为在上恒成立，所以，又函数在区间上单调递增，所以，所以.20.已知是定义在上的奇函数，且时，.（1）求；（2）当时，求函数的解析式；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3） 【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，再令，即可得解；（2）设求出，再根据奇函数的性质计算可得；（3）判断函数的单调性，再根据奇偶性及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【小问1详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，令，则，所以；【小问2详解】解：因为是定义在上的奇函数，且时，，设，则，则，又，所以，即当时，；【小问3详解】解：由（1）（2）可得，所以函数图象如下所示：即在，上单调递增，则不等式等价于，所以或或， 解得或或，所以实数的取值范围为.21.某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.【答案】（1）40元（2）10.2万件，30元【解析】【分析】（1）设每件定价为元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；（2）列出不等关系，分离参数得，从而利用基本不等式即可得解.【小问1详解】依题意，设每件定价为元，得，整理得，解得.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.小问2详解】依题意知当时，不等式有解，等价于时，有解，由于，当且仅当，即时等号成立，所以， 当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.22.已知函数．（1）若，求函数的定义域，并指出其单调区间（不需要证明）：（2）若在区间单调递减，求实数k的取值范围；（3）若方程在上有两个不相等的实根，求k的取值范围．【答案】（1）定义域为，单调递增区间为，单调递减区间为（2）（3）【解析】【分析】（1）解不等式求定义域，然后判断单调性即可；（2）根据的单调性列不等式，然后解不等式即可；（3）将方程在上有两个不相等的实根转化为方程在上有两个不相等的实根，然后根据函数的单调性求的取值范围即可.【小问1详解】若，则，令，解得或，所以的定义域为，单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】因为在上单调递减，所以，解得， 所以的取值范围为.【小问3详解】因为，所以方程可变形为，即，令，则，，令，，函数在上单调递增，上单调递减，又，，，所以方程在上有两个不相等的实根，的取值范围为.