浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

绝密★考试结束前2023学年第一学期台金七校联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义求解.【详解】集合，则.故选：C.2.下列各组函数是同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】A【解析】 【分析】利用同一函数的概念判断即可.【详解】与定义域和对应关系均相同，是同一函数，故A正确；与定义域不同，对应关系相同，不是同一函数，故B错误；与定义域不同，对应关系相同，不是同一函数，故C错误；由解得或，则的定义域为或，由且得，则的定义域，∴与定义域不同，不是同一函数，故D错误.故选：A.3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数幂及对数的运算性质计算.【详解】∵，∴，∴，∴.故选：D.4.已知，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据根式的性质，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】当为奇数时，，， 当为偶数时，，若，则，则“”是“”的必要而不充分条件.故选：B.5.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性及特值排除错误选项即可.【详解】的定义域为，∵，∴奇函数，图象关于原点对称，故AC错误；∵，故B错误，∴D正确.故选：D.6.已知，且，则的最小值为（）A.1B.C.9D.【答案】C【解析】 【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可．【详解】因为，所以，则当且仅当，即时，等号成立．故选：C．7.定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得在上单调递增，在上单调递减，，，当或时，；当时，，由条件列出不等式组，求解即可.【详解】∵定义在上的偶函数在上单调递增，且，∴在上单调递减，且，∴当或时，；当时，，∵，∴或，∴或，∴或，即，则不等式的解集是.故选：A.8.取整函数最早出现在著名科学家阿兰•图灵（AlanTuring）在20世纪30年代提出的图灵机理论中.图灵机是一种理论上的计算模型，其中操作包括整数运算和简单逻辑判断.由于图灵机需要进行整数计算，因此 取整函数成为了必需的工具之一.现代数学中，常用符号表示为不超过的最大整数，如，现有函数在区间上恰好有三个不相等的实数解，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题可知时函数与恰有三个不同的交点，利用数形结合即得【详解】作出函数与的大致图像时，，从图像可知，当，即时，两个函数的图像在上恰有三个不同的交点．∴所求范围为．故选：B二､多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.我们常拿背诵圆周率来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（）A.是一个函数B.当时， C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的定义以及函数性质判断各选项，即可得答案.【详解】由题意可知，圆周率小数点后第位数字是唯一确定的，即任取一个正整数都有唯一确定的与之对应，因此是一个函数，故A正确；当时，，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD.10.已知定义在上的函数是奇函数，且时，则下列叙述正确的是（）A.当时B.C.在区间上单调递减D.函数在区间上的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】利用奇函数的定义和性质即可判断选项AB，根据判断函数单调性的定义法即可判断选项C，结合基本不等式即可判断选项D.【详解】由题知，是奇函数，令，则，所以， 故此时，A错；因为是上的奇函数，所以，B正确；由上述可知时，，，则，因为，所以，，，所以，即，所以在区间上单调递减，C正确；当时，，当且仅当，即时取等，D正确.故选：BCD11.下列命题叙述正确的是（）A.且时，当时，B.且时，当时，C.且时，当时，D.且时，当时，【答案】CD 【解析】【分析】利用特值法及作差法进行判断.【详解】对于A，因为且时，当时，取，所以，则，故A错误；对于B，因为且时，当时，取，所以，则，故B错误；对于C，因为且时，当时，则，所以，则，故C正确；对于D，存在，，满足，故D正确.故选：CD.12.若函数在定义域内的某区间上单调递增，且在上也单调递增，则称在上是“强增函数”，则下列说法正确的是（）A.若函数，则存在使是“强增函数”B.若函数，则为定义在上“强增函数”C.若函数，则存在区间，使在上不是“强增函数”D.若函数在区间上是“强增函数”，则【答案】ACD【解析】【分析】根据对勾函数的单调性结合“强增函数”的定义即可判断A；根据“强增函数”的定义举出反例即可判断B；根据“强增函数”的定义结合指数函数的单调性举例即可判断C；根据“强增函数”的定义结合二次函数和对勾函数的单调性即可判断D.【详解】对于A，由对勾函数的单调性可得函数在上为增函数，而函数在上为增函数， 所以存在使是“强增函数”，如，故A正确；对于B，因为，所以函数在上不增函数，所以不是定义在上的“强增函数”，故B错误；对于C，函数在上单调递增，令，因为，所以函数在上不是增函数，故存在区间，使在上不是“强增函数”，如，故C正确；对于D，若函数在区间上是“强增函数，则函数在上都是增函数，由函数在区间上是增函数，得，解得，因为函数在区间上是增函数，当时，在区间上是增函数，符合题意，当时，因为函数在上都是增函数，所以函数在区间上是增函数，符合题意，当时，，由对勾函数得单调性可知函数在上单调递增， 所以，所以，综上所述，，因为函数在上都是增函数，所以，所以，故D正确故选：ACD【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.非选择题部分三､填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.______.【答案】【解析】【分析】根据根式及指数幂的运算求解.【详解】原式.故答案为：.14.函数的单调递增区间是______.【答案】（区间开闭都符合）【解析】【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定结果．【详解】，由，解得， 令，当时单调递增，当时单调递减，又在时单调递增，所以函数的单调递增区间是.故答案为：.15.函数当时，实数______.【答案】【解析】【分析】由所给的分段函数以及函数值，对其分类讨论即可.【详解】令，则，当时，有，解得或（舍去），即，当时，有即，因为，此时无实数解，当，有满足题意，当时，，不满足题意，故实数，故答案为：8.16.已知函数与函数，满足，当和在区间上单调性不同，则称区间为函数的“异动区间”.若区间是函数的“异动区间”，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】两函数图象关于轴对称，分，，， 四种情况，结合函数图象和单调性，得到不等式，求出答案.【详解】，若，在上单调递增，在上单调递减，满足要求，若，画出与的图象，如下：可以看出两函数图象关于轴对称，要想是函数的异动区间，则，解得，满足，当时，，，画出两函数图象，可以看出两函数图象在上单调性相同，不合要求，舍去，当时，画出两函数图象，可以看出两函数图象关于轴对称， 要想是函数的异动区间，故，解得，满足，综上，的取值范围为.故答案为：四､解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算可得解；（2）由题意，对集合讨论，可得解.【小问1详解】当时，集合，，或， .【小问2详解】，，当即时，，则，解得，；当即时，，符合题意；当即时，，则，解得，；综上，实数的取值范围为.18.已知二次函数（为实数，且）（1）若，方程有两个相等的实数根时，求函数的解析式；（2）不等式的解集是，求函数的解析式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得函数图象关于直线对称，结合条件“有两个相等的实数根”，列出关于的方程组，求解即可；（2）由题意得方程有实数根，且，利用韦达定理求解.【小问1详解】，的图象关于直线对称,又根据条件“有两个相等的实数根”，列方程组如下： ,【小问2详解】不等式即的解集是，即方程有实数根，且，根据韦达定理：，.19.已知函数，其中.（1）当，求函数的值域；（2），求区间上的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用判别式法求值域；（2）求得，对分类讨论，根据二次函数的性质求最值.【小问1详解】时，，即，整理得，当时，， 当时，由，得，解得，且，综上，，则的值域是.【小问2详解】且，当时，即时，函数在区间上单调递增，此时；当时，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，综上所述：20.已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数.（1）求和的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据指数函数的定义和奇函数定义及性质求解； （2）根据是奇函数，得恒成立，根据在上单调递减，得恒成立，再利用判别式求解.【小问1详解】设且，，，；是定义在上的奇函数，，对恒成立，.【小问2详解】恒成立，恒成立，又可知在上单调递减，恒成立，恒成立，，.21.天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”.预估生产线建设等固定成本投入为100 万，每生产万个还需投入生产成本万元，且据测算若该公司年内共生产该款“暖手宝”万只，每只售价45元并能全部销售完.（1）求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式；（2）当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本；（3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2）22472个（3）30万个，利润最大为410万元【解析】【分析】（1）根据利润的定义，结合所给函数的含义即可求解；（2）时，取最小值即可，仅需，求解即可；（3）利用一次函数，二次函数的性质以及基本不等式分段求解最值，比较大小可得答案.【小问1详解】总销售额：万元，总成本：固定成本万元，∴利润【小问2详解】时，取最小值即可，仅需万，取22472个.【小问3详解】当时，， 当时，，当时，，当且仅当时取等号，综上，当万个时，利润最大为410万.22.定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，.（1）求证：函数是奇函数；（2）求证：函数在上是减函数；（3）若，且恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明；（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明；（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.【小问1详解】令，则有，令，则有，，是奇函数.【小问2详解】设则所以， 因为，所以，即，则，又，所以，所以，所以，即，所以在上是减函数.【小问3详解】由（1）（2）知在上是减函数，且为奇函数，所以当时，函数的最小值为，所以恒成立，等价于：恒成立，即恒成立，设，是关于的一次函数，所以，即，则，