重庆市西南大学附属中学2023-2024学年高一上学期定时检测（二）数学试题（Word版附解析）

西南大学附中高2026届高一上定时检测（二）数学试题（满分：150分；考试时间120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用并集运算求解，再利用补集运算求解即可.【详解】因为集合，所以，又，所以.故选：B2.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据被开方数为非负数，再由指数函数的单调性求出即可.【详解】由题意得，则定义域为.故选：C3.下面命题正确的是（）A.已知，则“”是“”的充要条件B.命题“若，使得”的否定是“”C.已知，则“”是“”的既不充分也不必要条件 D.已知，则“”是“”的必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】利用充分不必要条件的定义判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用既不充分也不必要定义判断C；利用必要不充分条件的定义判断D.【详解】对于A，当时，或，故能推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件，错误；对于B，由存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题“若，使得”的否定是“”，错误；对于C，由得或，故推不出，但是当时，一定成立，即能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，错误；对于D，已知，当时，满足，但是不满足，反之，当时，则，即，所以“”是“”必要不充分条件，正确.故选：D4.设函数（且），若，则（）A.3B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为（且），所以，所以，解得或（舍去）.故选：A 5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用幂函数的单调性判定即可．【详解】由单调递增，则可知，由单调递增，又，可得所以．故选：C．6.已知，且，则的最小值是（）A.2B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，直接利用基本不等式求解最小值即可.【详解】因为，所以，，又，所以,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是2.故选：A7.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于，在以下为供氧 不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为80．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（取）（）A.约0.54小时B.约0.64小时C.约0.74小时D.约0.84小时【答案】B【解析】【分析】根据题意分别列出相应不等式，从而求解.【详解】由题意知，，，当小时，，得：要使血氧饱和度达到正常，即需：，即：，化简得：，所以得：=1.64因为已经给氧1小时，所以还需要继续给氧时间至少为：0.64小时.故选：B.8.若定义在上的奇函数，对，且，都有，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，然后对进行分类讨论解不等式即可.【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有，所以有，所以函数是上的减函数，又因为为奇函数，即有，有，所以有，所以为偶函数，所以在上单调递增.由知，所以，当时，有，，由得，所以，所以，所以，即，因为，所以，解得或，又，所以；当且时，有，由得，所以，所以，所以，即，因为，所以，解得，又且，所以或；综上所述，不等式的解集为.故选：D.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知导出其函数性质，从而分类讨论解不等式即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式中成立的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用指数函数的单调性判断A，根据不等式的性质判断B，利用作差法或者特例法判断C，利用不等式性质判断D.【详解】对于A：因为，所以，又函数单调递增，所以，错误；对于B：因为，所以，正确；对于C：，因为，所以，但是的正负号不确定，所以与大小不确定，例如时，，错误；对于D：由得，则，正确；故选：BD10.下列说法正确的是（）A.函数的图象关于成中心对称B.函数（且）的图象一定经过点C.函数的图象不过第四象限，则的取值范围是D.函数（且），，则的单调递减区间是【答案】AD【解析】【分析】根据分式分离得，结合反比例函数的图象性质即可得的对称中心，从而判断A；由指数函数的定点可得函数的定点，从而判断B；由指数函数的图 象平移可得函数的图象不过第四象限时的取值范围，从而判断C；利用复合函数单调即可判断D.【详解】函数，其图象是由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到，故函数的图象关于成中心对称，故A正确；当时，，则函数（且）的图象一定经过点，故B错误；由指数函数的图象可得函数的图象不过第四象限，则，所以的取值范围是，故C错误；函数中，，又且，所以，则，由于函数，单调减区间为上，单调增区间为，函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是，故D正确.故选：AD.11.已知函数是奇函数，下列选项正确的是（）A.B.，且，恒有C.函数在上的值域为D.对，恒有成立的充分不必要条件是【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的奇偶性的概念即可得的值，从而可判断A；根据指数函数与反比例函数的性质可判 断函数在上的单调性，从而可判断B；由函数的单调性求函数值即可得函数在上的值域，从而可判断C；由函数单调性解不等式，结合含参一元不等式恒成立即可求的取值范围，从而可判断D.【详解】函数的定义域为，又是奇函数，所以，故，故A正确；，由于函数在上递增，函数在上递增，所以函数上递增，则，且，恒有，故B正确；因为在上单调递增，，又，所以函数在上的值域为，故C错误；若对，恒有成立，则，即整理得的解集为，当时，不等式的解集为，不符合题意当时，要使得解集为，则有，解得，综上，对，恒有可得，其成立的充分不必要条件是，故D正确.故选：ABD.12.对于定义域为的函数，若满足，且，都有，我们称为“严格下凸函数”，比如函数即为“严格下凸函数”．对于“严格下凸函数”，下列结论正确的是（）A.函数是“严格下凸函数”；B.指数函数且为“严格下凸函数”的充要条件是； C.函数为“严格下凸函数”的充要条件是；D.函数是“严格下凸函数”．【答案】AC【解析】【分析】根据“严格下凸函数”的定义，依次判断各选项即可.详解】对于A，任取，，则，，所以，所以函数函数是“严格下凸函数”；A正确；对于B，对于函数，任取，，则，，所以，所以函数为“严格下凸函数”，所以不是指数函数且为“严格下凸函数”的必要条件，B不正确;对于C选项，若函数为“严格下凸函数”，则由于，所以，不等式等价于上述不等式对于任意的，且恒成立，则，解得，故C正确；对于D选项，（方法一） 则因为，所以所以，即，故在区间上的图象不是严格下凸函数.（方法二）取，则，显然，即，所以在区间上的图象不是严格下凸函数.故选：AC.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数是指数函数，则的值为________．【答案】【解析】【分析】利用指数函数定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】因为函数为指数函数，则，解得.故答案为：.14.已知上的函数为奇函数，且，当时，，则 ____________.【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性与对称性可得函数的周期为，利用周期性与对称性化简求值即可的值.【详解】已知上的函数为奇函数，所以，即①又，所以②，即③由②③可得，所以函数的周期为则，由①可得.故答案为：.15.已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】由得使得不等式一边是参数，另一边是不含关于的式子，分离参数.【详解】由为奇函数，可得其图像关于对称，所以的图像关于对称，由题目可知函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立恒成立，即在恒成立， 所以，令，由，可得，设，当时，取得最大值，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】①分离参数法：遇到类似或等不等式恒成立问题，可把不等式化简为或的形式，达到分离参数的目的，再求解的最值处理恒成立问题；②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.16.已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的定义得为奇函数，根据单调性的定义知在R上单调递增，构造函数，从而为R上的偶函数，且在上单调性递增，原不等式等价于，利用单调性解不等式即可.【详解】定义在上的函数满足，，令，可得，所以，令，得到，即，所以为奇函数，设，由题意，所以，又因为，所以，所以，即， 所以在R上单调递增，不等式等价于，令，因为，且的定义域为R，所以为R上的偶函数，且在上单调性递增，由得，所以等价于，等价于，所以，解得，所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】关键点点睛：关于抽象函数的单调性和奇偶性的判断常常用定义法解决，对于解抽象函数不等式问题，往往要根据式子结构构造函数，利用函数单调性求解即可.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用指数函数的运算性质即可；（2）用对数函数的运算性质即可.【小问1详解】原式【小问2详解】 原式18.已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.（1）求集合、；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式可得集合，求得的取值范围，利用指数函数的基本性质可求得函数的值域；（2）由可得，由此可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.【详解】（1）对于函数，有，即，解得，即.，则，则，即；（2）由，得，所以，，即，解得，因此，实数的取值范围是.19.已知函数在上有定义，且满足.（1）求函数的解析式；（2）若，对均有成立，求实数m取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)换元法和配凑法可求函数解析式. (2)依题意，，设，则在区间内恒成立，用一次函数性质求解.【小问1详解】，∴，又∵，∴.【小问2详解】，对均有成立，在上单调递增，，依题意有对均有成立，即在时恒成立，∴，解得，∴实数m的取值范围是.20.设常数，函数，．（1）当时，求函数的值域．（2）若函数的最小值为,求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域，再求出的值域即可；（2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可．【详解】（1）时，，令，，，，，即，，则，，， ∵在，递增，且，∴，故的值域是.（2）函数，，，令，，，，，即，，故，，，当时，在，递增，的最小值是，解得：，符合题意；当时，在，递减，在，递增，故的最小值是，解得：，不合题意；当时，在，递减，的最小值是，解得：，不合题意；综上所述：．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数的单调性和最值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对称轴和区间位置关系的讨论.21.设函数（1）解关于的方程；（2）令，求的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据题意,将代入原方程化简可得关于的方程,利用换元法令,转化 为关于的一元二次方程,解方程即可求得的值.（2）根据解析式,分析并计算可知为定值,即可求值.【详解】（1）因为函数代入可得令则解得或即或解得或（2）根据题意则所以且所以【点睛】本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基础题.22.已知.（1）求函数的表达式； （2）用函数单调性定义证明的单调性；（3）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）设，得，代入已知式后，再把换成即得；（2）由单调性的定义证明；（3）设，，由（2）知，原不等式可化为在恒成立，求出左边的最小值即得.【小问1详解】因为，设，，可得，，即，.【小问2详解】任取，且，则，∵，∴，，，∴，∴，∴为上的增函数.【小问3详解】由对恒成立，即对恒成立， 可得，则，，.设，，由（2）知，故原不等式可化为在恒成立，因为，当时，，∴，∴的取值范围是.【点睛】方法点睛：解决函数不等式恒成立问题的方法一般是转化为求函数的最值，一种方法是直接求函数最值，然后解最值满足的不等式得参数范围，另一种方法是分离参数，转化为求没有参数的函数的最值，从而得参数范围.