重庆市西南大学附属中学2023-2024学年高一数学上学期拔尖强基联合定时检测（一）试题（Word版附解析）

高2026届拔尖强基联合定时检测(一)数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的值域得，再由交集运算可求.【详解】由二次函数的值域为，则集合，又，则，故选：A.2.已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数m的值为（）A.2B.C.1D.或2【答案】A【解析】【分析】由幂函数概念，可得，求出的值，并验证是否在上为增函数即可.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或.若，则，函数在上为增函数，符合题意；若，则，函数在上为减函数，不符合题意，舍去；所以实数的值是2.故选：A.3.已知，为非零实数，且，则下列命题成立的是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】举出反例,利用特殊值依次排除选项A、D,由不等式的性质可排除C【详解】对于选项A,令,时,,故A不正确；对于选项C,,故C不正确；对于选项D,令,时,,故D不正确；对于选项B,则故选B【点睛】本题考查不等式的性质的应用,考查特殊值法处理选择题4.下列函数中，值域为的是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出每一个选项的函数的值域即得解.【详解】对于选项A,函数的值域为，所以该选项不符；对于选项B,函数的值域为R，所以该选项不符；对于选项C,函数的值域为，所以该选项不符；对于选项D,函数的值域为[0,1],所以该选项符合.故选D【点睛】本题主要考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.若函数的定义域为，则函数的定义域为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.【详解】由函数的定义域为，即，得，因此由函数有意义，得，解得，所以函数的定义域为.故选：D6.若函数的图象如下图所示，函数的图象为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换，判断选项.【详解】函数的图象关于对称可得函数的图象，再向右平移2个单位得函数，即的图象.故选：C.7.已知在上单调递减，则实数a的取值范围为（　　） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知，在各自的区间上均应是减函数，且当时，应有，求解即可．【详解】由已知，在上单减，∴，①在上单调递减，∴，解得②且当时，应有，即，∴ ③，由①②③得，的取值范围是，故选B．【点睛】本题考查分段函数的单调性，严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小．特别注意的最小值大于等于的最大值，属于中档题.8.已知定义在R上的函数满足以下条件：①对任意的的图象关于直线对称;②存在常数,使得;③当时,.若,则的值为（）A.0B.30C.60D.90【答案】C【解析】【分析】由题意，为偶函数且不恒为0，，时，，再由，可求算式的值.【详解】对任意的，的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，即 为偶函数.存在常数，使得，即不恒为0，当时,，，时，有，时，，则有，则.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组函数表示的是同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】BD【解析】【分析】根据函数的定义域及对应关系判断两函数是否为同一函数，从而求解.【详解】对于A：，，两函数对应关系相同，但定义域不同，故不符合题意；对于B：，，两函数对应关系和定义域都相同，故符合题意；对于C：， ，两函数对应关系相同，但定义域不同，故不符合题意；对于D：，，两函数对应关系和定义域都相同，故符合题意；故选：BD.10.下列命题中正确的是（）A.函数在(0，+∞)上是增函数B.函数在上是减函数C.函数的单调递减区间是D.已知在R上是增函数，若，则有.【答案】AD【解析】【分析】根据函数的定义域及单调性分别判断各选项.【详解】A选项：对称轴为，函数的单调递增区间为，又，所以函数在上是增函数，A选项正确；B选项：函数在和上单调递减，因为函数在上不是减函数，B选项错误；C选项：定义域为，且函数的对称轴为，所以函数的单调递减区间为，C选项错误；D选项：在上是增函数，若，则，，所以，，则，D选项正确；故选：AD.11.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（） A.B.C.不等式的解集为D.不等式的解集为【答案】AB【解析】【分析】根据不等式的解集可得是的两个根，利用韦达定理求出，再逐项判断可得答案.【详解】因为不等式的解集为，所以是的两个根，且，得，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由得，因为，所以，解得，可得不等式的解集为，故C错误；对于D，由得，因为，所以，解得，或，所以不等式的解集为，或，故D错误.故选：AB. 12.下列命题中正确的是（）A.若，则B.若则的最小值为6C.若则的最小值为D.若,,则的最小值为2【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解选项A；利用换元法以及基本不等式“1”的妙用求解选项B；利用消元法和基本不等式“1”的妙用求解选项C；利用换元法和基本不等式“1”的妙用求解选项D.【详解】对A，因为，所以，当且仅当，即，也即时等号成立，所以，A正确；对B，，则，且，所以，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为，B错误；对C，因为所以，所以， 当且仅当，即时取得等号，所以则的最小值为，C错误；对D，设，则，所以，所以，因为，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为2，D正确；故选:AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则=_____________.【答案】1【解析】【分析】根据给定的分段函数，分段代入计算即得.【详解】函数，则，所以.故答案为：114.已知且，则=_____________.【答案】【解析】【分析】设，易判断是奇函数，可得，即，可得解.【详解】由题意，设，又，所以函数是奇函数， 可得，即，又，则.故答案为：.15.已知定义在R上的函数满足，对任意的，当时，都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为_____________.【答案】【解析】【分析】根据函数为奇函数，则为偶函数，又已知得函数在上单调递增，可得函数在在上单调递减，又，可得不等式与的解集，进而得到解集.【详解】因为定义在R上的函数满足，所以函数为奇函数，令，，则为偶函数，又，则，因为对任意的，当时，都有恒成立，所以当时，为增函数，则当时，为减函数，所以当或时，；当或时，；因此当时，；当时，，即不等式的解集为.故答案为：16.已知正实数满足，则的最小值为_____________.【答案】4【解析】 【分析】由，得到，从而，利用基本不等式求解.【详解】解：因为正实数满足，所以，则，，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4，故答案为：4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解下列不等式:（1）（2）【答案】17.18.答案见解析【解析】【分析】（1）变形为，求出解集；（2）因式分解得到，分，与三种情况，求出不等式的解集. 【小问1详解】变形为，的两根为或，故不等式的解集为；【小问2详解】变形为，当，即时，不等式为，解集为；当，即时，解得或，故解集为或；当，即时，解得或，故解集为或；综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集或.18.已知（1）求A∪B;（2）若是的必要不充分条件，求t的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解集合B中的不等式，得到集合B，再求；（2）问题转化为Ü，由此列不等式组求出实数t的取值范围．【小问1详解】 不等式可化为，解得，则，.【小问2详解】因为“”是“”的必要不充分条件，故Ü，当时，即，解得，此时满足Ü，当时，即时，要使Ü，则有，由于等号不可能同时成立，故，又，所以，综上所述，实数的取值范围为.19.已知函数（1）证明为偶函数;（2）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象写出的单调递增区间；（3）求在时的最大值与最小值.【答案】（1）见解析（2）图象见解析，单调递增区间为：（3）最大值为5，最小值为0【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）根据分段函数的性质，结合二次函数的图象即可求解图象，进而可得增区间，（3）利用图象即可求解. 【小问1详解】由于，定义域为所以，所以为偶函数，【小问2详解】，故图象如下：单调递增区间为：【小问3详解】由图象可知：在单调递增，在单调递减，且，故最大值为5，最小值为020.已知为R上奇函数，当时，，（1）求在R上的解析式；（2）若对使求a的取值范围.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据为R上的奇函数及时的解析式求解；（2）分别求出及，满足即可得答案.【小问1详解】因为为R上的奇函数，当时，，所以当时，，当时，，所以，所以在R上的解析式为.【小问2详解】因为，所以当时，为减函数，当时，为增函数，所以当时，，因为对使所以使因所以，当且仅当时等号成立，所以，即，故a的取值范围.21.函数满足对一切有，且；当时，有.（1）求的值;（2）判断并证明在R上的单调性；（3）解不等式 【答案】21.22.在R上的单调递减，证明过程见解析23..【解析】【分析】（1）赋值法求出和，进而赋值求出；（2）先求出时，，进而得到时，，再利用定义法证明出函数的单调性；（3）变形得到，求出，结合（2）中函数的单调性求出，从而求出答案.【小问1详解】中，令，则，因为，所以，令得，，解得，令得，，即，解得；【小问2详解】设，则，所以，所以时，，又因为时，有，且，所以时，，在R上的单调递减，证明过程如下：设，且，则，则， 因为时，，所以，故，故在R上的单调递减；【小问3详解】由题意得，因为，所以，即，解得，中，令得，，故，故，由（2）可知，在R上的单调递减，故，解得或，所以原不等式的解集为.【点睛】思路点睛：求解抽象函数的函数值或函数奇偶性，单调性，往往利用赋值法，结合题目中的条件进行求解.22.已知函数（1）当时，求方程的解集；（2）设在的最小值为，求的表达式；（3）令若在上是增函数，求的取值范围.【答案】（1）； （2）；（3）.【解析】【分析】（1）把当时，解方程即得.（2）通过讨论a的取值，确定函数在区间的最小值为．（3）利用函数单调性的定义，结合恒成立的解法即可求得实数a的取值范围．【小问1详解】当时，，由，得，解得或，则或，所以方程的解集为.【小问2详解】当时，，当时，函数在上单调递减，，即；当时，函数，其图象的对称轴为，当时，函数在上单调递减，，即；当，即时，函数在上单调递增，，即；当，即时，，即；当，即时，函数在上单调递减，，即， 所以.【小问3详解】当时，，，在区间上任取，且，，由在上是增函数，得，因此对任意且都成立，当时，恒成立，于是；当时，，而，则，显然恒成立，于是；当时，，而，则，又，于是，