重庆市西南大学附属中学2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

西南大学附中2023—2024学年度上期期中考试高二数学试题（满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线方程求斜率，进而可得倾斜角.【详解】直线即，可知直线的斜率，倾斜角为.故选：D.2.椭圆与椭圆的（）A.长轴相等B.短轴相等C.焦距相等D.离心率相等【答案】C【解析】【分析】根据两个椭圆的标准方程，求出焦距即可得到结论.【详解】因为中的，所以，焦距为； 因为中的，所以，焦距为；故选：C.3.已知直线，，若且，则的值为（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】由两直线的平行与垂直求得值后可得结论.【详解】由题意,，，，所以．故选：C．4.某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）时间（小时）5678人数1015205A.6.2小时B.6.4小时C.6.5小时D.7小时【答案】B【解析】【分析】根据平均数的计算公式，即可求得答案.【详解】由题意可得这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是：（小时），故选：B5.已知点在曲线上，则的取值范围是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可知曲线为以为圆心，半径的上半圆，，根据圆的性质结合图形分析求解.【详解】因为整理得，表示以为圆心，半径的上半圆，设，则，如图所示：当三点共线时，取到最小值，当为半圆的右端点时，取到最大值，即，则，所以的取值范围是.故选：C.6.过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是（）A.1B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由距离公式结合勾股定理得出，进而由面积公式得出四边形MAPB的面积最小值.【详解】圆M：的圆心到直线l：的距离， 故的最小值是3，又因为，则，故的面积的最小值是，故四边形MAPB的面积的最小值是.故选：D.7.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有4，5，6，7四个数字，这些小球除数字外都相同．小红、小明两人玩“猜数字”游戏，小红先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由小明猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称小红、小明两人“心心相印”，则两人“心心相印”的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先算出样本空间包含的样本点数，再求出两人“心心相印”的包含的样本点数，相比即可求出概率.【详解】样本空间包含样本点数为，m，n满足，那么就称小红、小明两人“心心相印”当时，当时，当时，当时，则小红、小明两人“心心相印”事件包含了个样本点，两人“心心相印”的概率是，故选：D8.如图，已知直线l：与圆O：相离，点P在直线l上运动且位于第一象限，过P作圆O的两条切线，切点分别是M、N，直线MN与x轴、y轴分别交于R、T两点，且面积的最小值为，则m的值为（） A.－5B.－6C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系得到，设出，得到，作出辅助线，得到四点共圆，由几何关系求出圆的方程，从而求出相交弦方程，得到的面积，配方得到其最值，得到方程，得到答案.【详解】直线l：与圆O：相离，故，解得，设，点P在直线l上运动且位于第一象限，故，连接，则⊥，⊥，则四点共圆，且为直径，其中圆心为，半径为，故所在圆的方程为，化简得， 与相减得到直线MN的方程，即，令得，令得，因为，所以，故，，故的面积为，因为，所以当时，的面积取得最大值，最大值为，故，解得，经检验，均满足要求.故选：D【点睛】过圆上一点的切线方程为：，过圆外一点的切点弦方程为：.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.少年强则国强，少年智则国智，党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质，为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100 名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A.样本的众数为65B.该校学生中低于65kg的学生大约为1200人C.样本的第80百分位数为72.5D.样本的平均值为66.75【答案】BCD【解析】【分析】由频率分布直方图得众数，百分位数，平均数后判断【详解】对于A，样本的众数为67.5，故A错误，对于B，该校学生中低于65kg的学生大约为，故B正确，对于C，体重位于的频率为，体重位于的频率为，故第80百分位数位于，设其为，则，得，故C正确，对于D，样本的平均值为，故D正确，故选：BCD10.已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若A与B相互独立，则B.若，则事件与B相互独立C.若A与B互斥，则D.若B发生时A一定发生，则【答案】AB 【解析】【分析】利用并事件的概率公式可判断选项，利用独立事件的定义可判断选项；；利用互斥事件的概率公式可判断C选项；分析可知，可判断出D选项【详解】对于A，若A与B相互独立，则，所以，故A对；对于B，因为，，则，因为，所以事件与B相互独立，故B对；对于C，若A与B互斥，则，故C错；对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D错.故选：AB.11.已知的顶点P在圆C：上，顶点A、B在圆O：上．若，则（）A.的面积的最大值为B.直线PA被圆C截得的弦长的最小值为C.有且仅有一个点P，使得为D.有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线【答案】AD【解析】【分析】设点到直线的距离为，由求得的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，若，分析的外接圆与圆C的交点个数，判断C，利用射影定理可得进而判断D.【详解】由题意可知：圆C：的圆心，半径为9，圆O：的圆心，半径为2，因为，可知圆O在圆C内， 设线段的中点为，因为，则，且，对于选项A：设点到直线的距离为，则，所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确；对于选项B：点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，且的最大值为7，所以点到直线的距离的最大值为7，此时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误；对于选项C：设的外接圆的圆心为，半径为，若，则，，可知，因为P在圆C上，，当且仅当四点共线时成立，且，可知此时圆与圆C相交，此时有2个点，使得，故C错误；对于选项D，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得，当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切 线，故D正确；故选：AD.12.在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（）A.对任意三点，都有；B.已知点和直线，则；C.到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D.定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD【解析】【分析】对于选项A，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B，设点是直线上一点，且，可得，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A选项，设，由题意可得：同理可得：，则：，则对任意的三点，，，都有；故A正确； B选项，设点是直线上一点，且，可得，由，解得或，即有，当时，取得最小值；由，解得，即有，的范围是，无最值，综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故B错误；C选项，设，则，若，则，两边平方整理得；此时所求轨迹为或若，则，两边平方整理得；此时所求轨迹为或，故没法说所求轨迹是正方形，故C错误；D选项，定点、，动点满足（），则：，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.(1)当时，有，得：；(2)当时，有，此时无解；(3)当时，有；则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故D正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．13.已知椭圆方程为，则该椭圆离心率为______．【答案】##【解析】【分析】利用椭圆的标准方程及几何性质、离心率公式运算即可得解.【详解】由椭圆的标准方程及几何性质知，∵，∴，，则，∴，，则离心率.故答案为：.14.已知焦点在y轴上的椭圆的离心率，A是椭圆的右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值是______.【答案】 【解析】【分析】根据离心率求得椭圆的方程为，设，则，由，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由焦点在y轴上的椭圆的离心率，可得，解得，所以椭圆的方程为，则，设，则，因为，当时，可得取得最大值，最大值为，所以的最大值为.故答案为：.15.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是______．【答案】84【解析】【分析】先考虑所有情况，再减去不满足的情况即可.【详解】先考虑五个音阶任意排列，有种情况，再减去宫、角、羽三音阶都相邻的情况，把宫、角、羽三音阶看做一个一个整体，则一共变成3个元素，有种情况，而宫、角、羽三音阶又可以任意排列，有种情况，所以一共的音序有种，故答案为：8416.在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：，设为平 面上的点，若满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标是______________.【答案】或.【解析】【分析】设出过点的直线和的方程，根据圆和圆的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，可得的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，故可得到一个关于直线斜率的方程，即可求出所有满足条件的点的坐标.【详解】圆：的圆心为，半径为3，圆：的圆心为，半径为3，设点满足条件，因为过点的无穷多对互相垂直的直线和，所以不妨设直线的方程为，则直线的方程为，因为圆和圆的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，所以的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，所以，所以，所以或，所以或，因为的取值有无穷多个，所以或，解得或， 所以所有满足条件的点的坐标为或，故答案为：或.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知椭圆C：的两个焦点分别为，，且过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若该椭圆左顶点为B，则椭圆上是否存在一点P，使得的面积为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在这样的点P为【解析】【分析】（1）通过焦点可得，椭圆过点，可得，解方程组即可求得椭圆方程；（2）假设存在点，使得的面积为，可构建方程关于的方程，再代入椭圆，求得，则可判定是否存在这样的点.【小问1详解】因为两个焦点分别为，所以，即，因椭圆过点，所以，又，解得（负值舍去）， 所以椭圆C的标准方程【小问2详解】假设存在点，使得的面积为，则又，所以解得，代入椭圆可得，解得,此时点的坐标为所以存在点P为时，使得的面积为.18.已知，，过A，B两点作圆，且圆心在直线l：上．（1）求圆的标准方程；（2）过作圆的切线，求切线所在的直线方程．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）分类讨论切线斜率存在与否，再利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可得解.【小问1详解】 依题意，设圆的标准方程为，则，解得，所以圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，，若所求直线的斜率不存在，则由直线过点，得直线方程为，此时圆心到直线的距离，满足题意；若所求直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为，即.综上，切线方程为或.19.已知直线l：，点．（1）若点P到直线l距离为d，求d的最大值及此时l的直线方程；（2）当时，过点P的一条入射光线经过直线l反射，其反射光线经过原点，求反射光线的直线方程．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出直线所过定点，当时最大，且，据此求直线方程；（2）求关于直线l的对称点，根据在反射直线上求解即可.【小问1详解】 因为直线l：可得，所以由解得，即直线过定点，所以到直线l的距离，此时，即，所以直线l的方程为，即.【小问2详解】时，直线l：，设关于直线l：的对称点，则，解得，，即，又在反射直线上且反射直线过原点，所以反射直线的斜率为，故反射直线的方程为，即.20.为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．（1）如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；（2）如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可；（2）先设事件，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.【小问1详解】设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，则，，所以第二题抽到的是概念叙述题的概率【小问2详解】设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，，，，，21.某研究小组发现某药物X对神经冲动的产生有明显的抑制作用，称为“麻醉”.该研究小组进行大量实验，刺激突触前神经元时，记录未加药物X和加药物X后突触前神经元的动作电位（单位：mV），在大量实验后，得到如下频率分布直方图. 利用动作电位的指标定一个判断标准，需要确定一个临界值c.当动作电位小于c时判定为“麻醉”，大于或等于c时判定为“未麻醉”.该检测漏判率是将添加药物X的被判定为“未麻醉”的概率，记为；误判率是将未添加药物X的被判定为“麻醉”的概率，记为.（1）当漏判率为时，求临界值c；（2）令函数，当时，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意由第二个频率分布直方图的频率可求出；（2）根据题意得出的解析式，再根据一次函数的单调性即可求解.【小问1详解】依题可知，漏判率为，右边第二个频率分布直方图图形中后两个小矩形的面积分别为，因为，所以，所以，解得；【小问2详解】当时，，因为函数在上单调递增，所以，所以在区间的最小值为.22.已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．（1）求点P的轨迹方程；（2）点P轨迹记为曲线C，若曲线C与x轴的交点为M，N两点，Q为直线l：上的动点，直线MQ，NQ与曲线C的另一个交点分别为E，F，直线EF与x轴交点为K，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）设，根据列式，再化简即可；（2）设的直线方程，与圆联立方程，列出根与系数关系，再列出直线，的方程，求得Q点纵坐标构建方程，代入韦达定理，求得参数，算出直线必过点，再用几何法求得最短弦即可.【小问1详解】设动点坐标，因为动点P满足，且，，所以，化简可得，，即，所以点P的轨迹方程为.【小问2详解】曲线C：中，令，可得，解得或，可知,当直线为斜率为0时，即为直径，长度为8，当直线斜率不为0时，设的直线方程为，联立消去可得：，化简可得；由韦达定理可得， 因为，所以，的斜率为，又点在曲线C上，所以,可得，所以，所以，的方程为，，令可得，化简可得；，又在直线上，可得，，所以，化简可得；，又，代入可得，化简可得， ，，所以或，当时为，必过，不合题意，当时为，必过，又即为圆的弦长，所以当直径时弦长最小，此时半径圆心到直线的距离为综上，的最小值.点睛】方法点睛：求必过点可用联立方程，设而不求，算出参数关系.