北京市育才学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年度第一学期北京育才学校高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合，，那么（）AB.C.D.2.方程组的解集是（）A.B.C.D.3.命题“，”的否定形式是（）A.，B.，C.，D.，4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.B.C.D.5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120 6.设，，，则（）A.B.C.D.7.若，则有A.B.C.D.8.若是偶函数，且当时，，则的解集是（）A.B.或C.D.9.设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数定义域为___________.12.已知方程的两根为和，则______；______.13.设函数同时满足以下条件：①定义域为；②；③，，当时，；试写出一个函数解析式______.14.设函数，其中.①若，则______；②若函数有两个零点，则a的取值范围是______. 15.给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数.（1）证明：为偶函数；（2）用定义证明：是上的减函数；（3）直接写出在的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954824.804.79乙4.864.904864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为万个，每年需投入的其它成本为（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润（单位：万元）关于x的函数关系式； （2）当年产量x为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数，.（1）求；（2）若函数是偶函数，求m的值；（3）当时，当函数的图象在直线的上方时，求x的取值范围.21.设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．（1）当时，写出集合A的生成集B；（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成集合A，使其生成集，并说明理由． 2023-2024学年度第一学期北京育才学校高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合，，那么（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，求得整数的取值，由此可求得.【详解】解不等式，得，，所以，整数的可能取值有、、，因此，.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为，所以代入，即，解得.当时，；当时，. 故的解集是.故选：A.3.命题“，”的否定形式是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“，”的否定形式是，.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，故A不正确；对于B，的定义域为，关于原点对称，而，所以不是奇函数，故B不正确；对于C，的定义域为，关于原点对称，而，所以是奇函数且在上是增函数，故C正确；对于D，定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数， 在和上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D不正确.故选：C.5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的人数为，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】借助中间量可确定大小.【详解】对于，由得，对于，由得，对于，由得，所以. 故选：C.7.若，则有A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由对数的运算可得=,再求解即可.【详解】解:因为=,所以，即，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若是偶函数，且当时，，则的解集是（）A.B.或C.D.【答案】C【解析】【分析】根据是偶函数，先得到的解集，再由，将代入求解.【详解】因为时，，所以由，解得，又因为是偶函数，所以的解集是，所以，得，解得所以的解集是，故选：C 9.设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由是上增函数得，即无零点，满足充分性；反之若对任意，，满足无零点，但不满足是上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若是上增函数，则对任意，显然，故，即无零点，满足充分性；反之，若对任意，，即，满足无零点，但是上的减函数，不满足必要性，故“是上的增函数”是“任意，无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）A.6年B.7年C.8年D.9年【答案】B【解析】【分析】依题求出经过年后，产品和产品的年产量分别为，，根据题意列出不等式，求出的范围即可得到答案.【详解】依题经过年后，产品的年产量为产品的年产量为， 依题意若产品的年产量会超过产品的年产量，则化简得，即，所以，又，则所以至少经过年产品的年产量会超过产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数的定义域为___________.【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数需满足，解得且，故函数的定义域为，故答案为：12.已知方程的两根为和，则______；______.【答案】①.②.【解析】【分析】利用韦达定理可得、的值.【详解】因为方程的两根为和，由韦达定理可得，，所以，，.故答案为：；.13.设函数同时满足以下条件： ①定义域为；②；③，，当时，；试写出一个函数解析式______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设，即，都有，即，即，所以由题意可知是定义域为的减函数且满足，不妨设一次函数满足题意，则，即.故答案为：.14.设函数，其中.①若，则______；②若函数有两个零点，则a的取值范围是______.【答案】①.2②.【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出与的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当时，因为，所以，所以.②因为函数有两个零点，所以，即与的图象有两个交点.由得，得. 结合图象可得，即.所以a的取值范围是.故答案为：①2；②.15.给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数． (Ⅱ)记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数，女生人数为．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，则样本空间为：Ω＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(G1，G2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)}，事件A共包含6个样本点．从而所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数.（1）证明：为偶函数；（2）用定义证明：是上的减函数；（3）直接写出在的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数可知，即，所以函数的定义域为，所以，， 故为偶函数.【小问2详解】假设且，则，由，知，从而，即.所以是上的减函数.【小问3详解】因为在上减函数，所以在的值域为.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.804.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】 乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.804.79乙4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：【小问3详解】从表格数据分析可得：甲视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为万个，每年需投入的其它成本为（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润（单位：万元）关于x的函数关系式；（2）当年产量x为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）（2）当年产量x为万个时，该厂的年利润最大，为万元 【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：，.因为所以，即.【小问2详解】当时，函数在单调递增，此时.当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时.综上可得：当年产量x为万个时，该厂的年利润最大，为万元.20.已知函数，.（1）求；（2）若函数是偶函数，求m的值；（3）当时，当函数的图象在直线的上方时，求x的取值范围.【答案】（1） （2）（3）【解析】【分析】（1）直接将代入计算；（2）通过计算恒成立可得m的值；（3）解不等式即可.【小问1详解】由已知得；【小问2详解】函数是偶函数，，又要恒成立，故，解得；【小问3详解】当时，，当函数的图象在直线的上方时有，解得.21.设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．（1）当时，写出集合A的生成集B； （2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．【答案】（1）（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】，【小问2详解】设，不妨设，因为，所以中元素个数大于等于7个，又，，此时中元素个数等于7个，所以生成集B中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，不妨设，则集合A的生成集则必有，其4个正实数的乘积；也有，其4个正实数的乘积，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.