河北省沧州市部分学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

2023～2024学年度第一学期高一年级12月月考试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色黑水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人数A版必修第一册第一章～第五章第5节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．3C．D．3．已知某扇形的弧长为，半径为3，则该扇形的面积为（）A．B．C．D．4．“”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数①；②；③，中，奇函数的个数为（）A．0B．1C．2D．36．已知，，，则（）A．B．C．D．7．函数的图象大致是（） A．B．C．D．8．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列化简正确的是（）A．B．C．D．10．下列函数中，最小值为2的是（）A．B．C．（）D．11．已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（） A．B．C．D．12．已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（）A．的图像关于点对称B．C．当时，D．在上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数的图象关于原点对称，则______．14．已知函数（）在区间上的最大值为2，则实数的取值范围为______．15．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是______．16．设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．18．（本小题满分12分）已知：，：．（1）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围；（2）若，且，至少有一个成立，求的取值范围．19．（本小题满分12分）已知定义在上的偶函数，当时，（），且．（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）解不等式：．20．（本小题满分12分） 已知，是函数（，，）的两个雾点，的最小值为，且．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．21．（本小题满分12分）定义：将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度，单位是平方公里/小时，如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里．十一黄金周期间，黄山景区是中国最繁忙的景区之一．假设黄山上的游客游玩的扫码速度为（单位：平方公里/小时），游客的密集度为（单位：人/平方公里），当黄山上的游客密集度为250人/平方公里时，景区道路拥堵，此时游客的步行速度为0；当游客密集度不超过50人/平方公里时，游客游玩的扫码速度为5平方公里/小时，数据统计表明：当时，游客的扫码速度是游客密集度的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当游客密集度为多少时，单位时间内通过的游客数量可以达到最大值？22．（本小题满分12分）设函数（且，），已知，．（1）求的定义域；（2）是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 2023～2024学年度第一学期高一年级12月月考试卷·数学参考答案、提示及评分细则1．A因为集合，所以，．故选A．2．C原式．故选C．3．D扇形的面积．故选D．4．B由，可知，充分性不成立；由，必要性成立；即“”是“”成立的必要不充分条件．故选B．5．B根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除②；对于①，，是奇函数；对于③，，是偶函数．故选B．6．C，，，则有，，又，故有．故选C．7．C函数的定义域为，且，则函数为奇函数，故排除D项；又因为当时，，故排除A项；当时，，故排除B项．故选C．8．D，因为，所以，因为，所以．正弦函数在一个周期内要满足上式，则，所以，，所以的取值范围是．故选D． 9．AC，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．故选AC．10．CD对于A，，当时，，不符合要求，故A错误；对于B，，当且仅当时取等号，由得显然不成立，所以等号取不到，即的最小值不是2，故B错误；对于C，因为，所以，，当且仅当时取等号，最小值是2，故C正确；对于D，，易知，，则，当即或时，有最小值4，即有最小值2，故D正确．故选CD．11．BC因为，，因为函数在区间内单调递增，所以，所以．故选BC．12．ABC对于A，由题设，可知的图象关于点对称，A正确；对于B，在中，令，得，B正确；对于C，当时，，所以，又，所以，即当时，，而为偶函数，所以当时，，综上可知，当时，，C正确；对于D，由B的解析可知，故D错误．故选ABC． 13．0由于函数是幂函数，所以，解得或．当时，，是奇函数，图像关于原点对称；当时，，是偶函数，图象不关于原点对称，所以的值为0．14．当时，，则，由题意可得，．15．因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的取值范围是．16．的零点为，当即时，在内有且仅有一个零点．可得，令，则与的图象在内只有一个交点．结合图象可得或，即或；当即时，在内恰有两个零点，则与的图象在内恰有两个交点，结合图象可得，即，这与矛盾．综上，或．17．解：（1）因为，，所以，所以．（2）因为，，， 所以，，所以．18．解：（1）设，，因为是的必要非充分条件，所以是的真子集，则，所以实数的取值范围为．（2）当时，：，：，考虑“，至少有一个成立”的否定：，均不成立，此时解得或．故，至少有一个成立时，的取值范围为．19．解：（1）因为是定义在上的偶函数，且，所以，即，解得．（2）当时，，设，则，则，故（3）由题意，，得，得，解得或，故的解集是．20．解：（1）设的最小正周期为，因为，是函数的两个零点，的最小值为，所以，． 由得，因为，所以，，由，，可得，所以．（2）当时，，因为在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以，所以在上的值域为．21．解：（1）由题意知时，公里/小时；当时，设（），则解得故（2）由（1）可得当时，，此时；当时，， 当时，；由于，故当游客密集度为125人/平方公里时，通过的游客数量可以达到最大值．22．解：（1）由，得，即，由，得，即，，解得，或（舍），，．，，故的定义域为．（2）假设存在实数，，使得在区间上的值域是．由（1）易知在上单调递增，，即令，，（，），即，为方程的两个不等实数根且，令，则解得．即，，故存在实数符合条件，的取值范围是．