湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023~2024学年度第一学期武汉市部分学校高一年级期中调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2023.11.15本试题卷共5页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用并集的定义直接计算即可.【详解】集合，，则.故选：A.2.设命题，，则为（）A.，B.， C.，D.，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，命题“，”的否定“，”.故选：A.3.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合抽象函数的定义域的求解方法，以及函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意知，函数的定义域为，则函数满足，解得或，即函数的定义域为.故选：C.4.不存在函数，满足（）A.定义域相同，值域相同，但对应关系不同B.值域相同，对应关系相同，但定义域不同C.定义域相同，对应关系相同，但值域不同D.定义域不同，对应关系不同，但值域相同【答案】C【解析】【分析】对于ABD，举例判断，对于C，由两函数相等的条件分析判断. 【详解】对于A，如，满足定义域相同，值域相同，但对应关系不同，所以A错误，对于B，如，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同，所以B错误，对于C，当两函数的定义域相同，对应关系相同时，这两函数为相同的函数，所以值域必相同，所以不存在函数，满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同，所以C正确，对于D，如，满足定义域不同，对应关系不同，但值域相同，所以D错误，故选：C5.设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作差即可判断.【详解】时，，，故.故选：B6.已知函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】由已知可得在上递减，，然后画出的简图，结合图象求解 不等式即可.【点睛】因为函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，所以在上递减，因为，所以，所以的简图如图所示，由，得或，所以，或，解得，或，综上，所以不等式的解集为，故选：A7.已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解．【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意；当时，不等式的解集为，要使不等式恰有四个整数解，则，当时，不等式的解集为，要使不等式恰有四个整数解，则，综上可得，实数的取值范围是．故选：C．8.定义函数为实数x的小数部分，为不超过x的最大整数，则（）A.的最小值为0，最大值为1B.在为增函数C.是奇函数D.满足【答案】D【解析】【分析】首先注意到，使得，结合函数新定义先得到是周期为1的周期函数，由此可以依次判断DBC选项，最后研究在上的最值情况即可.【详解】对于D，因为，使得，此时，，这表明了，故D正确；对于B，首先，由D选项分析可知，，故B错误；对于C，由D选项分析可知，是周期为1的周期函数，所以，故C错误；对于A，由D选项分析得知，是周期为1的周期函数，所以只需研究它在上的最值情况即可，而当时，，即的最小值为0，没有最大值，故A错误. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意到，使得，结合函数新定义得出是周期函数.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，则下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，则D.若，则【答案】AD【解析】【分析】用不等式的性质可判断A，取特值可判断BC，用函数增减性可判断D.【详解】用不等式的性质可判断A正确；B错误：若，则；C错误：若，则；D正确：时递增，故时，.故选：AD.10.已知函数，则（）A.是偶函数B.在区间单调递增C.的值域为D【答案】ACD【解析】【分析】根据函数奇偶性定义可判断；根据函数奇偶性性质结合单调性可判断；根据偶 函数和幂函数性质可判断.【详解】对于，因为函数的定义域为，且，所以是偶函数，故正确；对于，因为是定义在上的偶函数，所以在上单调性与在上单调性相反，当时，，而在单调递增，所以在单调递减，故错误；对于，，当时，的值域为，因为函数为偶函数，所以的值域为，故正确；对于，因为函数是偶函数，所以，因为，所以，所以,因为在单调递增，所以，故正确.故选：.11.已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（）A.B.函数在区间为增函数C.函数在区间为增函数D.【答案】BD【解析】【分析】令可判断A；不妨设，可得，即，即可判断B；结合选项B，可取判断C；结合选项B及不等式的性质判断D. 【详解】令，则有，即，故A错误；不妨设，由，可得，∴，∴函数在区间为增函数，故B正确；由选项B可知，函数在区间为增函数，可取，此时在区间为增函数，而，可知函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误；∵函数在区间为增函数，，∴，∴，∴，故D正确.故选：BD.12.已知x，y均为正实数，则（）A.的最大值为B.若，则的最大值为8C.若，则的最小值为D.若，则的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由，化简得到，得出，结合二次函数的性质，可判定D正确.【详解】A中，因为，可得，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为，所以A正确；B中，由，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确；C中，若，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；D中，由，可得，则，令，则，又由，所以当，可得，所以，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．【答案】 【解析】【分析】分别把不等式表示为集合形式，将必要不充分条件转化为集合间的真包含关系，从而得到结果.【详解】设，，因为“”是“”的必要不充分条件，所以Ü，所以，故答案为：.14.写出一个定义域为，值域为的函数________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】结合反比例函数模型得到定义域为，值域为的函数解析式.【详解】因为定义域为，值域为，关于对称，所以函数定义域为，值域为，结合反比例函数模型可得，故答案为：（答案不唯一）15.某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如下：优秀合格合计语文202848英语301848若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为________人．【答案】12【解析】【分析】设集合表示语文写作优秀的学生，集合表示英语书面表达优秀的学生，全班学生用集合表示.利用可得出答案. 【详解】设集合表示语文写作优秀的学生，集合表示英语书面表达优秀的学生，全班学生用集合表示.则表示语文写作合格的学生，表示英语书面表达合格的学生，作出图.如图，设两项写作都优秀的人数为，两项写作都合格的人数为.由图可得,即因为，所以，即两个项目中都优秀的同学最多为12.故答案为：12.16.已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则______；______.附注：.【答案】①.②.【解析】【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期，结合已知条件和周期即可求和.【详解】因为，所以函数的图象关于点对称，且；又的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，即为偶函数，所以，所以以4为周期，所以，，，，所以，因为，所以，同理，， ，，，所以.所以.故答案为：；【点睛】关键点睛：根据函数的对称性得函数的周期，从而利用周期和对称性求和是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，．（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）由补集的定义即可得出答案；（2）由，得，讨论和，列出不等式求得结果.【小问1详解】集合，当时，，所以．小问2详解】由，得．①当时，则有，解得：，符合题意；②当时，则有，解得：．综合①②可得：实数的取值范围为或．18.已知函数． （1）证明：函数在区间单调递减；（2）若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值．【答案】（1）证明见解析（2），最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；（2）根据结合函数是奇函数，结合题意，求得函数的解析式，利用函数的单调性和对称性，即可求解.【小问1详解】证明：任取，且，则，因为，可得，，所以，即．所以在上单调递减．【小问2详解】解：当时，，因为是奇函数，额的，所以，由（1）知，当时，单调递减，所以，，又因为是奇函数，则且当时，单调递减，所以．综上可知，的最大值为2，最小值为． 19.已知x，y都是正数，且．（1）求的最小值；（2）已知不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）9（2）．【解析】【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件.（2）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围.【小问1详解】，当且仅当即时取等号，此时的最小值为9．【小问2详解】解法一：由题意知的最小值．因为，，所以，当且仅当，即，时，等号成立．所以．解法二：由，得，又恒成立， 所以的最小值，因为，当且仅当，且，即，时等号成立．所以．20.如图1，腰长为的等腰直角与矩形DEFG夹在两条平行直线之间，其中B点与D点重合．若矩形DEFG位置固定不动，而以的速度向右平行移动，移动过程中两图形重叠部分的面积记为，函数的部分图象如图2所示，其中的函数图像被遮住，由虚线代替．（1）求函数的解析式；（2）求重叠部分的面积不小于的持续时间．【答案】（1）（2）3秒【解析】【分析】（1）根据题意，求得，结合图象，分段求解，即求得函数的解析式；（2）由（1）中，函数的解析式，结合，分段求解，即可得到答案.【小问1详解】解：依题意得，DE的长应为B与D重合至B与E重合时运动路程，故．当，； 当，；当，；当，，所以.【小问2详解】解：若，结合函数的解析式，只需考虑，当时，由，解得；当时，由成立；当时，由，解得，所以重叠部分的面积不小于的时间区间为，持续时间为3秒.21.已知函数．（1）若函数的图象与x轴有两个不同的交点，求实数m的取值范围；（2）若函数在区间单调递减，且对任意，，都有，求实数m的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）由判别式大于0可得；（2）由二次函数性质首先求得，然后求得在上的最大值和最小值，由得结论．【小问1详解】 由题意可知方程有两个不相等的实数根，，所以，解得或，所以m的取值范围是或；【小问2详解】因为函数在是减函数，其对称轴为，所以，即．因为对任意的，，总有，所以要使成立，则必有．因为在单调递减，在单调递增，且，所以，，所以，即，解得．所以，实数m的取值范围是．22.已知函数，．（1）对任意，，求实数x的取值范围；（2）设，记的最小值为，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解法1：由已知可得恒成立．分，，三种情况，分离常数，结合的范围，列出不等式求解，即可得出答案；解法2：由 ，可将函数看为关于的一次函数，列出不等式组，求解即可得出答案；（2）代入可得．分，，三种情况，去绝对值，结合二次函数的性质，得出的单调性，进而得出最小值，求出的表达式.分段求解得出范围，即可得出答案.【小问1详解】解法1：因为，对任意，，所以恒成立．当时，恒成立，即，解得，所以；当时，，显然成立；当时，恒成立，即，解得，所以．综上所述，x的取值范围为．解法2：因为对任意，，所以，解得；且，解得．所以x的取值范围为．小问2详解】由题意可知，．①当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增. 函数的最小值为；②当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增.所以，函数的最小值为；③当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增.故函数的最小值为.综上所述，.所以，当时，函数的最小值为，此时；当时，函数的最小值为，此时；当时，函数的最小值为，此时．综上所述，的最小值为．