重庆市外国语学校2023-2024学年高一上学期12月测试数学试题（Word版附解析）

重庆外国语学校高2026届高一上期12月测试数学试题（满分150分，120分钟完成）命题人：高一数学备课组审题人：高一数学备课组第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】对集合化简，然后求出即可.【详解】因为，解得，因为，解得，所以，，所以,故选：D.2.下列四个数中最大是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的性质可得，则，结合作差法可得答案.【详解】因为所以， ，所以四个数中最大的是，故选：A.【点睛】本题主要考查对数函数的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题.3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小.【详解】故选：D【点睛】本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.4.函数的图象可能是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】由函数奇偶性可排除B；由可排除选项A、D.【详解】设，定义域为，，所以为奇函数，故排除选项B；又，排除选项A；，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.5.设函数（，且）的图象过点，其反函数的图象过点，则等于（）A.6B.5C.4D.3【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合反函数的性质，得出方程组，即可求解．【详解】由题意，函数的图象过点，其反函数的图象过点，可得，即，解得，则．故选C．【点睛】 本题主要考查了对数的运算性质，以及反函数的应用，其中解答中熟记反函数的性质，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（）A.10分钟B.14分钟C.15分钟D.20分钟【答案】B【解析】【分析】由时，，代入求得，再由求解.【详解】解：由题意得：当时，，即，解得，所以，由题意得，即，两边取对数得，所以，所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟，故选：B7.已知正实数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】由题可得，，则， 所以，当且仅当，即时，取得等号，故选:C.8.已知实数，，，，则的整数部分是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由得到，令，由对勾函数性质可知，，所以求得整数部分为．【详解】，因为，则，令在上单调递减，在上单调递增（当且仅当时取等号）当或时，所以，所以整数部分为2，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应位置．9.若幂函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（）A.B.1C.D.3 【答案】BD【解析】【分析】根据题意，结合幂函数的性质依次分析选项中函数的定义域和奇偶性，即可得出结论.【详解】根据幂函数定义可知，对于A，若，则，易知其定义域为，令，则，则其为偶函数，不符合题意；对于B，当时，，定义域为，且为奇函数，符合题意；对于C，当时，则，定义域为，不符合题意；对于D，当时，则，定义域为，且为奇函数，符合题意；故选：BD10.下列说法正确的是（）A.函数，是增函数，零点为B.已知实数，则函数的零点所在的区间是C.函数的零点个数为3个D.函数在上存在零点，则正实数的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据指数函数的性质及零点的定义即可判定；对于B，根据零点存在性定理判定即可；对于C,利用函数图象即可判定；对于D,根据题意建立不等式组，解出即可.【详解】根据指数函数的性质知，是上的增函数，令，得，则函数得零点为，故A错误；因为函数，，易得函数为上的增函数，又，故函数的零点所在的区间是，故B正确；函数的零点个数，为函数与的图象交点个数， 如图所示，两个函数图象有三个交点，故函数有三个零点，则C正确；因为函数在上存在零点，则有，解得，故D正确，故选：BCD.11.已知函数对，都有，且任取，，以下结论中正确的是（）A.B.C.D.若，则【答案】AB【解析】【分析】先根据题设条件得出函数的对称性和单调性，再利用这两个函数性质进行函数值比较以及解抽象不等式.【详解】根据题意，函数对，都有，则函数的图象关于直线对称，又任取，则在区间上为减函数，在上为增函数．对于A，，则有，A正确；对于B，在区间上为减函数，在上为增函数，故在时取得最大值，即对，B正确； 对于C，在区间上为减函数，又，则，C错误；对于D，若，因函数的图象关于直线对称，且在上为增函数，在区间上为减函数，则有或，解得或，D错误．故选：AB.12.已知函数的零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（）A.B.C.与的图象关于对称D.【答案】ABD【解析】【分析】由函数与互为反函数，根据与垂直与反函数的性质结合对称性可得.【详解】由，得，，即可得，即有，，而不在的图象上，故的图象与的图象不关于对称.因为函数与互为反函数，关于对称，又因与垂直，在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示，则，， 由反函数性质知关于对称，则，，故选：ABD第П卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．13.设函数，则______．【答案】7【解析】【分析】根据分段函数求函数值的方法结合已知解析式计算得出答案.【详解】函数，，故答案为：7.14.已知，，则x＋2y的值为____________.【答案】3【解析】【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值.【详解】，.故答案为：3【点睛】本题考查指对数运算，重点考查计算能力，属于基础题型. 15.若函数，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，求得，得到函数为递增函数，再由，得到函数为奇函数，把不等式转化为，得到，即可求解.【详解】由函数，可得，所以函数为上的单调递增函数，又由，所以为奇函数，则不等式，即为，可得，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.16.已知函数是偶函数，若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围______．【答案】【解析】【分析】由奇偶性求得参数，问题转化为方程无实数解，再变形转化为新函数的图象与直线无交点，从而只要求得函数的值域即可得．【详解】，即对于任意恒成立．，，，由题意知方程即方程无解．令，则函数的图象与直线无交点． 任取，且，则．，在上是单调减函数．．的取值范围是．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分．其中，17题10分，18，19，20，21，22各12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．17.已知是定义域为的奇函数，当时，.(1)写出函数的解析式；(2)若方程恰3有个不同的解，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设，则有＞0，利用可求得，然后写出完整的函数式；（2）作出函数的图象，确定的极值和单调性，由图象与直线有三个交点可得的范围．【详解】解：(1)当时，，是奇函数，.(2)当时，，最小值为；当，，最大值为.据此可作出函数的图象，如图所示， 根据图象得，若方程恰有个不同的解，则的取值范围是.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围．18.若，且．（1）求的最小值及对应的的值；（2）当取何值时，，且．【答案】18.当时，最小值为19.【解析】【分析】（1）代入利用对数的运算性质即可得出．进而利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．（2）由题意知：，利用一元二次不等式的解法、对数函数的单调性即可得出.【小问1详解】．由已知得．又．故． 当，即时，有最小值．【小问2详解】由题意得，所以.19.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，（1）求最小值.（2）若对任意的，恒成立，则实数的取值范围.【答案】（1）1（2）．【解析】【分析】（1）根据奇偶性，联立方程求出函数的解析式，即可判断最小值；（2）恒成立问题，分离参数后构造新函数，求出新函数的最小值即可求得实数的取值范围.【小问1详解】函数满足①，所以，由函数的奇偶性可得，②，由①+②得，，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为1.【小问2详解】因为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，令，则函数在上为减函数，所以，所以.20.已知函数是定义域为的奇函数. （1）求，值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得、，代入即可得解；（2）由可判断函数单调递减，结合奇函数的性质可得恒成立，即可得解.【详解】（1）因为函数为奇函数，故，则，所以，又恒成立，所以；（2）因为，函数单调递减，又恒成立，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以.【点睛】本题考查了利用奇函数的性质求参数，考查了利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，属于中档题.21.函数（1）求证：在上是增函数.（2）若函数是关于的方程在有解，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）将方程g（x）=m+ f（x）转化为m=g（x）﹣f（x），然后求出函数g（x）﹣f（x）的表达式，即可求出m的取值范围．【详解】1）（1）任设x1＜x2，，∵x1＜x2，∴，∴，即f（x1）＜f（x2），即函数在定义域上单调递增．2）由g(x)=m＋f(x)，∴，当1≤x≤2时，，，【点睛】本题主要考查函数单调性的定义以及对数函数的图象和性质，考查逻辑推理能力与运算能力．22.已知定义在上的函数恒成立，（1）求的取值范围（2）判断关于方程在上是否有实根？并证明你的结论．【答案】（1）（2）没有，证明见解析【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性进行求解即可；（2）利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】，化简，得， 因为，所以恒成立显然，当时等号成立．所以只要，即，解得：；【小问2详解】令，则，令，又该二次函数的对称轴为：，得在上单调递增，，故从而，故在无实根．【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，结合对数函数的单调性进行求解.