重庆市 2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

重庆市辅仁中学校高一上学期中期考试数学试题姓名：________班级：________考号：________一、单选题（每小题5分，共40分）1.若，则集合P中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据集合和元素的概念进行求解.【详解】集合P中元素为，，共2个．故选：B2.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充要条件的判定方法，即可得到结论【详解】由题意，当时，是成立的，当当时，如，而是不成立的，所以是的充分不必要条件，故选:A．3.命题“，都有”的否定为（）A.，使得B.，都有C.，使得D.，使得【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到是否定结论而不是否定条件，所以C选项正确.故选：C4.若函数的定义域是，，则函数的定义域是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】由解得结果可得函数的定义域.【详解】函数的定义域是，，即，由，解得．函数的定义域是．故选：C．【点睛】本题考查了复合函数定义域的求法，属于基础题.5.已知，则的解析式为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】换元法求函数解析式即可.【详解】设，则，所以，故，故选：C6.若，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析】利用基本不等式即可得到答案【详解】解：，， 当且仅当即时取等号，故选：C7.已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意结合二次函数的性质运算求解.【详解】因为，可知开口向上，对称轴为，则在上单调递减，在上单调递增，又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2，所以.故选：D.8.已知是定义在上奇函数，当时，，则不等式的解集为（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合奇函数的性质分析的符号，进而解不等式.【详解】当时，令，可知：当时，；当时，；又因为是奇函数，可知：当时，；当时，；对于不等式，则或，可得或， 所以不等式的解集为.故选：C.二、多选题（每小题5分，共20分，错选得0分，少选得2分）9.设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据x，y的范围及基本不等关系，对选项一一分析即可.【详解】对于A，，即，故A正确；对于B，，则，即，故B错误；对于C，，即，故C正确；对于D，由题知，则，故D错误；故选：AC10.下列说法中，错误的有（）A.所有函数在定义域上都具有单调性.B.因为，所以函数在上单调递增.C.若在R上是减函数，则.D.若函数在区间和上均单调递增，则函数在区间上也单调递增.【答案】ABD【解析】【分析】举反例说明选项ABD错误，利用定义判断选项C正确.【详解】解：A.不是所有函数在定义域上都具有单调性，如函数，所以该选项错误；B.因为，不能说明函数在上单调递增，如，满足，但是函数在上不是单调递增，所以该选项错误；C.若在R上是减函数，则，所以该选项正确； D.若函数在区间和上均单调递增，则函数在区间上不一定单调递增，如函数，在区间和上均单调递增，则函数在区间上不单调，所以该选项错误.故选：ABD11.下列幂函数中满足条件的函数是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择.【详解】由题意可知，当时，满足条件的函数的图象是凹形曲线.对于A，函数的图象是一条直线，故当时，；对于B，函数的图象是凹形曲线，故当时，；对于C，函数的图象是凸形曲线，故当时，；对于D，在第一象限，函数图象是一条凹形曲线，故当时，，故选：BD.【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析判断能力，属中档题.12.已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（）A.B.1C.2D.3【答案】CD【解析】 【分析】由题意可知函数在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案.【详解】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减，则，即，可得，结合选项可知AB错误，CD正确.故选：CD.三、填空题（每小题5分，共20分）13.若函数是偶函数，则__________.【答案】1【解析】【分析】根据偶函数定义域关于原点对称即可求出，根据偶函数的即可求出.【详解】因为函数为偶函数且，所以，又数是偶函数，，所以，所以，所以对任意成立，所以，所以，故答案为：1.14.定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是________．【答案】 【解析】【分析】结合奇函数性质以及单调性，去掉外层函数，变成一元二次不等式进行求解.【详解】因为，即，根据奇函数的定义可知原不等式为，且定义域内单调递减函数，故，解得或，又因为函数定义域为，故，解得，综上，，即的范围为.故答案为：.15.若方程有一解，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】方程有一解，即与的图象有一个交点，画出图象可得答案．【详解】函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位长度后，再把位于轴下方的图象沿轴翻折到轴上方得到的，函数图象如下图所示，当或时，直线与函数的图象有唯一的交点，即方程有一解．故答案为：.16.设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时， ，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性，先求得，然后求得.【详解】因为是偶函数，所以①，因为是奇函数，所以②，令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由②得：，所以当时，，.故答案为：四、计算题（共70分，写出必要的解题过程）17.已知全集，集合，．求：，；【答案】，【解析】【分析】根据交集、补集运算求解.【详解】因为，，，所以，.18.已知函数（且）的图象经过点．（1）求的值；（2）求函数的值域． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接代入即可求出值；（2）求出，再根据指数函数值域即可得到答案.【小问1详解】因为的图象经过点，则，又且，所以．【小问2详解】当时，，则，因为，所以在上单调递增，则，即，所以的值域为．19.已知集合．（1）若，求；（2）若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出和集合，进而求出；（2）根据真子集，即可列不等式求解.【小问1详解】由得，故，由得，因为，故， 若，则，所以；【小问2详解】若是成立的充分不必要条件，则Ü，则有解得，此时满足Ü，所以的取值范围是．20.已知函数．（1）若的解集为，求实数的取值范围；（2）当时，解关于的不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可.【小问1详解】由题意知：在上恒成立，，解得：，即实数的取值范围为.【小问2详解】由得：；当时，的解为或；当时，的解为或；综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.21.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【解析】【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.【详解】（1），当且仅当时，即取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）又，∴当时，.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.22.已知函数为定义在的奇函数，且满足．（1）求函数的解析式；（2）判断的单调性，并利用定义加以证明；（3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）增函数，证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）根据，求出，，再检验是否满足奇函数的定义即得解；（2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，可得，即，解得：，又因为，所以，综上所述，，所以，因为定义域关于原点对称，所以，所以为定义在的奇函数，所以.【小问2详解】函数在为单调递增函数，证明如下：任取，则因为，所以，，可得，即，故在上为增函数.【小问3详解】由（2）可知，函数在区间上单调递增，则，由于对恒成立，则，即对任意的恒成立， 构造函数，其中，所以，即，解得：或或，所以实数的取值范围是.