湖南省 2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

常德市一中2023年下学期高一年级期中考试试卷数学（时量：120分钟，满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义可得.【详解】因为，又，所以.故选：B2.已知函数，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据解析式求函数值即可.【详解】，所以.故选：C.3.已知，则“”是“”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由，得，即“”是“”的充分条件，反之，当时，或，即“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A4.函数的图象是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），，再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），，可排除C．故选B．5.已知函数的定义域为,则函数的定义域为（　　）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据同一个函数括号内的范围必须相同,因为的定义域为,所以函数应满足:,即可求得答案.【详解】函数的定义域为根据同一个函数括号内的范围必须相同函数应满足:,即函数的定义域为:.故选:B【点睛】本题考查了抽象函数的定义域问题,注意函数定义域指的是范围,再者抽象函数题目中同一个函数括号内的范围必须相同,这是连接两个函数的桥梁.6.若，则的值等于（    ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由指数化为对数，再由对数的运算可得答案.【详解】∵，∴，∴，，∴.故选：B.7.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.【详解】［方法一］：特殊函数法由题意，不妨设，因为，所以，化简得．故选：D.［方法二］：【最优解】特殊值法假设可取，则有，又因为，所以与矛盾，故不是不等式解，于是排除A、B、C．故选：D.［方法三］：直接法根据题意，为奇函数，若，则，因为在单调递减，且，所以，即有：，解可得：.故选：D.【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题通性通法．8.已知函数．若，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.【详解】由得．根据函数的图象及，则，即，可得，，令，根据对勾函数可得在上单调递增，则．所以的取值范围是.故选：C.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据函数相同的条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，易知的定义域为，的定义域为，故与不是同一函数，所以选项A正确；对于选项B，易知的定义域为，的定义域为，故与不是同一函数，所以选项B正确；对于选项C，易知的定义域为，的定义域为，故与不是同一函数，所以选项C正确；对于选项D，因为，故与定义域相同，均为，函数表达式相同，所以与是同一函数，选项D错误，故选：ABC.10.已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集为C.不等式的解集为或D.【答案】AC【解析】【分析】由题意可得是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系表示出，再逐个分析判断即可.【详解】关于x的不等式的解集为，所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；且方程的两根为－3、4，由韦达定理得，解得.对于B，，由于，所以，所以不等式解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即，所以，解得或，所以不等式的解集为或，故C正确；对于D，，故D不正确.故选：AC.11.若，则下列结论可能成立的是（　　）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】分与同正、同负和异号三种情况讨论即可.【详解】若与同号，则由得，即，∴，当与同为正时，，故C正确；当与同为负时，，故A错，B正确；若，则，故D正确．故选：BCD.12.在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（）A.B.CD.【答案】BCD 【解析】【分析】函数的图象关于成中心对称,可得所以的图象关于原点对称，令，可求得，故错误,正确；又，故正确，令此式中，可求得,判断出选项【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以的图象关于原点对称，则，所以，故错误,正确；所以对任意，都有，故正确；在中令得，且，所以，故正确.故选:BCD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题：“，”，则为________.【答案】，【解析】【分析】根据全称命题的否定可得解.【详解】根据全称命题的否定可知，命题：“，”的否定为：，.故答案为：，14.若幂函数的图象过点，则________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数过点求出解析式即可得解. 【详解】因为幂函数的图象过点所以因为，解得，所以，故.故答案为：15.的图象关于对称，则________.【答案】【解析】【分析】根据函数图象可知函数的对称轴，据此得解.【详解】作函数，图象，如下，由图象可知的图象关于对称，所以.故答案为：16.已知，若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，得， ；因为，所以若中恰含有一个整数，则，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合.若，求a的值.【答案】或5【解析】【分析】利用条件得，再列方程并检验即可得到a的值.【详解】解：因为所以，故或，即或.检验可知，当且仅当或时，，满足题意.故a的值为或5.18.计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指数运算法则计算即可.（2）利用对数运算法则计算即可.【小问1详解】.小问2详解】 .19.已知集合，.（1）若“”是“”的充分不必要条件，求m的范围；（2）若，求m的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题可得，即可得答案；（2）由题可得，即可得答案.【小问1详解】由题意可得（1）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则，解得，即m的范围为；【小问2详解】因为，所以.当时，，解得；当时，，解得.综上，，即m的范围为.20.（1）已知，求的最小值；（2）已知，，且，若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）1；（2）．【解析】【分析】（1）变形后利用均值不等式求解最小值；（2）结合“1”的技巧，利用均值不等式求解. 【详解】（1）由于，所以，故，当且仅当，即时等号成立，故最小值为1.（2）因为，，且，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，因为恒成立，所以，即，解得．所以实数m的取值范围为．21.设函数为偶函数．（1）求k的值；（2）写出函数的单调性（不需证明），并解不等式．【答案】（1）1（2）单调性见解析，不等式解集为【解析】【分析】（1）根据得到方程，求出；（2）根据定义法得到函数的单调性，并根据单调性解不等式.【小问1详解】∵为定义在R上的偶函数，∴，即， 故，即，解得；【小问2详解】在上单调递减，在上单调递增，理由如下：，设任取，且，则，因为，且，所以，，故，所以在单调递增，由复合函数同增异减可得，在单调递增，又在R上为偶函数，故在上单调递减，，∴，解得或，∴不等式解集为.22.已知函数（1）若，求不等式的解集; （2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合指数函数的性质解不等式；（2）用换元法，然后结合二次函数性质求得最小值．【小问1详解】若，则，所以，即，所以，所以或，解得或，即不等式的解集为．【小问2详解】若，即，解得．所以，令，所以．当，即时，在上单调递增，所以，即．当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，即． 综上，．