湖北省鄂东南联考2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷考试时间：2023年11月15日上午08:00-10:00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“，使得”的否定为（）A．B．C．D．2．已知集合，若，则的值是（）A．0B．3C．D．3，03．下列命题为真命题的是（）A．若．则B．若．则C．若，则D．若均为实数，则4．若，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．5．已知函数．那么函数的定义域是（）A．B．C．D．6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．7．函数的图像不可能是（） A．B．C．D．8．关于的方程有两个相等的正根，则（）A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．设集合．则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．10．已知关于的不等式的解集为，则（）A．函数有最大值B．C．D．的解集为11．已知条件“函数是定义在上的增函数”，下列哪些是的充分不必要条件（）A．B．C．D．12．如果我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为．用表示有限集的元素个数．下列命题中正确的是（）A．若，则；B．存在集合，使得；C．若，则；D．若，则． 三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知全集是小于9的自然数，，则______．14．已知函数满足，则函数值域为______．15．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是______．16．设函数的定义域为，如果存在区间，使得在上值域为且单调，则称为函数的保值区间．已知幂函数在上是单调增函数．（1）函数的解析式______；（2）若函数存在保值区间，则实数的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（1）已知，求的取值范围；（2）若，且，求的最小值．18．（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，不必证明．利用此结论证明：若为三角形的三边长，则．（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元．小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖．请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论．（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量）19．已知函数．（1）若函数图像关于对称，求不等式的解集；（2）若当时函数的最小值为2，求当时，函数的最大值．20．设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，． （1）判断并证明函数在上的单调性：（2）若，求不等式的解集．21．为迎接购物节，某家具厂在直播平台主推一款网红床（每套床包括1张床和2个床头柜）．根据大数据预测，家具厂应先制作1013套网红床以应对本次抢购．为了尽快完成订单，该厂将100名技术工人分成两组，一组只制作床，另一组只制作床头柜．已知每张床和每个床头柜制作的工作量分别为3人1天和1人1天．若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？22．函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数．（1）根据上述材料求函数的对称中心；（2）判断的单调性（无需证明），恒成立，求的取值范围． 2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学参考答案123456789101112ADBCDCABADABDBCAC7．【详解】函数的定义域为，且，所以该函数为偶函数，下面只讨论时的情况：，当时，，图象为C；当时，，图象为B；若时，函数单调递增，图象为D；所以函数的图象可能为BCD．故选：A．8．【解析】因原方程有两个相等的正根，所以且．当且仅当时取等号故选B．9．【解析】集合是函数的定义域．集合是函数的值域，故A正确；集合是数集，集合是点集，故B、C错误；有两组解，故有两个点，故D正确．10．【详解】因为不等式的解集为，所以，函数有最大值，A正确；且，函数值B正确； 又是关于的二次方程的两根，则，所以，则C错；不等式即为，即，解得或，，D正确．故选：ABD．11．【详解】函数是定义在上的增函数的充要条件是：解得．又与都是的真子集，故“”、“”是“函数是定义在上的增函数”的充分不必要条件．故选：BC．12．【详解】对于A，若，则的子集之一就是，所以，故A正确；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则的公共子集只有空集，故，故C正确；对于D，若，不妨设，则，，显然，故D错误．故选：AC．13．．14．【解答】令，则，所以， 所以的解析式为，其中．当时，，所以值域为15．3【解析】解：函数，如图所示，不等式恰有1个整数解，当时，则，结合图像观察，唯一的整数解是1，依题意得，当时，则，此时不会是最大的；所以实数的最大值是316．（1）（2）．【详解】（1）因为幂函数在上是单调增函数，所以，解得，所以函数的解析式为．（2）因为函数在上单调递增，若存在保值区间，则，即，也就是方程在上有两个不等的实根， 令，得，所以在上有两个不等的实根，令，则，即，解得，故实数的取值范围是17．解：（1）设，其中，则，解得，即，所以的取值范围为（2）设，则．当且仅当，即时，等号成立，（等号成立条件没写建议扣2分）所以的最小值为．18．解：（1）糖水变甜了得出不等式．设的三边长分别为，则有，由上述不等式可得：，将以上不等式左右两边分别相加得：，所以，． （2）对于小东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克），对于小华而言，设小华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克，故小华买到的糖的平均价格为（元/千克），，即小东买到的糖的平均价格较高．19．解：（1）图像关于对称，，解得，且所以，原不等式的解集为，且；（2）因为是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为，①若，则在上是增函数，，解得，；②若，则在上是减函数，，解得（舍）；③若，则在上是减函数，在上是增函数；，解得或（舍）综上，当时，的最大值为11；当时，最大值为6． 20．解：（1）在上为增函数设，则即，，故，即故在上为增函数（2）由得：，所以，解得或，所以不等式的解集为：或21．解：设人制作床，则人制作床头柜，．由已知条件得，完成床时间为，完成床头柜时间为，套床完成时间为由，得，且，当单调递减，最小值为，当在单调递增， 最小值为，即，所以安排60人制作床，40人制作床头柜工期最短．22．解：（1）由题意，设函数，则函数，整理得：，又由是奇函数，得，即解得，故函数的对称中心为．（2）函数是上的增函数理由是：由（1）得：函数是上的增函数，结合函数图像平移可知，函数是上的增函数（理由不作要求）由，得，即，又，则，是上的增函数恒成立，