浙江省钱塘联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年浙江省钱塘联盟期中联考高一上学期数学试题一、单项选择题1.若集合，，则（    ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合补集和并集的运算求解即可.【详解】或，,则，故选:B2.命题“，使得”的否定是（    ）A.，B.，使得C.，D.，使得【答案】A【解析】【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得结果.【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得命题“，使得”的否定是，故选：A．3.十九世纪德国数学家狄利克雷提出“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中起着重要作用.已知，则“”是“”的（    ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解.【详解】由题意可知：若，则，但当时，有可能等于，如，，满足，但，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.下列图象中，表示定义域和值域均为函数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误；选项B：定义域不是，值域为，故错误；选项C：定义域和值域均为，故正确；选项D：不满足函数的定义，故错误；故选：C.5.若正实数x，y满足，则的最小值是（    ）A.6B.C.D. 【答案】D【解析】分析】由条件可得，运用基本不等式即可得到所求最小值．【详解】因为正数 x， y满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为故选：D6.下列各组中的函数表示同一个函数的是（    ）A.和B.和C.和D.和【答案】C【解析】【分析】先判断定义域是否相同，再看解析式是否相同即可.【详解】对于A：定义域都，，，值域不同，故A错误；对于B：定义域为，定义域为，定义域不一致，故B错误；对于C：定义域为，定义域为，且，C正确；对于D：定义域为，定义域为，定义域不一致，故D错误，故选：C7.在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则（    ） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先应用新定义列式再结合一元二次不等式恒成立计算判别式即可.【详解】：由已知得，则对任意实数x恒成立，整理得对任意实数x恒成立，故，解得故选：8.函数是定义在的偶函数，当时，，下列说法正确的是（    ）A.函数的图象与轴有四个不同的交点B.当时，C.不等式的解集为D.对于任意，，若，则的最大值为2【答案】D【解析】【分析】A选项,令，解方程求出零点；B选项,利用奇偶性求解析式；C选项,令，解不等式，得到解集；D选项,分段讨论，求出的范围.【详解】当时，.对于A,当时，令可得或，所以或，由函数是定义在的偶函数可得，， 故函数的图像与轴有三个不同的交点，A不正确;对于B,设，则，，设，则，，当时，，B不正确;对于C,当时，令，则或，所以或，，由函数是定义在的偶函数可得，当时，，综上：不等式的解集为，C错误;对于D,不妨设，则，①当时，②当时，，③当时，，④当时，，综上：对于任意的，，若，则，D正确，故选：D二、多项选择题9.已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ）A.B.“，使得”是真命题 C.D.“，”是真命题【答案】ABC【解析】【详解】利用图像中集合M与集合N中元素的关系逐一判断.【解答】对于A：由图可知集合M与集合N有公共部分，故A正确；对于B：当位于集合M与集合N的公共部分时，可知B正确；对于C：，C正确；对于D：易知中含有一部分元素在M中，所以D错误；故选：ABC10.下列说法正确的是（    ）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性质，带入特殊值排除或选择作差法比较大小.【详解】对于A，若，则，A错误；对于B，若，则有，则，B正确;对于C，令，，满足，，但，故C错误；对于D，，则，故D正确.故选：BD11.已知函数的定义域为R，值域为，则下列函数中值域同为的是（    ）A.B.C.D.【答案】BC【解析】 【分析】根据函数的值域对各个选项逐一判断即可.【详解】对于A：的定义域为R，值域为，即，，故A错误；对于B：，相当于对进行了平移，横向伸缩变换，值域始终没变，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误．故选：12.已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且若对于任意，都有，则实数a可以是（    ）A.B.C.D.1【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性分别求得的解析式，然后分与讨论，即可得到结果.【详解】根据题意，，则，两式相加可得，又由是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，所以，即，又对于任意，都有，即对于任意，令，则在区间上单调递增，若，则在上单调递减，不满足题意; 若，则是对称轴为的二次函数，若在区间上单调递增，只需，解得，所以的取值范围为，则可以取值，，故选：BCD三、填空题13.若幂函数在上单调递增，则实数__________.【答案】【解析】【分析】由幂函数的定义先求出a的值，得到函数的解析式，进而结合函数的单调性求解参数【详解】因为函数为幂函数，则有，可得或，又由函数在上单调递增，有，则有故答案为：14.已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】由题意得到，6为方程的两根，利用根与系数的关系可得到a，b，c之间的关系，然后求出方程的根，得到解集.【详解】因为不等式的解集为：，所以得：，且，6为方程的两根， 由根与系数的关系得：，得：，，设方程的两根分别为由根与系数的关系得：，即：，解之得：又因为：，，所以得：所以得：不等式的解集为：故答案为：.15.已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为正实数a，b满足，所以，当且仅当时取等号，故的最大值为，所以.故答案为： 16.若函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数性质，注意时，二次函数分类讨论求解即可.【详解】因为函数，当时，有，当且仅当时等号成立.值域为R，当，有，满足题意;当，二次函数开口向上，不满足题意;当，的对称轴当时，即，，要使的值域是R，则应有，所以；当时，即，，要使的值域是R，则应有，所以故矛盾，舍去.综上所述，当时，的值域是R.故答案为：四、解答题17.对下列式子化简求值（1）求值：（2）已知且，求的值.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则，化简求值.（2）利用指数幂的运算法则，化简求值. 【小问1详解】原式【小问2详解】．18.（1）已知实数x，y满足，，求的取值范围;（2）已知实数，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式的性质求解；（2）由基本不等式求最小值．【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是（2），则，所以当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为19.集合，（1）求；（2）设集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）先化简集合A和B，再由交集概念即可求出结果；（2）先由题意得到，分类讨论进而可得出结果．【小问1详解】由，解之得或，即{或}，由，故；【小问2详解】若“”是“”的必要条件，则C是B的子集，若，故，解得：，若，则，解得：，综上：，故实数a的取值范围是.20.已知定义在上的偶函数，且（1）求函数的解析式;（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明;（3）解关于t的不等式【答案】（1）（2）函数在上是减函数，证明见解析（3）【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义先求出的值，再由具体函数值求出，最后验证；（2）用单调性的定义证明即可；（3）应用单调性求解不等式，注意要先考虑定义域.【小问1详解】定义在上的偶函数，则，即，又，即，解得，所以，经检验符合题意;【小问2详解】函数在上是减函数，证明如下：任取且，则，因为，所以，所以，即，因此函数在上是减函数.【小问3详解】因为，即，由偶函数可得,结合(2)可得，解得，所以不等式的解集为21.中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展.发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，若每辆车售价5万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完.（1）求出2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式;（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）（2）当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为2100万元.【解析】【分析】（1）根据题意求解即可；（2）利用基本不等式和二次函数的性质求分段函数的最值即可.【小问1详解】由题意知利润收入-总成本，所以利润，故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为.【小问2详解】当时，，故当时，当时，，当且仅当，即时取得等号;综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为2100万元.22.我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.（1）给定函数，求图像的对称中心;（2）已知函数同时满足：①是奇函数;②当时，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由对称中心的定义，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为函数的值域是函数的值域的子集，再结合条件，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】，设的对称中心为，由题意，得函数为奇函数，则，即，即，整理得，所以，解得，，所以函数对称中心为.【小问2详解】因为对任意的，总存在，使得，所以函数的值域是函数的值域的子集，因为函数，在上都是增函数， 所以函数在上是增函数，所以的值域为，设函数的值域为集合A，则原问题转化为，因为函数是奇函数，所以函数关于对称，又因为，所以函数恒过点，当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，所以函数在上递增，又，，所以的值域为，即，又，所以，解得，当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，所以函数在上递减，则，又，所以解得,当即时，在上递减，在上递增， 又因函数过对称中心，所以函数在上递增，在上递减，故此时，，要使，只需要，解得，综上所述实数的取值范围为