浙江省钱塘联盟2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022学年第二学期钱塘联盟期中联考高二数学试题考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知数列满足，则（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】C【解析】【分析】根据递推公式可知数列为等差数列，结合首项求得的值.【详解】因为数列满足，所以数列为等差数列，公差为又因，所以.故选：C2.的展开式中的系数是（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】根据二项展开式的通项及性质，即可求得展开式中的系数.【详解】由二项展开式的通项，可得由多项式展开式中的系数为.故选：B.3.2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为，事件AB包含的基本事件的个数为，所以,故选：A4.下列导数运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据基本初等函数的导数及导数的四则运算律判断A,B,D选项，根据简单的复合函数求导判断C选项.【详解】,A选项错;,B选项错;,C选项正确;,D选项错;故选:C.5.算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1 ，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（）A.10种B.25种C.26种D.27种【答案】C【解析】【分析】分类情况讨论结合组合数的计算可得种类.【详解】方法一：至多含3个5，有以下四种情况：不含5，有种；含1个5，有种；含2个5，有种；含3个5，有种，所以，所有的可能情况共有种方法二：所有可能的情况有种，其中不符合条件有含有4个5，有种；含有5个5，有种；所以，所有的可能情况共有种故选：C.6.为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（）参考公式及数据：，其中.附：0.050.010 3.8416.635A.7B.11C.15D.20【答案】C【解析】【分析】设男生的人数为：，根据题意可列出列联表，由公式求出，由求出的取值范围，可得答案.【详解】由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，由题意可列出列联表：男生女生合计喜欢吃甜食不喜欢吃甜食合计.由于有的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，所以；解得：，因为，故的可能取值为：，即男生的人数可以是：，所以选项ABD错误，选项C正确.故选：C.7.已知定义在上奇函数满足，，若，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和导数确定函数单调性即可求解. 【详解】是定义在R上的奇函数，，则，即是偶函数，由，可得，构造，则，所以函数单调递增，不等式可化简为，即，所以，解得.故选：B.8.已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据构造数列和等差数列定义，通项公式以及对号函数的性质即可求解.【详解】由数列满足，可得，易知， 因为，所以，所以，因为，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以且，因为不等式恒成立，所以整理得恒成立，因为，当且仅当时取等号，舍去.当时，；当时，，所以，即实数的取值范围是，故选：A.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分.9.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表广告费用（万元）4235 销售额y（万元）49263954若与线性相关，且线性回归方程中的为，则下列说法正确的是（）A.B.当增加1个单位时，增加约9.4个单位C.与正相关D.若广告费用为万元时，销售额一定是万元【答案】ABC【解析】【分析】由于线性回归直线过样本中心点，所以求出，代入回归方程中可求出，即可得到回归直线方程，在一一判断即可；【详解】依题意，，样本中心点是，则.所以线性回归方程为，所以A正确，对于B，由，可知当增加1个单位时，增加约个单位，所以B正确，对于C，因，所以与正相关，所以C正确，对于D，令，则，所以若广告费用为万元时，销售额大约是万元，故D错误；故选：ABC10.已知函数，则（）A.当时，函数的极小值为B.若函数图象的对称中心为，则C.若函数在上单调递增，则或D.函数必有3个零点【答案】BD【解析】【分析】求导，由导数的正负，根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质､函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，，则，令或，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以极小值为，故A错误；对于B：因为函数图象的对称中心为，所以有，故B正确；对于：若函数在上单调递增，则恒成立，而，显然必有两根，则在递减，故C错误；项：或由于的，且所以必有2相异非零根，故必有3个零点，故D正确.故选：BD11.为了迎接杭州2022年第19届亚运会，某高校一学生会计划从6男4女共10名大学生干部中，选出3男2女共5名志愿者，安排到杭州奥体中心的A，B，C，D，E五个场馆进行志愿者活动，每名志愿者安排去一个场馆且不重复，其中女同学甲不能安排在A､B两个场馆，男乙同学不能安排在B场馆，并且男同学丙必须被选且必须安排在场馆，则（）A.甲､乙都不选的方案共有432种B.选甲不选乙的方案共有216种C.甲､乙都选的方案共有96种D.总的安排方案共有1440种【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，可分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选，结合排列数与组合数公式，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，甲乙都不选的方案共有种，所以选项A正确；选甲不选乙的方案共有种，所以选项B正确； 甲乙都选，则分两种情况：乙排或乙不排，乙排的方案共有种，乙不排的方案共有种所以甲乙都选的方案共有种，所以C正确；由总的安排为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选，其中选乙不选甲的方案，共有种所以总方案共有种，所以选项D错误.故选：ABC.12.已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】将问题等价于在有两个不同的实数根，进一步转化为在有唯一不为1的根，构造函数，求导得单调性即可求解.【详解】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则，即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，令，则，故当单调递增，当单调递减，且即，故选：BD 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知展开式的二项式系数之和为128，则__________.【答案】【解析】【分析】根据展开式的二项式系数之和公式即可求解.【详解】根据展开式的二项式系数之和为，所以，解得，故答案为：.14.某单位的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.已知甲通过每个项目测试的概率都是.若用表示甲通过测试项目的个数，则__________.【答案】【解析】【分析】根据题意得到随机变量服从二项分布，结合方差的计算公式，即可求解.【详解】由题意，随机变量的可能的取值分别为，因为甲通过每个项目测试的概率都是，且每个项目之间相互独立，所以随机变量服从二项分布，则.故答案为：.15.已知是数列的前项和，，若存在，使得，则__________.【答案】11【解析】【分析】根据递推关系式，逐个计算，即可得到结果；【详解】，逐个计算 故答案为:16.已知函数，若存在唯一的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】.【解析】【分析】由，得到，令，求得，得出函数的单调性与极值，作出的图象，根据题意转化为与的图象有且仅有一个公共点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数，令，可得，令，可得，令，解得或或x=0当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由时，；（左侧）时，；（右侧）时，；时，，且，所以函数的图象，如图所示，因为存在唯一的零点，即与的图象有且仅有一个公共点，所以或，即实数的取值范围为.故答案为：. 四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.等比数列的公比为2，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比数列基本量的计算以及等差中项即可求解，（2）由分组求和，结合等差等比的求和公式即可化简求值.【小问1详解】已知等比数列的公比为2，且成等差数列，，,解得，【小问2详解】，. 18.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.【答案】（1）递减区间是，递增区间是.（2）【解析】【分析】（1）求得，结合和的解集，即可求得函数的单调区间；（2）由（1）得到函数在上的单调性，结合题意求得，进而求得函数的最小值.【小问1详解】解：函数的定义域为，可得由得或，由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.【小问2详解】解：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，又由因此，解得，所以所以函数在上的最小值是.19.2022年11月30日美国OpenAI研发的聊天机器人程序ChatGPT（全名：ChatGenerativePre-trainedTransformer）发布，再次引发了人类是否会被人工智能（AI）取代的热议.目前为止，要机器人或人工智能系统完全达到人类的水平，有自发的情感和创造性是很难实现的.但在某些理性思维的领域机器人有着明显的优势，比如国际象棋方面. 某国际象棋协会组织棋手与机器人进行国际象棋比赛，比赛规则如下：两位棋手组队挑战，两人各与机器人比赛一次为一轮比赛，每一轮比赛中两人的比赛结果相互独立，互不影响.在一轮比赛中两人都赢小组积分1分，两人都输小组积分-1分，两人一赢一输小组积分0分，两轮比赛后计算每组得分.现甲､乙两位棋手组队向机器人发起了挑战，甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5，记该小组在一轮比赛中的得分记为，在两轮比赛中的得分为.（1）求的概率；（2）求均值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）得出随机变量的取值为，结合，即可求解；（2）先得出随机变量的可能取值为，结合题意求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，可得随机变量的取值为，可得，，所以.【小问2详解】解：由题意，随机变量的可能取值为，可得，，，，，所以随机变量的分布列为0120.040.20.370.30.09 所以期望为.20.已知函数.（1）若时，求的单调区间和极值；（2）求在上的最小值.【答案】（1）递增区间为，递减区间为，极大值为无极小值；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，由导函数的正负即可求解函数的单调性，进而可求解极值，（2）由函数的单调性，分类讨论即可求解.【小问1详解】由题设,令，，的递增区间为，递减区间为，故的极大值为无极小值；【小问2详解】，，，由于，在上单调递增，在上单调递减，①当，即时，函数在上单调递增，，②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，， 若时，，若时，，综上所述：当时，；当时，.21.在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和．【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（1）根据等差数列的性质，将两已知式联立可以先求出等差数列的首项与公差，进而可求出通项公式；（2）首先根据要求列出关于的不等式，再根据都是正整数，即可判断出落入内的项数，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和法即可求出其前项的和．试题解析：（1）因为是一个等差数列，，所以，即，设数列的公差为，则，故．由，得，即．所以，（2）对，若，则，因此，故得，于是．考点：1、等差数列；2、等差数列通项公式及前项和公式；3、等比数列前项和公式；4、分组求和法．22.已知函数（，为自然对数的底数），. （1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将有两个零点转化为方程有两个相异实根，令求导，利用其单调性和极值求解；（2）将问题转化为对一切恒成立，令，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果.【详解】（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根由，知有两个零点有两个相异实根.令，则，由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，又当时，，当时，当时，有两个零点时，实数的取值范围为；（2）当时，，原命题等价于对一切恒成立对一切恒成立. 令令，，则在上单增又，，使即①当时，，当时，，即在递减，在递增，由①知函数在单调递增即，实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.