吉林省长春市长春外国语学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

长春外国语学校2023-2024学年第一学期第二次月考高一年级数学试卷出题人：赵宇审题人：王骏牧本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域为（）A.B.C.D.2.实数的大小关系正确的是（）A.B.C.D.3.已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是（）.A.B. C.D.4.已知函数，则的值是A.2B.3C.5D.75.设，则关于的不等式的解集是（）A.B.C.D.6.已知点在终边上，则（）A.B.C.D.7.已知锐角，且，则（）A.B.C.D.8.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位）可由公式：求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60，则再经过（）分钟，物体的温度是40（假设空气的温度保持不变）.A.2B.4C.6D.8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（    ）9.下列选项中正确的是（）A.B.C.D. 10.下列所给函数中值域为的是（）A.B.C.D.11.若，，则（）A.B.C.D.12.下列正确的命题是（）AB若，则C.若，则D.若，则第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.半径为2，面积等于的扇形的圆心角的大小是_________．14.若函数（），则方程的解________.15.设函数，若，则实数a的取值范围是__________.16.已知定义在上的函数图像关于点中心对称，且当时，，若的值域为，则实数的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）（2） 18.已知角的终边落在直线上，且，求，，的值．19.已知，，求下列各式的值．（1）；（2）．20.已知函数，且.（1）求的值；（2）求的值.21.已知定义在上的函数（1）判断并证明函数的单调性；（2）若是奇函数，求的值；（3）若的值域为D，且，求的取值范围．22.已知函数.（1）求不等式解集；（2）函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 长春外国语学校2023-2024学年第一学期第二次月考高一年级数学试卷出题人：赵宇审题人：王骏牧本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】使得式子有意义，列出不等式即可求解.【详解】定义域要求，即.故选：B．2.实数的大小关系正确的是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性可得到的范围从而得到答案.【详解】，，，所以，故选：C.3.已知对数函数是增函数，则函数图象大致是（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用代特殊点和对数函数的图像性质排除选项即可.【详解】由题意，，，，所以函数是偶函数，当时，，故排除选项C、D，当时，由对数函数的单调性，对数函数增长越来越慢，可排除选项A.故选：B【点睛】本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数的奇偶性和带入特殊值排除法是解题的关键，属于基础题.4.已知函数，则的值是A.2B.3C.5D.7【答案】D 【解析】【分析】根据给定的分段函数，按条件分段计算即可作答.【详解】函数，则，，而，因此，，所以故选：D5.设，则关于不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分、解不等式，综合可得出原不等式的解集.【详解】当时，由可得；当时，由可得.综上所述，不等式的解集为.故选：A.6.已知点在的终边上，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据终边上点，结合三角函数的定义求余弦值即可.【详解】由题设.故选：B7.已知为锐角，且，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切.【详解】因为为锐角，所以且，所以得，由诱导公式得，.所以.故选:D8.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位）可由公式：求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60，则再经过（）分钟，物体的温度是40（假设空气的温度保持不变）.A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意将数据，，，代入，可得，再将代入即可得，即可得答案. 【详解】由题意知：，，，代入得：，解得所以当时，，解得：，所以，所以再经过分钟物体的温度是40，故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（    ）9.下列选项中正确的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用诱导公式一一验证即可；【详解】解：，故A不正确；，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：BCD 10.下列所给函数中值域为的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】A.利用幂函数的性质判断；B.令，转化为指数函数判断；C.令，转化为对数函数判断；D.分和讨论求解判断.【详解】A.因为的定义域为，因为函数在上是减函数且为偶函数，所以其值域是，故正确；B.令，则，故错误；C.令，则，故错误；D.当时，，当时，，综上：，故正确；故选：AD11.若，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由，得，再利用对数运算公式对进行，，运算，从而可判断各选项.【详解】由，得，则，选项A错误；，选项B正确，选项D错误；，， ，，选项C正确.故选：BC.12.下列正确的命题是（）A.B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】运用诱导公式、特殊角的三角函数值及同角三角函数的商数关系即可求得各个选项.【详解】对于A项，，故A项正确；对于B项，因为，所以，故B项错误；对于C项，因为，所以，所以，故C项正确；对于D项，因为，所以，故D项正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.半径为2，面积等于的扇形的圆心角的大小是_________．【答案】【解析】 【分析】根据扇形面积公式即可求出．【详解】设扇形的圆心角的大小为，由可得，，解得．故答案为：．14.若函数（），则方程的解________.【答案】.【解析】【分析】根据对数的运算性质，可得，解得答案．【详解】解：因为，所以，即，所以或（舍去），故答案为：4．【点睛】本题考查对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，属于基础题．15.设函数，若，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的性质可得在上为增函数，利用函数的单调性解不等式即可得解.【详解】由于当时，为增函数，且，由于当时，为增函数，且，∴在上为增函数，∵，∴，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：． 16.已知定义在上的函数图像关于点中心对称，且当时，，若的值域为，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由题可得函数关于点对称，进而可得当时，有解，利用基本不等式即得.【详解】∵定义在上的函数满足，∴函数关于点对称，又当时，，在，单调递减，当，单调递增，要使函数的值域为，则当时，有解，又当时，，当且仅当，即取等号，∴，即实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）（2）【答案】（1）8；（2）【解析】【分析】（1）利用对数运算性质化简即可得出答案（2）利用指数运算性质化简即可得到答案. 【详解】原式；原式18.已知角的终边落在直线上，且，求，，的值．【答案】，，.【解析】【分析】根据给定条件，求出角α的终边上一个点的坐标，再利用三角函数定义求解即得.【详解】角的终边落在直线上，且，取角的终边上的点，则，所以，；.19.已知，，求下列各式的值．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由，利用三角函数的基本关系式，即可求解；（2）由（1）知，得出可得，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】（1）由题意知，可得，解得．（2）由（1）知，所以，可得， 所以．20.已知函数，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）-1.【解析】【分析】（1）用诱导公式化简函数得，已知条件为，然后求值式利用弦化切法化为正切的函数，再求值；（2）由“1”的代换得，然后分子分母同除以的函数再代入求值．【详解】（1）∵，∴（2）．【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间三角函数关系，齐次式求值问题．关于的齐次分式均可化为关于的函数求值．21.已知定义在上的函数（1）判断并证明函数的单调性； （2）若是奇函数，求的值；（3）若的值域为D，且，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1；（3）【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可；（2）利用函数奇偶性的定义求解即可；（3）求出函数的值域，利用子集关系求解即可.【小问1详解】证明：设且则即在R上单调递增【小问2详解】是R上的奇函数，即【小问3详解】由，的取值范围是 22.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得的定义域和值域及函数的单调性，得，解不等式即可得到所求范围；（2）求得当时，的值域；以及讨论，时的值域，由题意可得和的值域存在交集，即可得到所求范围；【小问1详解】由，可得，故函数定义域为，关于原点对称，又，即为奇函数.又，函数在上单调递减，值域.由复合函数的单调性质知在上单调递减，且的值域为R，不等式，转化为，因为为奇函数，所以，因为在上单调递减，所以，即，即，即，解得， 则原不等式的解集为.【小问2详解】因为存在，使得成立，所以时，的值域与的值域有交集.因为在上是减函数，，所以的值域为，当时，在上单调递减，故的值域为，所以即，当时，在上单调递增，故的值域为，不符.综上所述，实数a的取值范围为.