吉林省长春市外国语学校2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附答案）

长春外国语学校2023-2024学年第一学期高二年级第一次月考数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角是（    ）A．0B．C．D．2.在空间直角坐标系O-xyz中，点3,1,-2关于xOz平面的对称点的坐标为(    )A.-3,1,2B.-3,-1,2C.-2,1,3D.3,-1,-23.两平面的法向量分别为，若，则的值是（    ）A．－3B．6C．－6D．－124.已知空间中三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A2,1,1，B0,3,2，C0,1,0，则BC边上的中线的长度为(    )A.6B.3C.5D.25．如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（    ）  A．B．C．D．6.已知，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ）A．B．C．D．7.已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．8.在棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF=FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1；④异面直线AC1与CD所成角为60°．其中正确命题的个数为(    )A.1B.2C.3D.4二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9.若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ）A．若，则它们的斜率相等B．若与的斜率相等，则C．若，则它们的倾斜角相等D．若与的倾斜角相等，则10.已知向量a=-1,0,2，b=2,-3,0，c=4,1,-5，则下列结论正确的是(    ) A.a+b+c=5,-2,-3B.2a-b+3c=12,0,-11C.2a→⋅b-a⋅c=2b⋅cD.|a-b+c|=2611.关于空间向量，以下说法正确的是（    ）A．已知，，则在上的投影向量为B．已知两个向量，，且，则C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若对空间中任意一点，有，则四点共面12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，N为DD1的中点，CM=λCC1，λ∈[0,1]，AM⊥平面α，下面说法正确的有(    )A.若λ=12，D∈α，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形B.若λ=1，平面α截正方体所得的截面面积的最大值为33C.若AM+MN的和最小，则λ=12D.直线DC与平面α所成角的最大值为π4三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a=(-1,1,2)，b=(0,2,3)，若ka+b与2a-b垂直，则实数k=_______.14.已知a=1,1,2，b=2，a-b=2，则a⋅b=         ．15.设是空间中的一组单位正交基底，向量p=a+2b+3c，是空间的另一个基底，则p在基底下的坐标为________.16.在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，G为的外心，D为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为． 四、解答题（本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分14分）当为何值时，过，两点的直线：(1)倾斜角为；(2)与过，两点的直线垂直；(3)与过，两点的直线平行.18.（本小题满分14分）已知空间中三点A(-2,1,3)，B(1,-2,0)，C(-1,-1,5)．(1)若四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标；(2)若|a|=3，且a//AC，求向量a；(3)若点P(2,-1,m)在平面ABC内，求m的值． 19.（本小题满分14分）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=π3，AB=AD=1，A1A=3，点M满足3CM=CC1(1)求BD1的长度；(2)求AM⋅BD1．20.（本小题满分14分）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．21.（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDE中，平面BCD⊥平面ABC，AC⊥BC，ED//AC，且AC=BC=2ED=2，DC=DB=3．(1)求证：平面ABE⊥平面ABC．(2)线段BD上是否存在一点F，使得平面ACF与平面ABE的夹角的余弦值等于1111？若存在，求DFFB的值；若不存在，请说明理由．参考答案： 一、单选题：12345678BDBCAACB二、多选题9101112BCDACDBCABD三、填空13.-；14.2；15.；16..四、解答题：17.【答案】(1)；(2)；(3).18.【答案】解：(1)(2)AC=(1,-2,2)，因为a//AC，所以a=λAC=(λ,-2λ,2λ)，又|a|=3，故9λ2=3，则λ=±1，所以a=(1,-2,2)或a=(-1,2,-2)．(3)因为点P(2,-1,m)在平面ABC上，故存在x,y使得AP=xAB+yAC，又AP=(4,-2,m-3)，AB=3,-3,-3，xAB+yAC=3x+y,-3x-2y,-3x+2y所以4=3x+y-2=-3x-2ym-3=-3x+2y，解得x=2y=-2m=-7．故m=-7．19.【答案】解：由题意知，|AB|=1，|AD|=1，|AA1|=3，AB⋅AD=|AB|⋅|AD|⋅cosπ3=12，AB⋅AA1=|AB|⋅|AA1|⋅cosπ3=32，AD⋅AA1=|AD|⋅|AA1|⋅cosπ3=32，(1)∵ BD1=AD1-AB=AD+AA1-AB，∴| BD1|2=(AD+AA1-AB)2=AD2+AA12+AB2+2AD⋅AA1-2AB⋅AD-2AB⋅AA1=1+9+1+3-1-3=10，故BD 1的长度为10；(2)∵AM= AC+CM=AB+AD+13AA1，∴AM⋅BD1=(AB+AD+13AA1)(AD+AA1-AB)=AB⋅AD+AB⋅AA1-AB⋅AB+AD⋅AD+AD⋅AA1-AD⋅AB+13AA1⋅AD+13AA1⋅AA1-13AA1⋅AB=12+32-1+1+32-12+13×32+3-13×32=6． 20.【答案】(1)略；(2)21.【答案】解：(1)如图，设BC中点为O，过O作Ox//AC，由于AC⊥BC，所以Ox⊥BC，由于DC=DB，则有DO⊥BC．又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，DO⊂平面BCD，所以DO⊥平面ABC，又Ox⊂平面ABC，所以DO⊥Ox．又Ox⊥BC，故Ox，OB，OD三条直线两两垂直．如图，以O为原点，Ox，OB，OD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，依题意可得A(2,-1,0)，E(1,0,2)，B(0,1,0)，AE=(-1,1,2)，AB=(-2,2,0)，设平面ABE的法向量n1=(x1,y1,z1)，则有AE⋅n1=0AB⋅n1=0，即-x1+y1+2z1=0-2x1+2y1=0，令x1=1，得n1=(1,1,0)，取平面ABC的一个法向量n2=(0,0,1)，因为n1⋅n2=0，所以平面ABE⊥平面ABC ；(2)设DF=λDB(0≤λ≤1)，由(1)知D(0,0,2)，C(0,-1,0)，B(0,1,0)，CD=(0,1,2)，DB=(0,1,-2)，所以DF=(0,λ,-2λ)，则CF=CD+DF=(0,1,2)+(0,λ,-2λ)=(0,λ+1,2-2λ)，设平面ACF的法向量m=x2,y2,z2，则有CF⋅m=0AC⋅m=0,因为AC=(-2,0,0)，所以λ+1y2+(2-2λ)z2=0-2x2=0，即x2=0y2=2λ-1z2λ+1,令z2=λ+1，可得y2=2λ-1，则m=0,2λ-1,λ+1．因为平面ACF与平面ABE的夹角的余弦值等于1111，所以cosn1,m=2λ-22×2λ-12+λ+12=1111，化简得2λ2-5λ+2=0，解得λ=12成λ=2(舍去)，所以λ=12．所以线段BD上存在一点F，使得平面ACF与平面ABE的夹角的余弦值等于1111，此时DFFB=1．