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吉林省长春市外国语学校2023-2024学年高三数学上学期期中试题(Word版附解析)
吉林省长春市外国语学校2023-2024学年高三数学上学期期中试题(Word版附解析)
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长春外国语学校2023~2024学年第一学期期中考试高三年级数学试卷时间:110分钟满分:150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共6页。考试结束后,将答题卡交回。注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷一.单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.62.已知复数满足,则( )A.B.C.D.3.在中,,则( )A.B.C.D.24.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,长轴长等于圆的半径,则椭圆的方程为()A.B.C.D.5.已知函数在区间上单调递减,则的取值范围是( )A.B.C.D.6.直线圆相交于,两点,则“”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.设,若,则( )A.B.C.D.8.已知,,若,则的最小值是( )A.B.C.D.二.多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的.选对得5分,少选得2分,多选或错选得0分.9.下列说法正确的是( )A.一组数1,5,6,7,10,13,15,16,18,20的第75百分位数为16B.在经验回归方程中,当解释变量每增加1个单位时,相应变量增加个单位C.数据的方差为,则数据的方差为D.一个样本的方差,则这组样本数据的总和等于10010.已知函数的图象为C,以下说法中正确的是( )A.函数的最大值为B.图象C关于中心对称C.函数在区间内是增函数 D.函数图象上,横坐标伸长到原来的2倍,向左平移可得到11.在直三棱柱中,底面为等腰直角三角形,且满足,点满足,其中,,则下列说法正确的是( )A.当时,的面积的最大值为B.当时,三棱锥的体积为定值C.当时,有且仅有一个点,使得D.当时,存在点,使得平面12.已知定义域为的函数对任意实数都有,且,则以下结论正确的有( )A.B.是偶函数C.关于中心对称D.第Ⅱ卷三.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中含项的系数为.14.已知数列的前n项和为,则=.15.已知双曲线的左、右焦点分别为,过双曲线上一点向轴作垂线,垂足为,若且与垂直,则双曲线的离心率为.16.如图,圆柱的底面半径和母线长均为3,是底面直径,点在圆上且,点在母线上,,点是上底面的一个动点,且,则四面体的外接球的体积为. 四、解答题:17题10分,18-22题每题12分,共70分.17.已知数列的前项的和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.在中,内角..的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若点满足,且,求的取值范围. 19.已知多面体,四边形是等腰梯形,,,四边形是菱形,,E,F分别为QA,BC的中点,. (1)求证:平面平面;(2)求点到平面的距离.20.甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛,比赛采取五局三胜制,约定先胜三局者获胜,比赛结束.假设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛相互独立.(1)求甲获胜的概率;(2)设比赛结束时甲和乙共进行了局比赛,求随机变量的分布列及数学期望.21.已知椭圆的离心率为,且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线交椭圆于两点,线段的中点为,为坐标原点,且,求面积的最大值.22.已知函数,其中a为实数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;长春外国语学校2023-2024学年第一学期期中考试高三年级数学试卷参考答案1.B【分析】化简集合,根据交集的定义求得,进而可求解.【详解】因为,所以,则中元素的个数为4个.故选:B.2.D【分析】根据复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由,故选:D3.C【分析】将平方,再结合模长运算即可求解.【详解】因为,所以,所以,又,所以,所以. 故选:C.4.B【详解】椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,可得,长轴长等于圆,即的半径,a=2,则b=1,所求椭圆方程为:.故选B.5.C【分析】利用函数导数与函数单调性的关系将问题转化为恒成立问题,构造函数,利用导数求得的最大值,从而得解.【详解】因为,则,由题意知在区间上恒成立,即在区间上恒成立.令,,所以,因为,所以当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,又,,所以,则,即的取值范围是.故选:C.6.A【分析】根据点到直线距离公式和垂径定理得到方程,求出,从而得到答案.【详解】圆心到直线的距离为,当时,由垂径定理得,即,解得,故“”是“”的充分而不必要条件.故选:A7.B【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出,结合角的范围求得,即可求得答案.【详解】由题意,则,即,故,即,由于,所以,则,即,故,故选:B8.C【分析】化简已知条件,利用基本不等式即可得出结论.【详解】由题意,,,,∴,∴,当且仅当即时等号成立, 故选:C.9.ACD【分析】由百分位数的定义,即可判断A,由回归方程的性质即可判断B,由方差的性质即可判断CD.【详解】因为,所以这组数据的第75百分位数是第8个数,即为16,A正确;由回归方程可知,当解释变量每增加1个单位时,相应变量减少个单位,B错误;选项C,由,可得,C正确;由,得,所以这组样本数据的总和等于,故D正确;故选:ACD10.CD【分析】根据降幂公式、二倍角正弦公式,结合正弦型函数的最值、对称性、单调性、图象变换性质逐一判断即可.【详解】.A:函数的最大值为,因此本选项不正确;B:因为,所以图象C不关于中心对称,因此本选项不正确;C:当时,,所以函数在区间内是增函数,因此本选项正确;D:函数图象上,横坐标伸长到原来的2倍,得到,再向左平移可得到,所以本选项正确,故选:CD11.ABD【分析】对于A,B选项,直接利用几何法判断即可,对于C选项,利用线面垂直证明线线垂直,对于D选项,利用坐标法可证.【详解】当时,,则点在上运动,则当点与重合时,则此时面积取得最大值,,由于直三棱柱,则,为等腰直角三角形,则,又,,面,则面,因为面,所以,则,故选项A正确;当时,则,点在上运动,则,由于点到平面的距离为定值,点到线段的距离恒为,则,则,故选项B正确; 当时,,设的中点为,的中点为,则点在上运动,当点与点重合时,,,又,,平面,则面,又因为面,则,当点与点重合时,面,即面,则,故选项C错误;如图建立空间直角坐标系,设的中点为,的中点为,当时,,则点在线段上运动,则,,,,,故,,设平面的法向量为,则,令,得,当时,则与平行,则存在点,使得平面,故选项D正确;故选:ABD.12.BCD【分析】根据赋值法,可判断或,进而判断A,根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C,根据偶函数即可判断对称性,根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性,进而可判断CD.【详解】令,则或,故A错误,若时,令,则,此时是偶函数若时,令,则,此时既是偶函数又是奇函数;因此B正确,令,则,所以关于中心对称,故C正确,由关于中心对称可得,结合是偶函数,所以,所以的周期为2,令,则,故,进而,故D正确,故选:BCD13. 【分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于,求出的值,即可求得展开式中含项的系数.【详解】的展开式中,通项公式为,令,求得,可得展开式中含项的系数.故答案为:.14.【分析】根据题中,利用和的关系式来求解,注意时要检验是否符合时的表达式.【详解】当时,;当时,因为,所以所以;所以;所以当时,是以2为公比的等比数列;所以,当时,所以,故答案为:15.【分析】由题意知四边形为菱形,再结合图形得出,最后根据定义即可得出离心率.公众号:全元高考【详解】设双曲线焦距为,不妨设点在第一象限,由题意知,由且与垂直可知,四边形为菱形,且边长为,而为直角三角形,, 故,则,则,故,即离心率.故答案为:.16.【分析】根据条件确定点的轨迹为圆,再根据勾股定理判断出为直角三角形,其外心为与的交点,进而计算出,确定为四面体的外接球的球心,求出半径进行计算即可.【详解】因为是上底面的一个动点,且,所以点的轨迹是上底面上以为圆心,为半径的圆, 在中,,,,∴,∴为直角三角形,其外心为与的交点,且,,而,所以,所以为四面体的外接球的球心,球半径为,所以球的体积故答案为:公众号:全元高考17.(1);(2).【分析】(1)根据,并结合等比数列的定义即可求得答案;(2)结合(1),并通过错位相减法即可求得答案.【详解】(1)当时,,当时,,是以2为首项,2为公比的等比数列,.(2),…①…②①-②得,.18.(Ⅰ);(Ⅱ).【详解】试题分析:利用正弦定理及余弦定理整理求出,即可求得角的大小;利用余弦定理及常用不等式求解即可解析:(Ⅰ)根据正弦定理得又(Ⅱ)在中,根据余弦定理得即又又,19.(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据题意结合线面垂直的判定定理可证平面,进而可得结果;(2)以为原点、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,求出和平面的法向量,利用点到平面的距离公式的向量求法可得答案.【详解】(1)设是线段的中点,连接,过作,垂足为,因为四边形为等腰梯形,,,所以,, 因为是的中点,可得,则,即四边形为平行四边形,可得,所以,又因为四边形是边长为2的菱形,且,则是边长为2的等边三角形,可得,则,可得,因为平面平面,所以平面,且平面,所以平面平面. (2)以为原点、分别为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系,则,可得,设平面的法向量为,则,取,则,可得,则点到平面的距离为. 20.(1);(2)分布列见解析,数学期望为.【分析】(1)根据题意,结合五局三胜制规则,分别求得比赛三、四和五局且甲获胜的概率进而求得甲获胜的概率;(2)随机变量的取值为3,4,5,求得相应的概率,得出分布列,利用公式求得期望.【详解】(1)由题意知,比赛三局且甲获胜的概率,比赛四局且甲获胜的概率为,比赛五局且甲获胜的概率为,公众号:全元高考所以甲获胜的概率为.(2)随机变量的取值为3,4,5,则,,,所以随机变量的分布列为 345所以.【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤:1、理解随机变量的意义,写出可能的全部值;2、求取每个值对应的概率,写出随机变量的分布列;3、由期望和方差的计算公式,求得数学期望;4、若随机变量的分布列为特殊分布列(如:两点分布、二项分布、超几何分布),可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.21.(1);(2).【分析】(1)由椭圆的离心率为,且点在椭圆上,列出方程组求出,由此能求出椭圆的方程;(2)设与轴的交点为,直线,联立方程组,得,由此利用韦达定理、弦长公式、均值定理,结合已知条件能求出面积的最大值.【详解】(1)解:因为椭圆的离心率为,且点在椭圆上所以,,即,解得,,所以,椭圆的方程是.(2)解:设直线与轴的交点为,直线,与椭圆交点为,,联立,,得,∴,,∴,即, ∵,∴,∴,令, 设,则,当且仅当,即,等号成立,∴, ∴面积的最大值为.22.(1)(2)存在,,证明见解析公众号:全元高考【分析】(1)求导,得到,由导函数的几何意义求出切线方程;(2)分和两种情况,分离参数,构造函数得到函数的最值,从而得到a的值. 【详解】(1)当时,,,,又,∴曲线在点处的切线方程为.(2)①当时,,则,故,令,则,令,则在上恒成立,∴在上单调递减,∴当时,,∴,∴在上单调递增,,∴.②当时,,则,故.由①知当时,,在上单调递增,当时,,∴,∴在上单调递增,∴,∴.综合①②得:.
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