河南省郑州市外国语学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

郑州外国语学校2023-2024学年高一上期月考2试卷数学（100分钟100分）一.选择题（共8题，每题4分，共32分）1.集合，则（）A.B.C.D.2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.3.已知扇形的周长为20cm，当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为（）A.1.5B.2C.2.5D.34.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.5.在平面直角坐标系中，点位于第（）象限A一B.二C.三D.四6.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A.1033B.1053C.1073D.10937.定义在区间上的函数与的图象交点为，则的值为（    ）A.B.C.D. 8.函数为数学家高斯创造的取整函数.表示不超过的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是（）A.B.C.D.二、多选题（共4小题，每题4分，共16分.全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的0分）9.若，则下列命题中为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知正数，满足，则下列各选项正确的是（）A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为8D.11.设函数，则下列说法正确的是（）A.若的最小正周期为，则B.若，则图象关于点对称C.若在区间上单调递增，则D.若在区间上恰有2个零点，则12.已知函数的定义域是，对都有，且当时，，且，下列说法正确的是（）A.B.函数在上单调递减C. D.满足不等式的取值范围为三、填空题（共4小题，每题4分，共16分）13.函数的单调递增区间为___________.14.函数的图象的对称轴中，离y轴最近的对称轴方程为________．15.函数的定义域是R，则a的取值范围是____________________________.16.已知函数，若关于x的方程有4个不相等的实数根、、、，则的取值范围是______.四、解答题（共4小题，共36分）17.已知．（1）化简函数；（2）若，求和的值．18.已知函数.（1）当时，求函数零点；（2）当时，求不等式的的解集.19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若在区间上值域为，求的取值范围.20.已知定义在R上的函数满足且，．（1）求的解析式；（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围． 郑州外国语学校2023-2024学年高一上期月考2试卷数学（100分钟100分）一.选择题（共8题，每题4分，共32分）1.集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由对数函数定义域得，二次函数值域得，即可根据补集、交集运算法则求得结果【详解】由，，则；又，则，，故.故选：B2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“”的否定是：.故选：C3.已知扇形的周长为20cm，当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为（）A.1.5B.2C.2.5D.3【答案】B【解析】【分析】由扇形的周长和面积，利用基本不等式可求出面积的最大值，进而求出圆心角的大小. 【详解】扇形周长，扇形面积由，可得，当且仅当时，面积有最大值，扇形的圆心角故选：B【点睛】本题考查了扇形的周长和面积公式、基本不等式求最值等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用抽象函数的定义域求解即可.【详解】因为函数的定义域为，即，所以，所以函数的定义域为，由，得，所以函数的定义域为.故选：B.5.在平面直角坐标系中，点位于第（）象限A.一B.二C.三D.四【答案】D【解析】【分析】运用诱导公式计算出P点坐标的符号就可判断出P点所在的象限.详解】，，第四象限；故选：D.6.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A.1033B.1053C.1073D.1093【答案】D【解析】【详解】试题分析：设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.7.定义在区间上的函数与的图象交点为，则的值为（    ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将点坐标代入两个函数的解析式，结合同角三角函数的基本关系式求得.【详解】依题意，，所以，，，，，其中， 所以故选：A8.函数为数学家高斯创造的取整函数.表示不超过的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，对分类讨论，根据取整函数的要求，即可求得值域.【详解】当时，，则，此时函数的值域；若，则，当时，，当且仅当时等号成立；则，所以，则此时函数的值域为，；当时，，所以，当且仅当时等号成立，则，即，则此时函数的值域为.综上所述，函数的值域是.故选：二、多选题（共4小题，每题4分，共16分.全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的0分）9.若，则下列命题中为真命题的是（）A若，则B.若，则 C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C.【详解】对于A，取，但，故A错误；对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确；对于C，若，则，所以，故C正确；对于D，若，取，则，故D错误.故选：BC.10.已知正数，满足，则下列各选项正确的是（）A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为8D.【答案】ABC【解析】【分析】结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断【详解】对于，因为，即，所以，当且仅当时取等号，正确；对于B，由基本不等式得，，所以，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，即，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，由可得，即，故D错误.故选：ABC. 11.设函数，则下列说法正确的是（）A.若的最小正周期为，则B.若，则的图象关于点对称C.若在区间上单调递增，则D.若在区间上恰有2个零点，则【答案】AD【解析】【分析】根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确；对于B，若，则，时，，故B错误；对于C，时，，因为在上单调递增，则，解得，故C错误；对于D，时，，若在上恰有2个零点，则，解得，故D正确.故选：AD.12.已知函数的定义域是，对都有，且当时，，且，下列说法正确的是（）A. B.函数在上单调递减C.D.满足不等式的的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】令求的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明的单调性可判断B；由与计算判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D.【详解】因为，令，可得，解得，所以A正确；令，可得，所以，任取且，则，因为，所以，所以，可得函数在上单调递增函数，所以B不正确；由，，所以C正确；因为，由，可得， 所以，所以等价于，即，因为函数在上单调递增函数，可得，解得，即不等式的解集为，所以D正确.故选：ACD.三、填空题（共4小题，每题4分，共16分）13.函数的单调递增区间为___________.【答案】【解析】【分析】由求出函数的定义域，函数是由和复合而成，由复合函数的单调性可知求出的单调增区间即可求解.【详解】由可得，解得：，所以函数的定义域为，因为是由和复合而成，对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减，因为单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的单调递增区间为， 故答案为：.14.函数的图象的对称轴中，离y轴最近的对称轴方程为________．【答案】##【解析】【分析】令求解.【详解】令，得，其中离y轴最近的对称轴为．故答案为：15.函数的定义域是R，则a的取值范围是____________________________.【答案】[0，4）【解析】【分析】由题意分类讨论a=0和a≠0两种情况确定实数a的取值范围即可.【详解】当a=0时，函数解析式为：，其定义域为，满足题意，当时，应满足：，求解不等式组可得：，综上可得，实数的取值范围是[0，4）.故答案为[0，4）．【点睛】本题主要考查对数函数的性质，由函数的定义域确定参数的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知函数，若关于x的方程有4个不相等的实数根、、、，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】画出函数图象，根据方程的根的个数转化为的图象与直线有4 个不同的公共点，数形结合求得m范围，以及、、、之间的关系及对应范围，即可求解.【详解】由的解析式作出的大致图象，如图所示：方程有4个不等实数根等价于的图象与直线有4个不同的公共点，则，不妨令，则由图可知，，，所以，，由，得.所以，设，则，根据对勾函数单调性知在区间上单调递增，所以，即的取值范围是.故答案为：.四、解答题（共4小题，共36分）17.已知．（1）化简函数；（2）若，求和的值．【答案】17. 18.；.【解析】【分析】（1）由三角函数的诱导公式化简得出；（2）由三角函数的诱导公式化简再计算得出.【小问1详解】【小问2详解】因为，所以，所以；．18.已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）当时，求不等式的的解集.【答案】（1）2或3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据零点定义计算求解即可；（2）分类讨论结合根的情况解不等式.【小问1详解】当时，，令，得或，所以的零点为2或3.【小问2详解】当时，，则为，得； 当时，，当即时，的解为或；当即时，的解为；当即时，的解为或，综上所述，当时，的解集为；当即时，的解集为或当时，的解集为；当即时，的解集为或.19.已知函数.（1）求单调递增区间；（2）若在区间上的值域为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令即可求得单调递增区间；（2）由，得，画出在的图象，可得，从而可求解.【小问1详解】令，解得.故的单调递增区间为.【小问2详解】 因为，所以.画出在的图象如图所示：所以，解得.故的取值范围为.20.已知定义在R上的函数满足且，．（1）求的解析式；（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围；（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据，代入计算可得；（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可. 【小问1详解】由题意知，，即，所以，故.【小问2详解】由（1）知，，所以在R上单调递增，所以不等式恒成立等价于，即恒成立.设，则，，当且仅当，即时取等号，所以，故实数a的取值范围是.【小问3详解】因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因为在上单调递增，所以当时，，又的对称轴为，，当时，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得，所以，综上可知，实数m的取值范围是.