河南省郑州市外国语学校2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

郑州外国语学校2022—2023学年高二上期期中试卷数学（120分钟150分）一、选择题（每题5分，1—10题为单选；11、12为多选，少选得2分，多选、错选得0分，共60分）1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用点关于x轴对称的点的坐标是即可得出.【详解】关于x轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数，点关于轴对称的点为.故选：A．2.已知直线在轴上的截距为-2，则此直线方程可以为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将代入各项直线方程中求值即可.【详解】A、B、D：将代入方程，可得，不合要求；C：时，，符合要求；故选：C3.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】D 【解析】【分析】利用向量基底的定义和向量的线性运算的应用逐一判断即可求解.【详解】对于A，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故A错误；对于B，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故B错误；对于C，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故C错误；对于D，若向量，，共面，则，即，解得，所以向量，，共面，故D正确.故选：D.4.下列说法中，①若两直线平行，则其斜率相等;②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直;.③若直线与直线垂直，则.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率关系、直线垂直的判定判断各项的真假，即可得结果.【详解】①若两直线平行且两线都垂直于x轴，此时斜率不存在，错误；②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直，正确；③若直线与直线垂直，则，，错误.正确命题为②.故选：A5.已知双曲线过点，其中一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题设所求方程为：再待定系数放求解即可.【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，所以，可以设其方程为：又由双曲线过点，则有解得，所以，其方程为：．即.故选：C．6.过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（）A.B.C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.【详解】动直线化为，可知定点，动直线化为，可知定点，又所以直线与直线垂直，为交点，. 则，当且仅当时，等号成立.即面积的最大值为2.故选：C.7.已知实数，满足：，则的取值范围为（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】确定圆心和半径，将题目转化为点和点直线的斜率，画出图像，计算角度，计算斜率得到答案.【详解】表示圆心为，半径的圆，表示点和点直线的斜率，如图所示：直角中，，故，，故，同理可得，对应的斜率为和.故，故选：A 8.已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的有（）个不同的值A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】解方程得或，讨论、，结合椭圆、双曲线性质判断焦点位置，进而求参数值，即可得结果.【详解】由，则或，当时，曲线为椭圆，当椭圆的焦点在x轴上时,，则，可得符合；当椭圆的焦点在y轴上时，，则，可得符合；当时，曲线为双曲线，则，故，可得符合.综上，有3个不同的值.故选：C9.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（）A.B.2C.D.3【答案】B【解析】【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用中垂线可得到，利用椭圆和双曲线的定义可得到，即可求得答案【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为， 因为线段的中垂线经过点，所以是以为底边的等腰三角形，则，由椭圆和双曲线的定义可得，两式相加得，两边同时除以得，所以，故选：B10.过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（）A.B.C.D.4【答案】B【解析】【分析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线,切点分别为A，B，根据切线的性质可得过点P，A，B的圆是以直径的圆，设其方程，联立方程组得出的直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】设圆的动点为，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则过点P，A，B的圆是以直径的圆，该圆的方程为．由,可得的直线方程为． 原点到直线的距离为，故圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为，故选:B．11.（多选）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，半圆面平面ABCD，点P为半圆弧AD上一动点（点P与点A，D不重合），下列说法正确的是（）A.三棱锥的四个面都是直角三角形B.三棱锥的体积最大值为C.在点P变化过程中，直线PA与BD始终不垂直D.当直线PB与平面ABCD所成角最大时，点P不是半圆弧AD的中点【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用空间中直线、平面垂直的有关定理证明即可；对于B，三棱锥底面面积固定，当高最大时，体积最大，可通过计算进行判断；对于C，假设垂直，利用空间中直线、平面垂直的有关定理即可推出矛盾；对于D，首先利用空间向量解决当直线PB与平面ABCD所成角最大时，点P的位置，进而作出判断即可.【详解】对于A，因为四边形ABCD是正方形，所以为直角三角形，又因为为直径，所以，为直角三角形，又因为半圆面平面ABCD，平面平面，，所以平面，因为平面，所以，所以为直角三角形，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为直角三角形，因此三棱锥的四个面都是直角三角形，故选项A正确； 对于B，过点在平面内作于点，因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，为三棱锥的高，所以三棱锥的体积，因为的面积为定值，所以当最大时，三棱锥的体积最大，此时点为半圆弧AD的中点，，所以三棱锥体积的最大值为，故B错误；对于C，若点P变化过程中，直线PA与BD垂直，由圆的性质，，所以平面，平面，所以，又由A知：，在同一平面内，一条直线不可能同时垂直于两条相交直线，所以点P变化过程中，直线PA与BD始终不垂直，故选项C正确；对于D，由选项B解析可知：平面ABCD，为在平面内的投影，所以直线PB与平面ABCD所成角，当直线PB与平面ABCD所成角最大时，取最小值，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，，则，在直角三角形内，，即，所以，所以，， ，因为，所以，所以，当且仅当，即时，取最小值，直线PB与平面ABCD所成角最大，此时点P不是半圆弧AD的中点，故选项D正确，故选：.12.下列说法正确的是（）A.椭圆上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为B.直线过双曲线（，）的右焦点，与右支交于两点所形成的弦中，最短的弦长为C.抛物线上两点，，则弦AB经过焦点的充要条件是D.若直线l与抛物线只有一个公共点，则直线l与该抛物线相切【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用椭圆的性质及两点的斜率公式，结合点在椭圆上即可求解；对于B，根据已知条件及双曲线的性质，设出直线方程，联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式即可求解；对于C，根据充要条件的定义及抛物线的性质，设出直线方程，联立直线方程与抛物线方程，再利用韦达定理及点在曲线上即可求解；对于D，利用抛物线的对称性及直线与抛物线的位置关系即可求解. 【详解】对于A，椭圆左右顶点分别为，椭圆上除左右顶点以外的任意一点，所以，又因为在椭圆上，所以，即代入，得，故A正确；对于B，设双曲线右焦点为，过的直线与双曲线右支相交于，当直线斜率不存在时，直线的方程为则，当直线斜率存在时，设直线的方程为联立，消去，得，，由，解得或，所以，所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为，故B正确；对于C，充分性：当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，因为， 所以，此时直线过焦点.当直线斜率存在时，设直线的方程为联立，消去，得，所以，且，所以，解得或，所以直线的方程为或.当直线时，取时，，所以直线过焦点；当直线时，取时，，所以直线过点；所以充分性不成立.必要性：当直线过焦点时，设过焦点的直线的方程为，联立，消去，得，所以，所以，所以必要性成立.所以抛物线上两点，，则弦AB经过焦点的必要不充分条件是，故C错误；对于D，直线l与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，故D错误.故选：AB.二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知抛物线方程是，则它的焦点坐标为____________.【答案】【解析】【分析】先将抛物线的方程化为标准式为，再求其焦点坐标即可得解.【详解】解：由抛物线的方程是，化为标准式为，即抛物线的焦点坐标为，故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，重点考查了抛物线的焦点坐标的求法，属基础题.14.已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．【答案】##.【解析】【分析】先结合椭圆的定义表示出，化简后结合的范围可求出的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率.【详解】因为，所以，所以当时，取得最大值，因为，所以的最小值为，因为的最大值是它的最小值的2倍，所以，所以，所以，所以椭圆的离心率为， 故答案为：.15.若点满足方程，则点P的轨迹是______.（填圆锥曲线的类型，填方程不给分）【答案】抛物线【解析】【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，结合抛物线的定义即可求解.【详解】由，得，所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，即点到点的距离与到直线的距离相等，又因为点不在直线上，由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.故答案为：抛物线.16.设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是_______．【答案】【解析】【分析】如图，取的中点，利用得到直线是直线的垂直平分线，又由于，两点在渐近线上，可以运用点差法求出直线的斜率表达式，再分别运用点在直线上以及直线与直线的斜率乘积为，得出的值，进而求得渐近线方程． 【详解】如图，由双曲线得到渐近线的方程为；即双曲线的两条渐近线合并为；设，的中点为，则，；两式相减可得，即；……………①又点在直线上，则………②由，则，则……………③联立②，③可得，；将代入①可得；所以渐近线的方程为；故答案为：．三、解答题（写清楚必要的解题步骤、文字说明以及计算过程，17题10分，18—22题每题12分，共70分）17.求满足下列条件的直线方程.（1）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程； （2）直线l经过点，并且圆关于直线l对称，求直线l方程.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分类讨论直线l过原点与否，由斜截式及截距式即可求得直线方程；（2）由圆关于直线对称，得到直线过圆心，再由点斜式即可得到直线方程.【小问1详解】当直线l过原点时，设直线方程为，代入点得，故所求直线为，即；当截距不过原点时，设方程为，代入得，解得，故所求直线为；综上：直线方程为或.【小问2详解】因为圆配方为，所以圆心为，因为该圆关于直线l对称，所以过圆心，又因为l经过点，所以，所以直线l为，即.18.如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面． （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解.【小问1详解】∵四边形是正方形，∴．又∵平面平面，平面平面，且平面∴平面．【小问2详解】由，得，∴．建立如图所示的空间直角坐标系， 则，∴，，．设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．则，令，则，∴．，令，则，∴，∴．∴平面与平面夹角的余弦值为．19.已知在平面直角坐标系中,点,动点满足,记点的轨迹为.（1）求轨迹的方程;（2）若直线交轨迹于两点,求弦长.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】(1)由等式几何意义判断出点的轨迹为椭圆,设出方程求出关键信息,写出方程即可;(2)联立椭圆和直线方程,求出两点坐标,用两点间的距离公式即可求出弦长.【小问1详解】解:由题知由椭圆定义可知点的轨迹为焦点在轴上的椭圆,不妨设椭圆方程为,由,可知则,由,可得,则,故轨迹的方程为;【小问2详解】由(1)知椭圆方程为联立,消去得,则或,不妨设,,则.20.已知圆，圆.（1）若圆与圆外切，求实数的值；（2）设时，圆与圆相交于两点，求AB直线方程.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）先求两圆的圆心和半径，结合两圆外切的关系进行求解；（2）把代入方程，两个圆的方程相减可得直线AB的方程.【小问1详解】圆，即，所以，圆，所以，因为两圆外切，所以，得，化简得，所以.【小问2详解】时，圆，即，将圆与圆的方程联立，得到方程组两式相减得公共弦的方程为：.21.已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.【小问1详解】由抛物线过点，且，得所以抛物线方程为； 【小问2详解】由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，设，联立得，所以，所以，所以因为，所以，则，，即，解得或，又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去；所以实数的值为.22.已知椭圆C：的下顶点为点D，右焦点为.延长交椭圆C于点E，且满足.（1）试求椭圆C的标准方程；（2）A，B分别是椭圆长轴的左右两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，AN的斜率分别是，.若直线MN过点，则是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由.【答案】（1）（2）是定值； 【解析】【分析】（1）由转化为平面向量表达式，根据椭圆的顶点坐标、焦点坐标，结合平面向量共线的坐标表示得到的坐标，从而代入椭圆求解即可；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，化为一元二次方程，根据一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率公式进行数学运算证明即可.【小问1详解】椭圆的下顶点为，右焦点，设点的坐标为，因为，所以，又，，所以，解得，代入可得，即，得，又，则，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】由题意设直线，，，联立，消去，得， 则，，所以．【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.