北京市怀柔区青苗学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023－2024学年度青苗怀柔科学城校区高二上期数学期中考试卷考试范围：空间向量与立体几何、坐标法、直线及其方程；考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1.在同一坐标系中，表示直线与正确是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题为判断函数图像，根据一次函数的斜率大于0，可以排除B，D，再看的取值符号相同，即可得到本题答案.【详解】由一次函数可知，函数为增函数，故排除B，D选项，A选项中，由可知，函数中的，故不符合，A错误，C选项两个函数图像都符合的情况，故C正确.故选：C2.已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为， 因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：B.3.已知直线.则下列结论正确的是（）A.点在直线上B.直线的倾斜角为C.直线在轴上的截距为8D.直线的一个方向向量为【答案】B【解析】【分析】逐个分析各个选项.【详解】对于A项，当，时，代入直线方程后得，∴点不在直线l上，故A项错误；对于B项，设直线l的倾斜角为，∵，∴，又∵，∴，故B项正确；对于C项，令得：，∴直线l在y轴上的截距为，故选项C错误；对于D项，∵直线l的一个方向向量为，∴，这与已知相矛盾，故选项D错误.故选：B.4.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用两点间的斜率公式代入计算可得斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系得出结果.【详解】由两点的坐标代入两点间的斜率公式可得，设直线的倾斜角为，可知，所以.故选：B5.直线的斜率为（） A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将直线方程转化为斜截式，从而得到其斜率．【详解】由，得，所以直线的斜率为．故选：C．6.已知向量，，且，那么实数等于（　　）A.3B.-3C.9D.-9【答案】D【解析】【分析】运用空间向量共线列式计算即可.【详解】∵，，且，∴，解得，，∴．故选：D．7.若，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可求得结果.【详解】由可知，根据向量减法的坐标运算法则可得，即.故选：C 8.在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（）A.3B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】根据距离公式计算即可.【详解】.故选：A.9.已知点和点，则向量（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标的定义，即可求解.【详解】由和点，所以.故选：A10.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可.【详解】解法一当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为.故选： 解法二易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为，则时，，时，，由题意知，解得或，即直线方程为或.故选：11.已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据直线平行求出斜率，在代入点斜式方程求解即可.【详解】因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线经过点，所以直线的方程为，即.故选：D.12.如图，在三棱锥O－ABC中，D是BC的中点，若，，，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】因为D为BC的中点，所以，又，所以．故选:C．13.已知点，，，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【详解】解：点，，，如图，，，且过的直线（不垂直于轴）与线段相交，直线需绕点逆时针旋转至倾斜角为（不含，此时斜率范围为，，直线需绕点顺时针旋转至倾斜角为（不含，此时斜率范围为，．综上，直线斜率的取值范围是．故选：C．14.下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线的方向向量分别是，则 B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.两个不同的平面的法向量分别是，则D.直线的方向向量，平面的法向量是，则【答案】C【解析】【分析】对于A，由不重合两直线方向向量平行可判断；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.【详解】对于A，两条不重合直线的方向向量分别是，则，所以不平行，即不平行，故A错误；对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即或，故B错误；对于C，两个不同的平面的法向量分别是，则，所以，故C正确；对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即，故D错误．故选：C．第II卷（非选择题）二、填空题15.已知点，，则线段中点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.【详解】点，，所以线段中点的坐标为.故答案为：16.已知向量，若，则k的值为_____．【答案】 【解析】【分析】根据向量垂直列出方程，求出.【详解】因为，所以，解得.故答案为：.17.已知直线，则当实数___________时，.【答案】【解析】【分析】根据两直线平行的条件列方程求解的值即可.【详解】若，则，解得或，当时，和重合，舍去，所以.故答案为：.18.已知，，三点共线，则＝_____．【答案】6【解析】【分析】利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值.【详解】由于、、三点共线，则，即，解得.故答案为：6.19.已知直线：，：，若，则实数______【答案】【解析】【分析】根据已知条件结合直线垂直的性质列式求解即可.【详解】因为直线：，：，且，所以，解得故答案为：. 20.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是________．①直线平面②三棱锥的体积为定值③异面直线AP与所成角的取值范围是④直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】①②④【解析】【分析】对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.【详解】对于①，连接，，，，平面，平面，平面，平面，，同理，， ，平面，平面，直线平面，故①正确；对于②，∥，平面，平面，∥平面，点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故②正确；对于③，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角，当点位于点时，与所成的角为，当点位于的中点时，，，此时，与所成的角为，异面直线与所成角的取值范围是，故③错误；对于④，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，则，，，，，，设平面的法向量，则，即，令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故④正确.故答案为：①②④三、解答题21.已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中点.（1）求直线BD与直线PC所成角的余弦值；（2）求证：平面（3）求点到平面的距离.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值；（2）利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；（3）利用点到平面距离向量公式直接计算即可.【小问1详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系. 由题意，，，，，，设直线BD与直线PC所成的角为，因为，，所以，所以直线BD与直线PC所成角的余弦值为；【小问2详解】因为，，，所以，，所以，又平面，所以平面；【小问3详解】由（2）知，为平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值，由，得，所以点到平面的距离为.22.求满足下列条件的直线方程：（1）经过点，且与直线平行（2）经过点和（3）倾斜角是，在y轴上的截距是7【答案】（1）（2）（3）【解析】 【分析】（1）根据平行关系设所求直线方程为，代入点运算求解即可；（2）根据直线的两点式方程运算求解；（3）根据题意可得直线的斜率，利用斜截式运算求解.【小问1详解】因为所求直线与直线平行，设所求直线方程为，代入点，即，解得，所以所求直线方程为.【小问2详解】因为直线经过点和，所以所求直线方程为，即.【小问3详解】因为直线的倾斜角是，则直线的斜率，且直线在y轴上的截距是7，所以所求直线方程为，即.23.如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，.（1）求证：⊥平面；（2）求二面角余弦值的大小；（3）求点到平面距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3） 【解析】【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到，，从而得证；（2）（3）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明：建立如图所示的直角坐标系，则、、．在中，，，∴．∴、，∴，，，∵，，即，，又，平面，∴⊥平面；【小问2详解】由（1）得，．设平面的法向量为，则，即，故平面的法向量可取为，∵平面，∴为平面的一个法向量． 设二面角的大小为，由图易得为锐角，依题意可得，即二面角余弦值．【小问3详解】由（1）得，，设平面的法向量为，则，∴，故可取为．∵，∴到平面的距离为.24.已知三角形的顶点为.（1）求边上的中线所在直线方程.（2）求边上的高线所在直线方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程【小问1详解】BC的中点坐标为，故中线的斜率，则边BC上的中线所在直线的方程为即；小问2详解】边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为即25.如图：在四棱锥中，底面是正方形，，，点在上，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：在线段上存在点，使∥平面，并求线段的长.【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析，【解析】【分析】（1）根据已知，利用勾股定理、直线与平面垂直的判定定理进行证明.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式进行计算求解.（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算计算求解.【小问1详解】证明：，，，同理又，平面ABCD平面.【小问2详解】 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则平面的法向量为，设平面的法向量为，由有：，取，设二面角的平面角为，由图形可知，，二面角的余弦值为.【小问3详解】假设存在点，使∥平面，令，，，由∥平面，，，即，解得存在点，为的中点，即.26.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且 ，点为棱上的点，平面与棱交于点．（1）求证：；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．条件①：；条件②：平面平面；条件③：．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)由底面是正方形得，用线面平行的判定定理证得平面，再用线面平行的性质定理证得；(2)若选条件①②，由平面平面得，，由为正方形得，即可建立空间直角坐标系，由点的坐标求出向量的坐标，从而求出平面和平面的法向量，代入夹角公式即可求出平面与平面所成锐二面角的大小；若选条件①③，易证得平面，从而证得，所以平面，从而得到，又因为，则可说明为等腰直角三角形，即可建立与①②相同的空间直角坐标系，下面用与①②相同的过程求解；若选条件②③，由平面平面，可证平面，所以，，又由平面，可证，结合可得点为的中点，则可得，即可建立与①②相同的空间直角坐标系，下面用与①②相同的过程求解.【小问1详解】证明：因为底面是正方形，所以，平面，平面，所以平面， 又因为平面与交于点，平面，平面平面所以．【小问2详解】选条件①②，则，平面平面.因为侧面为等腰直角三角形，且，即，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，平面，所以，，又由为正方形得．以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，因为，所以点为的中点，则,从而，，，,设平面的法向量为，则，令，可得,设平面的法向量为，则，令，可得，所以， 则两平面所成的锐二面角为．选条件①③，则，．侧面为等腰直角三角形，且，即，，因为，，且两直线在平面内，可得平面，因为平面，则．又因为，，且两直线在平面内，则平面，因为平面则，因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点.又因为，所以为等腰直角三角形，则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下用与①②相同的过程求解．选条件②③，则平面平面，．因为侧面为等腰直角三角形，且，即，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，平面，所以，，又由为正方形得．因为，，且两直线在平面内，则平面，因为平面，则，因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点，则.则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下的过程与①②相同．27.如图，在四棱锥中，，，底面为正方形，分别为的中点． （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】∵，分别为，的中点，∴，又平面，平面，故平面.【小问2详解】由题可知DA、DC、DP两两垂直，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：设， 则，∴，设平面的法向量为，则，令，则，，故，∴，故直线与平面所成角的正弦值为.