安徽省芜湖市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

芜湖市2023～2024学年度第一学期期中普通高中联考试卷高二数学（满分150分，时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，已知，，则的模为（）A.1B.C.D.3【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的模长公式即可求解.【详解】解：，，则所以故选：B.2.如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由题意结合图形，直接利用，即可求解.【详解】因空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，所以，所以.故选：A3.若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（）A.B.C.2D.－2【答案】B【解析】【分析】根据直线平行对应直线的斜率相等可求解出的值.【详解】由，即，得.经检验知，符合题意故选：B.4.已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（）A.－6B.6C.4D.10【答案】A【解析】【分析】由已知条件中两直线垂直可以求出的值,再由垂足在两条直线上可得和的二元一次方程组,求解出和的值,即可求出的值.【详解】因为直线与直线垂直,所以,解得,又垂足为,代入两条直线方程可得,解得,,则.故选 【点睛】本题考查了两条直线的位置关系,需要掌握两条直线平行或垂直时其直线方程一般式的系数关系,本题较为基础.5.已知圆关于直线对称，则（）A.0B.2C.4D.6【答案】B【解析】【分析】根据圆关于直径对称来求.【详解】因为圆的圆心为又因为圆关于直线对称，即，所以故选：B6.若为圆的弦的中点，则直线的方程是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】圆的圆心为O，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到，求出直线的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.【详解】设圆的圆心为O，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：，因为，所以，因此直线方程为，故本题选D.【点睛】本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式.7.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A.m<－1或1<m<B.1<m<2C.m<－1或1<m<2D.m<2 【答案】A【解析】【分析】由可得．【详解】+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则，取交集：m<－1或1<m<．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，掌握椭圆的标准方程是解题关键．方程，在且时表示椭圆，时表示圆，在时表示双曲线，是地，不表示任何曲线．8.已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得， 则①，即，由余弦定理得，，故，②联立①②，解得：，而，所以，即，故选：B【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线：，则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角是B.若直线：，则C.点到直线的距离是1D.过点与直线平行的直线方程是【答案】ACD【解析】【分析】由斜率与倾斜角的关系判断A，由直线的位置关系判断B，D，由点到直线的距离公式判断C， 【详解】对于A，直线的斜率为，故倾斜角是，故A正确，对于B，直线的斜率为，两直线斜率乘积为1，不垂直，故B错误，对于C，由点到直线的距离公式得，故C正确，对于D，过点与直线平行的直线方程为，得，故D正确，故选：ACD10.已知圆，下列说法正确的是（）A.圆心为B.半径为2C.圆与直线相离D.圆被直线所截弦长为【答案】BD【解析】【分析】把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确.【详解】将圆化为标准方程得，可知圆心，半径，故A错误，B正确；由圆心到直线的距离，即，直线与圆相切，故C错误；圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得，所以D正确.故选：BD.11.已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.点到右焦点的距离的最大值为9B.焦距为10 C.若，则的面积为9D.的周长为20【答案】AC【解析】【分析】对于A选项，由椭圆性质知：当点为椭圆的左右顶点时，点到右焦点的距离分别最大，最小，即可求解；对于B，由椭圆方程可得焦距；对于C，由题意及椭圆定义，结合三角形面积公式即可求解；对于D，结合椭圆的性质可得．【详解】解：由椭圆的方程得：.对A当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确；对B.焦距为B错误；对C.由题意得：，①由椭圆定义得：，即，②②-①得：，的面积为，故C正确对D，的周长为，故D错误；故选：AC12.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.直线平面 B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直线平面，故A正确；在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中， ∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选：ABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.过直线与的交点，且垂直于直线的直线的斜截式方程为_______.【答案】【解析】【分析】联立方程组求得两直线的交点为，根据所求直线垂直于直线，得到，结合直线点斜式方程，化为直线的斜截式方程，即可求解.【详解】由方程组，解得，即直线与的交点为，因为所求直线垂直于直线，所以其斜率为，则直线方程为，所以直线的斜截式方程为.故答案为：14.两圆与的公切线有___________条.【答案】3【解析】【分析】由两个圆的方程可得圆心坐标及半径，求出圆心距可得等于两个半径之和，可得两圆外切，进而可得公切线的条数．【详解】解：圆整理可得：，可得圆心的坐标为：，半径；的圆心坐标，半径；所以圆心距，所以可得两个圆外切，所以公切线有3条，故答案为：3．15.如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出向量,的坐标,利用向量的夹角公式即可求得答案.【详解】以A为原点，在平面内过点A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，在正三棱柱中，，，则，故,,设异面直线与所成角为，所以,∴异面直线与所成角的余弦值为,故答案为：. 16.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案.【详解】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在四棱锥中，底面为菱形，和为正三角形，为的中点． （1）证明：平面．（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接．由线面平行的判定定理得出结果；（2）根据空间向量法求平面与平面的法向量，由两个法向量所成角的余弦值的绝对值得出结果.【小问1详解】证明：连接，交于点，连接．因为为菱形，所以为的中点．因为为的中点，所以为的中位线，所以．因为平面平面，所以平面．【小问2详解】在正中，连接，，则．因，所以，所以．因为，平面，所以平面．所以平面，所以平面平面，平面平面，过点作于点，平面，则平面.，所以，又，，则，,. 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则．设平面的法向量为，因为，所以令，得．设平面的法向量为，因为，所以令，得．因为，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后利用它们的数量积为零可证异面直线的垂直.（2）求出平面的法向量和的坐标后可求点面距.【小问1详解】建立直角坐标系，其中为坐标原点.依题意得，因为，所以.【小问2详解】设是平面的法向量，由得所以，令，则，因为，所以到平面的距离为.19.已知的三个顶点分别为，，.（1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解；（2）求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解.【小问1详解】由题意得，且，所以.则边上的高所在直线的方程为，化简得.【小问2详解】由题知的中点，所以，则边上的中线所在直线的方程为，化简得.20.已知圆C：和定点，直线l：（）.（1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长；（2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长.（2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】圆C：，圆心，半径，当时，直线l的方程为， 所以圆心C到直线l的距离，故弦长为.【小问2详解】设，则，由，，得.化简得，所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆.又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点，所以，解得，所以m的取值范围是.21.若椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（均与不重合），证明：直线的斜率 之和为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得，因为点在椭圆上，将点坐标带入椭圆方程求解即可．（2）过点的直线与椭圆相交，首先要考虑直线斜率不存在的情况，然后在直线斜率存在的条件下，设直线方程及交点坐标，直线方程与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求解交点横坐标之间的关系，然后求解直线的斜率之和即可．【小问1详解】由题意得离心率为，点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆方程为【小问2详解】当直线的斜率不存在时，为椭圆的上下顶点，即为，则．当直线的斜率存在时，设的方程为，联立消去并整理得，，则，得，设，则，所以 综上可得，直线的斜率之和为3．【点睛】过椭圆上一定点,作两条直线分别与椭圆交于A,B两点,且两直线斜率之和为,则(1)当时,直线恒过一个定点.(2)当时,直线AB的斜率为定值.