安徽省合肥市百花中学等四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

绝密★启用前合肥百花中学2023~2024学年度第一学期高二年级期中考试（学考模拟）数学本试卷共4页.全卷满分100分，考试时间90分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，满分54分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分)1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合，，所以，故选：D2.下列函数中，在其定义域上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用幂函数与正余弦函数的单调性一一判定即可.【详解】由幂函数的单调性可知在定义域上单调递减，故A正确； 在上单调递减，上单调递增，不符题意，在上单调递增，不符题意，在上单调递增，不符题意，即B、C、D错误.故选：A3.在平面直角坐标系中，下列与角终边相同的角是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.【详解】由题意可知，所以与终边相同.故选：B4.若，则A.1B.-1C.iD.-i【答案】C【解析】【详解】试题分析：，故选C．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．5.下列函数为奇函数的是（）A.B.C.D.y=log₂x【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解. 【详解】对于A中，函数为奇函数，符合题意；对于B中，函数为偶函数，不符合题意；对于C中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于D中，函数为非奇非偶函数，不符合题意.故选：A.6.已知函数对于任意实数x满足，若，则（）A.-5B.-3C.3D.5【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的周期，利用周期求函数值.【详解】由，，可知，函数的周期，.故选：C7.已知a+b>0，b<0，那么a，b，-a，-b的大小关系是（）A.a>b>-a>-bB.a>b>-b>-aC.a>-b>-a>bD.a>-b>b>-a【答案】D【解析】【分析】根据题目信息，a+b>0，b<0，则可知且，在对内容排序即可【详解】因为a+b>0，b<0，则可知且，则，因此D正确.故选：D.8.已知向量，若，则实数λ的值是（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据，由求解.【详解】解：因为向量，且， 所以，解得，故选：D9.已知函数的图象过点，则（）A.3B.-3C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.【详解】由题意可知，所以.故选：C10.如图，在长方体中，AB＝AD＝2，，则四棱锥的体积为（）A.3B.4C.6D.9【答案】B【解析】【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果.【详解】在长方体中，底面ABCD，则四棱锥的体积为.故选：B11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则C=（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理，即可求解.【详解】根据正弦定理，即，则，，，则，所以.故选：B12.若函数的图象与x轴没有交点，则k的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知无解，即.故答案为：A13.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A.-3B.-2C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，，得，则，．故选C．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．14.在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（） A.男生投篮水平比女生投篮水平高B.女生投篮水平比男生投篮水平高C.男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定D.男女同学投篮命中数的极差相同【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差计算公式结合图表数据计算出，，，，然后进行比较即可求得结果.【详解】由图可知，，，，所以，，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定，故选：C.15.向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（）AB. CD.【答案】C【解析】【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案.【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选项的图象符合条件，故选：C.16.函数零点所在区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.【详解】函数在上单调递减，，，，，且函数单调递减，连续不断，所以函数的零点所在的区间是.故选：B17.从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）A.“恰有1名男生”与“全是男生”B.“至少有1名男生”与“全是女生”C.“至少有1名男生”与“全是男生”D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”【答案】A【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念结合选项进行判断.【详解】对于A，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件； 对于B，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件；对于C，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件；对于D，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”能同时发生，所以不是互斥事件；故选：A.18.如图，在长方形中，，点P满足，其中，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出最值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，设，因为，所以，即，故，，则，则， 因为，所以，，故.故选：B第Ⅱ卷(非选择题共46分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上)19.若a>0，则的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式求解.【详解】解：∵a>0，∴（当且仅当a=1时取“=”）.故答案：220.某校高一年级有学生1000人，高二年级有学生800人，为制订学生课外活动方案，采用分层抽样的方法从两个年级分别抽取学生参加问卷调查，若从高一年级抽取学生50人，则应从高二年级抽取的学生人数是_______________.【答案】40【解析】【分析】根据分层抽样计算公式，即可求解.【详解】设高二年级抽取的学生人数为，则，则. 故答案为：21.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是___________.【答案】【解析】【分析】正方体外接球球心为其体对角线的中点，体对角线即为外接球的直径.【详解】设正方体棱长为a，则，根据正方体和球的对称性可知，正方体外接球球心为其体对角线的中点，其体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R，则，∴外接球体积.故答案为：.22.在精准扶贫工作中，某单位帮助农户销售当地特色产品，该产品的成本是30元/千克，产品的日销售量P(千克)与销售单价x(元/千克)满足关系式，要使农户获得日利润最大，则该产品销售单价x(元/千克)为_______________.【答案】42【解析】【分析】利用分段函数、二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知农户的日利润，由二次函数的单调性可知：若，有时，；若，有时，；故时，日利润取得最大值.故答案为：42三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，满分30分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤)23.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）已知，且求的值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根据周期公式求解即可；（2）先根据平方关系求得，进而结合二倍角的正弦公式求解即可.【小问1详解】函数的最小正周期为.【小问2详解】因为，则，所以.24.如图，在三棱锥中，平面，为等边三角形，点为棱的中点，（1）求证:平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据棱锥的体积公式计算即可.【小问1详解】因为平面，平面，所以，因为为等边三角形，点为棱的中点，所以，又平面，所以平面；【小问2详解】，，因为平面，所以.25.某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头天的日用水量频数分布表日用水量频数使用了节水龙头天的日用水量频数分布表日用水量频数（1）作出使用了节水龙头天日用水量数据的频率分布直方图： （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案】（1）直方图见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能节约用水多少，从而求得结果.【详解】（1）频率分布直方图如下图所示： （2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为；（3）该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．估计使用节水龙头后，一年可节省水．【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.