重庆市荣昌中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

荣昌中学高2026级高一上期第二次月考数学试题总分：150分时间：120分钟一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的)1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求集合A，再根据交集运算求解.【详解】由题意可得：，所以.故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题的否定得到其否定形式，进行判断即可.【详解】“，”的否定为“，”.故选：D3.已知函数，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值可得答案. 【详解】因为，所以．故选：B4.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性确定正确答案.【详解】、奇函数，不符合题意.在上单调递减，不符合题意.是偶函数，且，所以在上单调递增.故选：D5.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于零即可.【详解】当时，，当时，， 因为函数的值域为，所以，得，所以实数的取值范围是，故选：D.6.通过加强对野生动物栖息地保护和拯教繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（t的单位：年），其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（）（）A9B.10C.11D.12【答案】C【解析】【分析】利用列方程，结合对数运算求得.【详解】解析根据题意，所以，所以，所以，得.故选:C7.设，则a，b，c的大小顺序为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性证明，利用对数函数单调性证明，即可得到正确结论.【详解】指数函数，为减函数，∴，∵幂函数为增函数，∴， ∴，∵对数函数为减函数，∴，即，∴.故选：A.8.已知两个正实数x，y满足，则的最大值是（）A.B.C.6D.9【答案】B【解析】【分析】由题意得，再利用基本不等式求解即可【详解】因为正实数x，y满足，则，当且仅当时，等号成立.故选：B二、多选题(本题共四小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个符合要求的选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)9.已知实数a，b，c，若，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据不等式的性质判断即可.【详解】A选项：因为，所以，故A正确；B选项：因为，，所以，故B错； C选项：因为，所以，故C错；D选项：因为，所以，故D正确.故选：AD.10.下列命题是真命题的是（）A.函数与是同一函数B.函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，C.不等式的解集是D.设，则“”是“”的必要不充分条件【答案】CD【解析】【分析】根据同一函数、奇函数、分式不等式、必要不充分条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，函数的定义域为，函数的定义域是，所以不是同一函数，所以A选项错误，B选项，当时，，所以，所以B选项错误.C选项，不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为，所以C选项正确.D选项，等价于“且”，所以则“”是“”的必要不充分条件，D选项正确.故选：CD11.已知，函数与的图像可能是（）A.B. C.D.【答案】AB【解析】【分析】首先由得出，再分类讨论和的取值范围，根据指数函数和幂函数的图像即可得出答案．【详解】因为，即，所以，当时，则，指数函数在上单调递减，且过点；对数函数在单调递增且过点，将的图像关于轴对称得到的图像，则在上单调递减且过点，故A符合题意；当时，，同理可得，指数函数在上单调递增，且过点，在上单调递增且过点，故B符合题意；故选：AB．12.19世纪，德国数学家狄利克雷（，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R上的函数称为狄利克雷函数，则（）A.B.C.若为有理数，，则D.存在三个点，，，使得为正三角形 【答案】BCD【解析】【分析】根据狄利克雷函数的定义结合分段函数的性质，分别讨论为有理数和无理数，依次判断各个选项，即可得解.【详解】对于A，是无理数，若为有理数，是无理数，则；若为无理数，有可能为有理数，如，此时，故A错误；对于B，当为有理数，为有理数，则；当为无理数，为无理数，则，故B正确；对于C，为有理数，若为有理数，则是有理数，则；若为无理数，是无理数，则，故C正确；对于D，存在三个点且为有理数，则，，是边长为的等边三角形，故D正确；故选：BCD三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)13.函数(且)的图象经过定点_____________.【答案】【解析】【分析】利用对数函数的性质即可得解.【详解】因为，令，即，则，所以的图象经过定点.故答案为：.14.已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为___________.【答案】 【解析】【分析】利用函数的性质，分段解不等式即得.【详解】由函数是上的偶函数，且在上单调递增，得在上单调递减，显然，不等式，当时，，则有，当时，，则有，所以不等式的解集为.故答案为：15.已知函数的单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案.【详解】令，解得，故函数定义域为，其中，故在上单调递增，在上单调递减，其中在上单调递增，由复合函数单调性可知，的单调递增区间为.故答案为：16.已知函数（）的最小值为2，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先得到，然后根据当时，恒成立分离常数，结合函数的单调性求得的取值范围.【详解】，当时，单调递增，所以当时，恒成立， 注意到，所以由得在区间上恒成立，令，当时，，当时，任取，，其中，，，所以，所以在上递增，，所以在区间上，所以，即的取值范围是.故答案为：【点睛】含有参数的分段函数最值有关的问题，可先考虑没有参数的一段函数的最值，然后再结合这个最值考虑含有参数的一段函数，结合分离常数法以及函数值域的求法可求得参数的取值范围.四、解答题(本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分.作答时，请写出必要的解答过程)17.计算下列各式．（1） （2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简求值；（2）利用对数的运算法则化简求值.【小问1详解】解：原式=【小问2详解】解：原式=.18.设集合，.（1）若为空集，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式解集为空集，列出不等式求解即得.（2）解对数不等式化简集合A，再分类讨论解不等式化简集合B，并结合包含关系求解即得.【小问1详解】依题意，不等式解集为空集，于是，即，解得，所以.【小问2详解】不等式，解得，即， ，当时，，则；当时，，则，而，显然不是的子集；当时，，则，由，得，解得，所以的取值范围是或.19.设函数，，且，．（1）求的值及的定义城；（2）判断的奇偶性，并给出证明；（3）求函数在上的值域．【答案】（1）定义域，（2）函数为偶函数，证明见解析（3）．【解析】【分析】（1）根据真数大于0求解定义域，由求的值.（2）根据奇偶性的定义判断.（3），根据真数的范围求解.【小问1详解】由可得，故函数的定义域，因为，由题意，故【小问2详解】因为，又定义域关于原点对称，所以函数为偶函数， 【小问3详解】由（1）可知，，，所以，所以函数的值域为．20.已知点在幂函数的图像上.（1）求的解析式；（2）若函数，是否存在实数a，使得最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）存在，1【解析】分析】（1）设幂函数，代入点坐标，待定系数求解即可；（2）代入可得，结合二次函数性质分类讨论求解即可.【小问1详解】设幂函数，由点在幂函数的图象上，所以，解得，所以.【小问2详解】函数，，且二次函数的图象是抛物线，对称轴是.①当，即时，在上是单调增函数，最小值为，解得，满足题意；②当，即时，在上先减后增，最小值为， 方程无解；综上知，存在实数，使得有最小值为.21.为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．（1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)．（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）P(x)＝；（2）8万件；万元．【解析】【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果；（2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可.【详解】（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元．依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝＋6x－5；当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－.所以P(x)＝；（2）当0＜x＜8时，P(x)＝－＋13，当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13；当x≥8时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数. 当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝.由13＜，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，属中等题.22.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）试判断的单调性，并用定义证明；（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）函数在上为增函数，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值；（2）函数在上为增函数，由单调性的定义和指数函数的单调性、不等式的性质可得证明；（3）由奇函数在上为增函数，可将原不等式的两边的“”去掉，从而利用基本不等式即可得解.【小问1详解】由定义域为的函数是奇函数，可得，即有，即恒成立，所以；【小问2详解】由于，可得函数在上为增函数．证明：任取，，且， 则，因为，所以，又，所以，即，所以函数在上为增函数．【小问3详解】由（2）得，奇函数在上为增函数，则等价于，即，令，则在上有解，因为，当且仅当，即，时，等号成立，所以，即.