河南省周口恒大中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年高一上学期数学12月考试卷数学试题试卷考试时间：120分钟满分：150第I卷（选择题）一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.函数的值域是（）A.B.C.D.2.若函数则（）A.B.C.D.3.已知集合，则（）A.B.C.D.4.若集合A=，B={︳}，则=（）A.B.C.D.5.对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为（）A.1B.2C.D.6.已知集合，则A.B.C.D.7.已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（）A.B.C.D. 8.设函数,,其中．若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围是（）A.或B.C.或D.二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.函数有3个单调区间B.当时，C.函数有最小值D.不等式的解集是10.下列命题中正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在上是增函数C.函数在上单调递增D.已知是定义在上的减函数，若，则11.若，则下列不等式中正确的是（）A.B.C.D.12.德国数学家黎曼（Ricmann）提出的黎曼函数r（x）在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数r（x）的定义为，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素），下列命题中，正确的有（）A.存在常数T>0，使得对任意的x∈R，都有 B.对任意的x∈R，有C.存在a，b，a+b∈[0，1]，使得D.给定正整数t，记S=，则S有个元素第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则使得成立的实数a的取值集合是______________；14.函数，的反函数为_______________.15.若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为___________16.已知定义在上的奇函数与偶函数满足，则__________.四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）17已知函数，.（1）求解析式；（2）当时，求的最值；（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围.18.已知定义域均为的函数和，是偶函数，是奇函数，（1）求解析式；（2）判断在的单调性，并用定义证明；（3）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．19.某市出租车的计价标准是4km以内10元(含4km)，超过4km且不超过18km的部分1.2元/千米，超出18km的部分1.8元/千米．(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20km，那么他要付多少车费？ 20已知函数.(1)若函数对任意实数都有成立，求的解析式；(2)当函数在区间[－1，1]上的最小值为－3时，求实数a的值．21.已知定义在上的函数是奇函数．（1）求实数，的值；（2）判断函数的单调性；（3）若，不等式有解，求实数取值范围．22.定义在上的函数和二次函数满足：，，．（1）求和的解析式；（2）若对于、，均有成立，求取值范围；（3）设，在（2）的条件下，讨论方程的解的个数． 2023-2024学年高一上学期数学12月考试卷数学试题试卷考试时间：120分钟满分：150第I卷（选择题）一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.函数的值域是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得的取值范围，根据不等式的基本性质可求得原函数的值域.【详解】因为，所以，因此，函数的值域是.故选：B.【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题.2.若函数则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式,将自变量转换到对应的区间求解即可.【详解】因为,故.故选：D【点睛】本题主要考查了分段函数的求解以及对数的基本运算,需要根据题意将自变量转换到对应的区间上求解.属于基础题. 3.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集求出，根据并集计算即可.【详解】，，即，，即故选：A4.若集合A=，B={︳}，则=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后，利用集合的交集运算的定义即可得到答案.【详解】,,故选：B【点睛】本题考查了集合的交集运算的定义，理解交集的定义是关键，属于基础题.5.对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为（）A.1B.2C.D. 【答案】A【解析】【分析】题意说明在R上有解，再转化为求函数的最小值可得．【详解】为局部奇函数，则在R上有解，即，∴，∵，∴，即，∴，故选：A．6.已知集合，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集的定义求出两集合的交集．【详解】∵，∴，故选：C．7.已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件结合分段函数值域的意义可得在取尽一切负数，再列不等式求解即可作答.【详解】函数，而函数是增函数，当时，，则当时，函数值域为， 因函数的值域为，因此，在当时，函数取尽一切负数，当，即时，，不符合题意，当时，，也不符合题意，从而有，解得，所以实数的取值范围是：.故选：D8.设函数,,其中．若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围是（）A.或B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】由得，分别作出两个函数的图象，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．【详解】解：．作函数的图象，如图所示：函数零点的个数函数的图象与直线交点的个数． 当直线过点时，；当直线与曲线相切时，，由得，即，整理得，则判别式，即，可求得或．当时，不成立，故此时，根据图象可知当或时，函数在区间上有且仅有一个零点．故选：C．二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.函数有3个单调区间B.当时，C.函数有最小值D.不等式的解集是【答案】BC【解析】【分析】利用奇偶性求出的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断.【详解】解：当时，，因为时，所以，又因为是定义在上的偶函数所以时， 即如图所示：对A，由图知，函数有个单调区间，故A错误；对B，由上述分析知，当时，，故B正确；对C，由图知，当或时，函数取得最小值，故C正确；对D，由图知，不等式的解集是，故D错误.故选：BC.10.下列命题中正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在上是增函数C.函数上单调递增D.已知是定义在上的减函数，若，则【答案】AD【解析】【分析】根据二次函数的单调性判断A，根据特值判断B，根据函数定义域判断C，根据函数的单调性及同向不等式的性质判断D. 【详解】因为函数的对称轴为，开口向下，故函数在上单调递减，A正确；函数在上单调递增，但在上不单调递增，例如，，但，故B错误；函数要有意义，则，解得，即函数定义域为，故在上单调递增错误，故C错误；是定义在上的减函数，若中，则，又，所以，所以，故D正确.故选：AD11.若，则下列不等式中正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】可根据已知条件，根据、的范围，分别表示出、的范围，然后再表示出、、、的范围，验证即可判断.【详解】选项A，由，可得，故选项A正确；选项B，由可得，而，所以，故选项B错误；选项C，由，可得，故选项C正确；选项D，由可得，而，所以，故选项D正确.故选：ACD.12.德国数学家黎曼（Ricmann）提出的黎曼函数r（x）在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数r（x）的定义为，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素），下列命题中，正确的有（）A.存在常数T>0，使得对任意的x∈R，都有 B.对任意的x∈R，有C.存在a，b，a+b∈[0，1]，使得D.给定正整数t，记S=，则S有个元素【答案】ABC【解析】【分析】本题中的，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素）即取值为非零有理数，要考查新定义函数的周期性，对称性，根据函数解析式，分三段分别讨论，C选项可以取满足条件的来验证.D选项主要考查对定义的理解，取进行验证即可判断.【详解】对选项A，考查函数的周期性，取，若，则，，所以满足，若为无理数，则也是无理数，满足.若为非零有理数，即，，互质，则与也互质，，满足，故A选项正确.对选项B，若为无理数，则也无理数，所以.若，满足.若为非零有理数，，，互质，则与互质，也与互质，满足.B选项正确对于选项C，因为存在a，b，a+b∈[0，1]，取，因为为无理数，，又，故，故有.故选项C正确. 对于选项D，取，即，则或1，当时，，当时，，当时，，当时，，则，有7个元素，不满足=8个元素，故D错误.故选：ABC第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则使得成立的实数a的取值集合是______________；【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性，结合奇函数的性质求解即可.【详解】由题意，当时，为减函数且，又是定义在R上的奇函数，故当时，为减函数且.故则或或，解得或无解或.综上有实数a的取值集合是.故答案为：14.函数，的反函数为_______________.【答案】【解析】【分析】 先求出函数的值域，然后由函数解析式将用表示，即可得出结论.【详解】函数，，，，所以反函数为.故答案为：.【点睛】本题考查反函数的求法，要注意反函数的定义域不要遗漏，属于基础题.15.若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为___________【答案】【解析】【分析】参变分离可得，再根据函数的单调性求在上的最小值即可.【详解】不等式对于一切恒成立，即在上恒成立.又对勾函数在上单调递增，所以在上的最小值为,所以实数的最大值为故答案为：16.已知定义在上的奇函数与偶函数满足，则__________.【答案】##【解析】【分析】结合已知条件可得，解方程组即可求解.【详解】因为、分别为上的奇函数与偶函数，所以，又因为与满足， 所以，即，解得，故答案为：.四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）17已知函数，.（1）求的解析式；（2）当时，求的最值；（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围.【答案】（1）（2）最小值为0，无最大值（3）【解析】【分析】（1）利用换元法求函数解析式；（2）利用基本不等式求最值；（3）将方程根的问题进行转化，借助函数图像，建立满足题意的条件不等式解出即可.【小问1详解】由，令，所以即函数.【小问2详解】 ，当且仅当时取等，所以最小值为0，无最大值.【小问3详解】方程可化为，且，令，则方程化为，，因为方程有三个不同的实数解，由的图像知，有两个根、，且,或，记，即，此时， 或，得，此时无解综上，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围.18.已知定义域均为的函数和，是偶函数，是奇函数，（1）求解析式；（2）判断在的单调性，并用定义证明；（3）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）在上是增函数；证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据是偶函数，是奇函数，可得，再将其与联立，解方程即可求出解析式；（2）根据单调性的定义即可判断并证明在的单调性；（3）令，由（2）可知，再整理化简可得，设，将原问题转化为当， 恒成立，再根据二次函数的性质求解即可.【小问1详解】解：因为，则且是偶函数，是奇函数，所以，，可得【小问2详解】解：任取，令，因为，所以，，则，即，所以在上是增函数．【小问3详解】解：令，由（2）可知，单调递增，又为偶函数，，单调递减，所以时，取得最大值，时，取得最小值，即又所以设，所以当，恒成立，即或或成立又解得；无解；无解； 所以19.某市出租车的计价标准是4km以内10元(含4km)，超过4km且不超过18km的部分1.2元/千米，超出18km的部分1.8元/千米．(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20km，那么他要付多少车费？【答案】（1）.（2）乘车20km，要付车费30.4元．【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可知此与的函数关系符合分段函数．根据的不同范围,可得相应的解析式．（2）因为可直接代入解析式中求．试题解析：解：由题知，（1）当时，元；当时，；当时，3所以5分（2）当时，7分答：他要付车费元8分考点：分段函数．20.已知函数.(1)若函数对任意实数都有成立，求的解析式；(2)当函数在区间[－1，1]上的最小值为－3时，求实数a的值．【答案】(1)f(x)＝x2－2x＋3.(2)a＝7或a＝－7.【解析】【分析】(1)对任意实数都有成立，可得的对称轴为x＝1，即可得出a. (2)由题意可得的对称轴为，分别讨论，，，综合结论，即可得到a的值.【详解】(1)∵f(1＋t)＝f(1－t)，∴函数f(x)图象的对称轴为x＝1，∴，解得a＝－2.∴函数的解析式为f(x)＝x2－2x＋3.(2)由题意得函数f(x)＝x2＋ax＋3图象的对称轴为.①当，即a≤－2时，f(x)在[－1，1]上单调递减，∴f(x)min＝f（1）＝1＋a＋3＝a＋4＝－3，解得a＝－7，符合题意；②当，即－2<a<2时，由题意得解得a2＝24，∴或，又－2<a<2，不合题意，舍去；③当，即a≥2时，f(x)在[－1，1]上单调递增，∴f(x)min＝f(－1)＝1－a＋3＝4－a＝－3，解得a＝7，符合题意．综上可知a＝7或a＝－7.【点睛】本题考查二次函数的性质及在闭区间上的最值问题，需分别讨论对称轴在区间的左侧、中间、右侧三种情况，体现了分类讨论的数学思想，属中档题.21.已知定义在上的函数是奇函数．（1）求实数，的值；（2）判断函数的单调性；（3）若，不等式有解，求实数的取值范围．【答案】（1）， （2）在上为减函数（3）【解析】【分析】（1）由，求得，再由，求得，结合函数的奇偶性的定义，即可求解；（2）化简，根据函数的单调性的定义及判定方法，即可求解；（3）根据题意化简不等式为在有解，结合正弦函数和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由题意，定义在上的函数是奇函数，可得，解得，即，又由，可得，解得，所以，又由，所以，.【小问2详解】解：由，设，则，因为函数在上是增函数且，所以，即，所以在上为减函数.【小问3详解】 解：由函数在上为减函数，且函数为奇函数，因为，即，可得，又由对任意的，不等式有解，即在有解，因为，则，所以，所以，即实数取值范围是.22.定义在上的函数和二次函数满足：，，．（1）求和的解析式；（2）若对于、，均有成立，求的取值范围；（3）设，在（2）的条件下，讨论方程的解的个数．【答案】（1），；（2）；（3）答案不唯一，具体见解析．【解析】【分析】（1）运用构造方程组法可求，运用待定系数法可求；（2）原问题等价于对任意都成立，进而求得实数的取值范围；（3）作出函数的图象，结合图象讨论即可．详解】（1），，由以上两式联立可解得，.，所以，二次函数图象的对称轴为，故设二次函数，则，解得， 所以，；（2）由（1）知，在上为增函数，故，∴对任意都成立，即对任意都成立，所以，，解得，故实数的取值范围为；（3），作函数的图象如下，令，，则，①当时，，由图象可知，此时方程有两个解，设为，，则有个解，有个解，故方程共个解；②当时，，由图象可知，此时方程有一个解，设为，则有个解，故方程共个解；③当时，，由图象可知，此时方程有一个解， 则有个解，故方程共个解；④当时，，由图象可知，此时方程有一个解，则有个解，故方程共个解．综上所述，当时，方程共个解；当时，方程共个解；当时，方程共个解；当时，方程共个解．【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.