河南省TOP二十名校2023-2024学年高一上学期12月调研数学试题（Word版附解析）

新高中创新联盟TOP二十名校高一年级12月调研考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.2.下列四个函数中，与表示同一个函数的是（）A.B.C.D.3.若函数的定义域是，则函数的定义域是（）AB.C.D.4.“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（）A充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数的对应关系如下表所示，二次函数的图象如图所示，则（）012 -303A.0B.1C.3D.246.对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（）A.B.C.D.7.函数的图象大致是（）A.B.C.D.8.已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各式错误的是（）A.B.C.D.10.已知满足，且，则下列各式中一定成立的是（）A.B.C.D.11.若，且，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.12.定义，设，则（）A.有最大值，无最小值B.当的最大值为C.不等式的解集为D.的单调递增区间为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是__________.14.若是奇函数，则__________.15.若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为______.16.已知对任意的恒成立，则实数的取值范围为______. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.18.已知关于的不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）解关于的不等式：，其中是实数.19.已知定义在上偶函数，当时，，且.（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）解不等式：.20.已知函数满足.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的值域.21.定义：将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度，单位是平方公里/小时，如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里.十一黄金周期间，黄山景区是中国最繁忙的景区之一.假设黄山上的游客游玩的扫码速度为（单位：平方公里/小时），游客的密集度为（单位：人/平方公里），当黄山上的游客密集度为250人/平方公里时，景区道路拥堵，此时游客的步行速度为0；当游客密集度不超过50人/平方公里时，游客游玩的扫码速度为5平方公里/小时，数据统计表明：当时，游客的扫码速度是游客密集度的一次函数.（1）当时，求函数的表达式；（2）当游客密集度为多少时，单位时间内通过游客数量可以达到最大值？22.已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有. （1）判断函数的单调性；（2）解不等式：；（3）若对所有恒成立，求实数的取值范围. 新高中创新联盟TOP二十名校高一年级12月调研考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解集合B中的不等式，得到集合B，再由补集和交集的定义求.【详解】由，得，得，因为，所以，因为，所以，所以.故选：D.2.下列四个函数中，与表示同一个函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根据两个函数的定义域及对应关系是否一样逐项判断即可.【详解】对于A，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项A不符合；对于B，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项B不符合；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项C不符合；对于D，函数的定义域和对应关系与都相同，是同一个函数，故选项D符合.故选：D.3.若函数定义域是，则函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域求出的定义域，然后求解的定义域即可.【详解】因为函数的定义域是，所以，所以，所以的定义域是，故对于函数，有，解得，从而函数的定义域是.故选：A.4.“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析判断即得.【详解】依题意，不积累一步半步行程，就没有办法达到千里之远；不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海，等价于“汇成江河大海，则积累细小的流水”，所以“积小流”是“成江海”的的必要条件.故选：B 5.已知函数的对应关系如下表所示，二次函数的图象如图所示，则（）012-303A.0B.1C.3D.24【答案】A【解析】【分析】根据题中所给函数值以及二次函数图像特征，利用待定系数法求解函数解析式，即可求得结果.【详解】根据二次函数图象，可设二次函数，因为图象经过点，所以代入得，解得，所以，所以.故选：A.6.对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据运算法则得到恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】由已知得对任意实数恒成立，所以，解得. 故选：C.7.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点的函数值，排除法得正确选项.【详解】函数的定义域为，且，则函数为奇函数，故排除项；又因为当时，，故排除项；当时，，故排除B项故选：C.8.已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】不等式等价于，结合函数图像得解集.【详解】函数在上是奇函数，当时，，根据题意，作出的图象，如图所示.由得，即，则或观察图象得或，即不等式的解集是.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各式错误是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案；【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，无法进行合并，故B错误；对于C选项，，故C错误； 对于D选项，，故D正确.故选：ABC.10.已知满足，且，则下列各式中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】结合已知条件，利用不等式的性质，判断各选项的结论是否正确.【详解】对于，因为，且，所以，所以，故A正确；对于，因为，所以，故B正确；对于C，令，满足且，但，故C错误；对于D，易知，所以，故D错误.故选：AB.11.若，且，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式结合乘“1”法等逐项分析即可.【详解】对于A，因为，，所以，得，则，当且仅当，即时取等号，所以，故A正确； 对于B，由及，得，解得，当且仅当时取等号，故B错误；对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：AD.12.定义，设，则（）A.有最大值，无最小值B.当的最大值为C.不等式的解集为D.的单调递增区间为【答案】BC【解析】【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可.【详解】作出函数的图象，如图实线部分，对于A，根据图象，可得无最大值，无最小值，故A错误；对于B，根据图象得，当时，的最大值为，故B正确；对于C，由，解得，结合图象，得不等式的解集为，故C正确； 对于D，由图象得，的单调递增区间为，故D错误.故选：BC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是__________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的性质得到，再结合函数的奇偶性求出答案.【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，当时，，定义域为，又，故为奇函数，舍去；当时，，定义域为，又，故为奇函数，舍去；当时，，定义域为，又，故为偶函数，满足要求，当时，，定义域为，故不为偶函数，舍去.故答案为：14.若是奇函数，则__________.【答案】【解析】【分析】利用奇函数性质和分段函数解析式求解即可.【详解】由知， 又是奇函数，所以.故答案为：15.若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】分离参数把不等式有解问题转化为，利用二次函数求出最值，利用二次不等式的解法求解即可.【详解】因为在内有解，即，其中；设，则当或时，，所以，解得，所以的取值范围为.故答案为：16.已知对任意的恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】分离参数得，构造函数，利用函数单调性求得最值，最后解一元二次不等式即可.【详解】由，得，设，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，由函数单调性的性质可知在上单调递减， 所以，所以，解得或，故实数的取值范围为.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），或（2）.【解析】【分析】（1）代入集合A，由并集和补集的定义求；（2）由，分和两种类型，列不等式求实数的取值范围.【小问1详解】当时，，而，所以，或.【小问2详解】因为，（i）当时，，解得，此时满足；（ii）当时，满足，即需满足或，解得或.综上所述，实数的取值范围为.18.已知关于的不等式的解集为.（1）求实数的值； （2）解关于的不等式：，其中是实数.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得的根为和2，然后利用韦达定理列式求解即可；（2）根据两根大小关系分类解不等式即可.【小问1详解】因为，所以的根为和2，且，所以，解得；【小问2详解】原不等式即为，也即，①当，即时，原不等式的解集为；②当，即时，原不等式的解集为；③当，即时，原不等式的解集为.19.已知定义在上的偶函数，当时，，且.（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）解不等式：. 【答案】19.20.21.【解析】【分析】（1）偶函数，有，代入函数解析式求的值；（2）由函数是偶函数，求函数的解析式；（3）由函数奇偶性和解析式解不等式.【小问1详解】因为是定义在上的偶函数，且，所以，即，解得.【小问2详解】当时，，设，则，则，故【小问3详解】由是偶函数，等价于，即，得，得，解得或，故的解集是.20.已知函数满足.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的值域.【答案】（1） （2）.【解析】【分析】（1）由，代入函数，求出得解析式；（2）利用函数的单调性可得值域.【小问1详解】函数满足则有解得故.【小问2详解】由（1）可知，函数定义域为，，因为函数与都在上单调递增，所以函数在上是增函数.因为，所以函数在上值域为.21.定义：将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度，单位是平方公里/小时，如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里.十一黄金周期间，黄山景区是中国最繁忙的景区之一.假设黄山上的游客游玩的扫码速度为（单位：平方公里/小时），游客的密集度为（单位：人/平方公里），当黄山上的游客密集度为250人/平方公里时，景区道路拥堵，此时游客的步行速度为0 ；当游客密集度不超过50人/平方公里时，游客游玩的扫码速度为5平方公里/小时，数据统计表明：当时，游客的扫码速度是游客密集度的一次函数.（1）当时，求函数的表达式；（2）当游客密集度为多少时，单位时间内通过的游客数量可以达到最大值？【答案】21.22.125人/平方公里【解析】【分析】（1）时，；当时，设，由，，解出可得函数的表达式；（2）由解析式，利用函数单调性和配方法，求最大值.【小问1详解】由题意知时，公里/小时；当时，设，由，，则，解得，故.【小问2详解】由（1）可得，当时，，此时；当时，，当时，； 由于，故当游客密集度为125人/平方公里时，通过的游客数量可以达到最大值.22.已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有.（1）判断函数的单调性；（2）解不等式：；（3）若对所有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在上单调递增（2）（3）.【解析】【分析】（1）根据函数单调性的知识判断出函数在上的单调性.（2）根据函数的定义域、单调性求得不等式的解集.（3）先求得的最大值，然后利用转换主参变量的方法，列不等式来求得的取值范围.【小问1详解】为奇函数，所以，则由，得，得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递增，综上，函数在上单调递增【小问2详解】由（1）知函数为上的增函数， 则解得，故不等式的解集为.【小问3详解】因为，所以.若对所有恒成立，则成立，且，所以对恒成立，即对恒成立.令，则即得，即，解得，故实数的取值范围是.【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号来判断单调性.单调性的定义还可以表现为（或），或（或）.