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河南省TOP二十名校2022-2023学年高三数学(理)上学期12月调研试题(Word版带解析)

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2022-2023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考高三理科数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A.B.C.D.2.若复数z满足,则()A.B.1C.D.23.已知,,,则()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b4.将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作,每名志愿者只分配到1个小区,每个小区至少分配1名志愿者,若分配到3个小区的志愿者人数均不相同,则不同的分配方案共有()A.60种B.120种C.180种D.360种5.下列点中,曲线的一个对称中心是()A.B.C.D.6.执行如图所示的程序框图,若输出的S为1,则判断框内应该填入的条件是()A.B.C.i<5D.i>57.有一组样本数据,,,,,该样本的平均数和方差均为2,在该组数据中加入1个数2得到新的样本数据,则两组样本数据相同的为()A.平均数和中位数B.中位数和方差C.方差和极差D.平均数和极差8.已知数列满足,,,则的前n项积的最大值为()A.1B.2C.3D.49.已知四面体ABCD的各顶点都在球O的表面上,,E,F分别为 AB,CD的中点,O为EF的中点.若,直线AC与BD所成的角为60°,AB<EF,则球O的表面积为()A.B.C.D.10.已知O为坐标原点,,,则()A.的最小值为B.的最大值为C.的最小值为1D.的最大值为211.已知抛物线C:的焦点为F,A是C的准线与x轴的交点,P是C上一点,∠APF的平分线与x轴交于点B,则的最大值为()A.B.C.D.12.已知及其导函数的定义域均为,若为奇函数,为偶函数.设,则()A.-1B.0C.1D.2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线的一条切线经过点,则该切线的斜率为______.14.已知双曲线C:,直线x=a与C的两条渐近线交于A,B两点,O为坐标原点,若的面积为,则C的离心率为______.15.在中,D为BC边上一点,∠BAD=90°,∠B=∠CAD,若,则______.16.在空间中,如果将几何体绕着某条直线l旋转一定角度后与原来重合,我们称这个变换过程为l轴旋转对称变换,并称的最小值为最小旋转角.已知三棱锥A-BCD的所有棱长均为1,将三棱锥A-BCD进行轴旋转对称变换,最小旋转角为180°,若将三棱锥A-BCD绕着直线l旋转90°得到三棱锥,则两个三棱锥的公共部分的体积为______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)已知数列为等差数列,数列满足,且,.(1)求,的通项公式;(2)证明:.18.(本小题满分12分)电机(或变压器)绕组采用的绝缘材料的耐热等级也叫绝缘等级,电机与变压器中常用的绝缘材料耐热等级分为如下7个级别: 耐热等级YAEBFHC绝缘耐温(℃)某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响,分别从两种工艺生产的产品中各随机抽取50件,测量各件产品的绝缘耐温(单位:℃),其频率分布直方图如下:(1)若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件,估计其中耐热等级达到C级的产品数;(2)若从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机选择1件,用频率估计概率,求2件产品中耐热等级达到C级的产品数的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=2,∠BAC=90°.以AC为折痕将折起,使点M到达点D的位置,且二面角D-AC-B的大小为120°.(1)求BD;(2)设P为BD上一点,求直线CP与平面ABD所成角的正弦值的最大值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:的长轴比短轴长2,焦距为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知,,过点P的直线l与C交于A,B两点,延长AQ到D,延长BQ到E,且满足轴.证明:D,E两点到直线的距离之积为定值. 21.(本小题满分12分)已知a>0,函数.(1)当时,讨论的单调性;(2)若曲线与直线y=1有且只有一个交点,求a.(二)选考题:共10分.请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.【选修4-4:坐标系与参数方程】(10分)在直角坐标系xOy中,曲线,的参数方程分别为:(t为参数),:(为参数).(1)将,的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,设,的第一象限的交点为A,求以OA为直径的圆的极坐标方程.23.【选修4-5:不等式选讲】(10分)已知函数.(1)设m=1,求不等式的解集;(2)若恒成立,求m的取值范围.2022-2023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考高三理科数学参考答案1.【答案】C【解析】,,则.故选C.2.【答案】A【解析】因为,所以,所以.故选A.3.【答案】D【解析】,,,所以a<c<b. 4.【答案】D【解析】若分配3个小区的志愿者人数均不相同,则1个小区1人,1个小区2人,1个小区3人,则不同的分配方案共有种.故选D.5.【答案】C【解析】.令,则,即,故对称中心可以是.故选C.6.【答案】C【解析】执行该程序框图,i=1,K=0,S=130,执行第1次循环i=1,K=1,S=65;执行第2次循环i=2,K=3,S=13;执行第3次循环i=5,K=8,S=1;当i=5时不满足i<5,输出S=1.故选C.7.【答案】D【解析】新样本的平均数为,方差;因为加入的2是原样本数据的平均值,故不是最大和最小的数,所以极差不变但中位数有可能发生改变.故选D.8.【答案】B【解析】由类比得,两式相除得,即.由,,得,设的前n项积为,则有,,,,…,则数列是以3为周期的数列,的最大值为2.故选B.9.【答案】B【解析】依题意,作出球O的内接正四棱柱IDJC-AHBG,,因为,所以∠AKG=60°或120°,又AB<EF,则∠AKG=60°.因为,则AG=2,,在中,,,则,则球O的表面积.故选B.10.【答案】D【解析】由,可得点A的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,根据向 量减法的几何意义,由,可得点B的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,如图所示.当点B在坐标原点位置时,取最小值0,当点B在射线OA与圆A的交点位置时,取最大值2,A,B选项错误.根据向量数量积的几何意义,当点B在坐标原点位置时,在方向上的投影取最小值0,此时取最小值0,当点B在射线OA与圆A的交点位置时,在方向上的投影取最大值2,此时取最大值2,C选项错误,D选项正确.故选D.11.【答案】B【解析】不妨设点P在第一象限,作垂直准线于点,则有,由角平分线定理得,当直线AP与抛物线相切时,最大,最大,设直线AP的方程为x=my-1(m>0),由整理得,由,得m=1,则当直线AP与抛物线相切时,则,设O为原点,则,由上可知,,整理得,则,当直线AP与抛物线相切时取最大值.故选B.12.【答案】A【解析】因为为奇函数,所以,即,两边同时求导,则有,所以的图象关于直线x=1对称.因为为偶函数,所以,即,两边同时求导,则有,所以函数的图象关于点对称.则有,,所以 .故选A.13.【答案】-1【解析】设切点的坐标为,由题意得,则该切线的斜率,解得,则切线的斜率k=-1.14.【答案】【解析】双曲线C的一条渐近线为,令x=a,则有y=b,则,由双曲线的性质可知为等腰三角形,其面积,则a=b,即,所以C的离心率.15.【答案】【解析】在中,由正弦定理可得,又∠B=∠CAD,可得,且,则有①.又②,①②联立,得,即,则,整理得,解得或(舍去).故.16.【答案】【解析】经过三棱锥不共面的两条棱的中点作一条直线,三棱锥绕着这条直线最小旋转180°后与原三棱锥重合.如图所示,三棱锥A-BCD与三棱锥的公共部分为正八面体EFGHIJ.在四棱锥E-GHIJ中,底面GHIJ为边长为的正方形,高为,则四棱锥E-GHIJ的体积,正八面体EFGHIJ的体积为,故两个三棱锥的公共部分的体积为. 17.【答案】见解析【解析】(1)∵为等差数列,设公差为d.,∴,.∵,即,∴.,即,∴,∴,∴,.(2)由(1)可知,则.18.【答案】见解析【解析】(1)由频率分布直方图可知,65万件产品中,耐热等级达到C级的产品数为(万件),故耐热等级达到C级的产品数约为52万件.(2)设采用甲工艺生产的产品中耐热等级达到C级的产品数为X,采用乙工艺生产的产品中耐热等级达到C级的产品数为Y,则耐热等级达到C级的产品总数为X+Y.由频率分布直方图可知,随机选择1件采用甲工艺的产品耐热等级达到C级的概率为,随机选择1件采用乙工艺的产品耐热等级达到C级的概率为.X+Y所有可能的取值为0,1,2,则,,.分布列如下表所示: X+Y012P.19.【答案】见解析【解析】(1)在MC的延长线上取点Q,因为,,所以∠DCQ即为二面角D-AC-B的平面角,则∠DCQ=120°,且∠DCM=60°.因为,,,所以平面CDM,又因为平面ABCM,所以平面平面ABCM.作DH垂直CM于H,连接BH,所以平面ABCM,又平面ABCM,所以,且H为CM的中点.由题意可知,,在中,.(2)以C为原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向,建立空间直角坐标系,则有,,,,,,,.设,则.设平面ABD的一个法向量,由得可取.则.所以直线CP与平面ABD所成角的正弦值,当时,t取最大值.所以直线CP与平面ABD所成角的正弦值的最大值. 20.【答案】见解析【解析】(1)由长轴比短轴长2,则2(a-b)=2,即a-b=1①,由焦距为,则,即②,①②联立,得a+b=3,则a=2,b=1,所以C的方程为.(2)由题意可知,直线l的斜率不为0.当l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,由对称性可知,四边形ABDE为矩形,则D,E两点到直线的距离之积为.当l的斜率存在时,设l的方程为,,,结合题意可设,.由,可得,整理得,,.由A,Q,D三点共线,可知,即①,由B,Q,E三点共线,可知,即②,①×②得:,又,则.,则.故D,E两点到直线的距离之积为定值.21.【答案】见解析 【解析】(1)当时,,,易知在上单调递增,且.所以当时,,单调递减,当时,,单调递增.(2)依题意,a>0,的定义域为..令,,易知在上单调递增,,,,,则,故存在,使得.当时,,当时,.因为x>0,所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,当,取极小值,也是唯一的最小值点.由得,即,①两边同时取自然对数,则有,则.②由①②得,当且仅当时,等号成立.当时函数取最小值1,函数过点,函数与有且只有一个交点.由,可得,解得a=1.所以曲线与直线y=1有且只有一个交点时,a=1.22.【答案】见解析【解析】(1)由的参数方程得,,两式相减得,所以的普通方程为.由的参数方程得的普通方程为. (2)由得到所以A的直角坐标为.以OA为直径的圆的圆心的极坐标为,半径为1,则OA为直径的圆的极坐标方程为,所以所求圆的极坐标方程为.23.【答案】见解析【解析】(1)由m=1,则,当时,,则;当x<1时,成立,则x<1,综上,不等式的解集为.(2)因为恒成立,所以恒成立,设当时,在上单调递增,当x<m时,.所以函数的最小值为m,所以,故m的取值范围为.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-02-18 11:48:02 页数:12
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文章作者:随遇而安

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