河南省TOP二十名校2023届高三数学（理）9月摸底考试试题（Word版附答案）

2022-2023学年高三年级TOP二十名校九月摸底考试高三理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）．A．B．C．D．2．已知复数z满足，则（）．A．1B．2C．D．3．已知向量，满足，，则与的夹角为（）．A．B．C．D．4．中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系．如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为（）．A．53B．55C．57D．595．已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（）．A．2B．C．D．46．已知等比数列的公比，前n项和为，，，则（）．A．2B．3C．6D．107．在正方体中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（）． A．平面B．平面平面C．平面D．平面平面8．执行如图所示的程序框图，输出的a的值为，则输入的t的值可以为（）．A．29B．30C．31D．329．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则直线AC与BD所成角的余弦值为（）．A．B．C．D．10．已知函数，的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（）．A．的图象关于直线对称B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D．的图象关于点对称11．将10个不同的数字分成4组，第1组1个数，第2组2个数，第3组3个数，第4组4个数，记是第i组中最大的数，则的概率为（）．A．B．C．D．12．若过点可以作曲线的三条切线，则（）．A．B． C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中的系数为______（用数字作答）．14．曲线的一个对称中心为______（答案不唯一）．15．已知双曲线的右焦点为F，P为C右支上一点，与x轴切于点F，与y轴交于A，B两点，若为直角三角形，则C的离心率为______．16．玩具厂家设计一款儿童益智玩具，玩具主体是由一矩形托盘和放置在托盘中的L形木块构成．L形木块的水平截面如图1所示，矩形托盘中间有一隔断，隔断的宽为a，隔断上有一开口，开口的长为b，水平截面如图2所示．若木块可以按照图2所示的方式紧贴托盘底部旋转穿过隔断，则的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）中，．（1）求A；（2）若，的面积为，求．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面ABCD，，，，E为棱CP上一点． （1）证明：平面平面ADP；（2）若，求平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值．19．（本小题满分12分）检测新型冠状病毒特异序列的方法最常见的是荧光定量PCR（聚合酶链式反应）．在PCR反应体系中，如反应体系存在靶序列，PCR反应时探针与模板结合，DNA聚合酶沿模板利用酶的外切酶活性将探针酶切降解，报告基团与淬灭基团分离，发出荧光．荧光定量PCR仪是病毒检测过程中的核心设备，能够监测出荧光到达预先设定阈值的循环数（Ct值）与病毒核酸浓度有关，病毒核酸浓度越高，Ct值越小．某第三方核酸检测机构先后采用过甲、乙两家公司的荧光定量PCR仪，日核酸检测量分别为600管和1000管，现两家公司分别推出升级方案，受各种因素影响，升级后核酸检测量变化情况与相应概率p如下表所示：甲公司：日核酸检测量增加200％增加50％降低10％p乙公司：日核酸检测量增加80％增加50％增加10％p（1）求至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％的概率；（2）以日核酸检测量为依据，该检测机构应选哪家公司的仪器？20．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，，．（1）求C的方程；（2）设M，N是C上在x轴两侧的两点，直线AM与BN交于点P，若P的横坐标为4，求的周长．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论的零点个数；（2）若，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．（1）写出C的直角坐标方程；（2）l与C交于A，B两点，与x轴交于点P，若，求m．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a，b都是正数，且，证明：（1）；（2）．2022-2023学年高三年级TOP二十名校九月摸底考试高三理科数学参考答案1．【答案】B【解析】，，则．故选B．2．【答案】A【解析】设，则，，，故选A．3．【答案】B【解析】由可得，则，又，则，与的夹角为．故选B．4．【答案】B【解析】设为第n行中正方形的个数，为第n行中三角形的个数，由于每个正方形产生 下一行的1个三角形和1个正方形，每个三角形产生下一行的1个正方形，则有，，整理得，且，，则，，，，，，．故选B．5．【答案】D【解析】由抛物线的定义可知，为等边三角形，设准线l与x轴交于点H，则，易得．故选D．6．【答案】B【解析】设等比数列的首项为，公比为q，由题意可得，即，整理得，解得或（舍去），，所以．故选B．7．【答案】D【解析】如图，因为，而与平面相交，则A选项不正确；因为，，所以平面平面， 而平面与平面相交，则B选项不正确；在矩形中，与不垂直，即与平面不垂直，则C选项不正确；设的中点为G，因为，所以，又因为，，所以，所以平面，所以平面平面，则D选项正确．故选D．8．【答案】B【解析】程序运行如下：，；，；，；，；…，此程序的a值3个一循环．若输出的a的值为，则输入的t的值为．故选B．9．【答案】C【解析】如图，作正四棱柱，使棱柱的顶点分别在圆柱的上、下底面圆上，．由题意可知，，，．由可知，即为直线AC与BD所成的角，．故选C．10．【答案】A【解析】因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于点对称，则的图象关于直线对称． 因为为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称．故选A．11．【答案】A【解析】最大的数在第4组的概率，在前3组中，最大的数在第3组的概率，在前2组中，最大的数在第2组的概率，的概率．故选A．12．【答案】D【解析】，设切点为，则，整理得，由题意知关于的方程有三个不同的解．设，，由得或，又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减．当x趋向于负无穷时，趋向于正无穷，当x趋向于正无穷时，趋向于零，且，，函数的大致图象如图所示． 因为的图象与直线有三个交点，所以，即．故选D．13．【答案】【解析】的展开式中含的项为，则的展开式中的系数为．14．【答案】（答案不唯一）【解析】，令或，则或，令，则．故可填（答案不唯一）．15．【答案】【解析】不妨设点P在x轴的上方，因为轴，将P点的横坐标代入，得．由题意可知，且，则有，即， 则，即，则．16．【答案】【解析】解法1：如图，作于F，于G，延长CD交AB于E，设，点A到直线CD的距离为h．由题意可知，，，则．当时，h取最大值．若木块可以旋转穿过隔断，则有，即，故的最小值为．解法2：如图，设CD的中点为I，点A到直线CD的距离为h，由题意可知，由，可知．则有，当时，两个等号同时成立，此时h取最大值．若木块可以旋转穿过隔断，则有，即，故的最小值为．17．【答案】见解析【解析】（1）由， 可得，整理得．则，即，故．由，故，又，所以．（2）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为，所以的面积，所以．因为，由余弦定理，得，所以．18．【答案】见解析【解析】（1）由题意可知，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以平面ADP，又平面ABE，所以平面平面ADP．（2）由题意可知为等边三角形，且．连接AC，作于F，连接BF，则有，且平面ABCD，因为，所以，所以，故E为CP的中点．以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．设平面ABE的一个法向量，，，则，即，可取．设平面CDP的一个法向量，，，则，即，可取．则，即所求角的正弦．平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值为．19．【答案】见解析【解析】（1）记事件A为“甲公司的方案使日核酸检测量增加不低于50％”，事件B为“乙公司的方案使日核酸检测量增加不低于50％”，事件C为“至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％”则，且A，B相互独立．由题意可知，．， 故至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％的概率为．（2）设采用甲公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为X，采用乙公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为Y，随机变量X的分布列为：X1800900540p则．随机变量Y的分布列为：Y180015001100p则．故，应该选择乙公司的仪器．20．【答案】见解析【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c，由，，可得，．则，，，所以C的方程为．（2）由C的方程可知，，设，，，则直线AM的方程为，直线BN的方程为，由，得，，所以，则． 所以，同理可得．所以直线MN的方程为，即，故直线MN恒过右焦点．则有的周长，所以的周长为8．21．【答案】见解析【解析】（1）设，∵的定义域为，可知与的零点相同．，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时取得最小值，且，则有且只有1个零点，故有且只有1个零点．（2）方法一：由，得，由，得，设，则，．设，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，当时，因为，所以．所以时，，单调递减，时，，单调递增， 故在上的最小值为，即恒成立，当时，设，则，令，得，由知．当时，，单调递减，∴．故时，，单调递减，而，即时，，故不成立．综上，a的取值范围为．（2）方法二：令，．则时，递减；时，递增．∴．则对于恒成立．令．则，．1．若，即时，恒成立，单调递增．∴符合题意．2．若，即时，令，则．则时，递减，舍去．综上所述．22．【答案】见解析．【解析】（1）由，整理得，即，又，所以曲线C的直角坐标方程为．（2）由l的参数方程可知，直线l过点，倾斜角为． 把代入，整理得．设点A，B所对应的参数分别为，，由题意可知，，且，①．②因为，则有，③①③联立，得，，代入②，解得．23．【答案】见解析【解析】（1）由，两边平方整理得，因为，当“”时等号成立．所以，所以．当“”时，等号成立．（2）．由，得，当“”时等号成立．则，故，所以，所以．当“”时，等号成立．