河南省新乡市九师联盟2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

高一数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第五章第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角终边相同的角是（）A.B.C.D.2.已知集合，则（）A.B.C.D.3.已知函数则（）A.B.C.D.4.函数的零点所在区间为（）A.B.C.D.5.“”的一个必要条件是（）A.B.C.D.6.设，则（）A.B.C.D. 7.已知，点都在二次函数的图象上，则（）A.B.C.D.8.若函数有个零点，则实数的取值范围是（）AB.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角和的终边关于x轴对称，则（）A.B.CD.10.下列说法正确的是（）A.若，则有最小值2B.若，则有最大值2C.若，则D.若，则11.关于幂函数，下列结论正确的是（）A.的图象经过原点B.为偶函数C.值域为D.在区间上单调递增12.设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数则称为的“界函数”.若函数，则（）A.B.的最小值为 C.在上单调递减D.为偶函数三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某扇形所在圆的半径为3，扇形的面积为，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.14.已知集合，若，则实数的取值范围是__________.15.函数的单调递增区间为__________.16.已知函数与函数的图象交于三点，则此三点中最远的两点间的距离为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知角的终边经过点．（1）求，的值；（2）求的值．18.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知均为正数，且，求证：；（2）已知，求证：19已知函数．（1）求证：函数是定义域为的奇函数；（2）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明．20.已知（a，b均为常数），且．（1）求函数的解析式；（2）若对，不等式成立，求实数m的取值范围．21.已知函数和的图象关于原点对称，且.（1）求函数的解析式；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 22.两县城和相距，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为对城与对城的影响度之和.记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为9.（1）若垃圾处理厂建在圆弧的中点处，求垃圾处理厂对城和城的总影响度；（2）求垃圾处理厂对城和城的总影响度的最小值. 高一数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第五章第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角终边相同的角是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将改写为，根据终边相同角的定义即可求解.【详解】因，所以角与角终边相同.故选：C2.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的补集与交集的概念计算即可.详解】由题意可得，，∴，∴．故选：C．3.已知函数则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入计算可得.【详解】由题意可得．故选：A4.函数的零点所在区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别验证每个区间端点值的正负符号，由零点存在定理可判断出结果.【详解】易知函数在其定义域上连续不断，且，则函数的零点在区间上．故选：B．5.“”的一个必要条件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用对数函数单调性求得“”的充要条件，然后把必要条件转化为真子集关系，逐项判断即可.【详解】由得，要成为“”的必要条件，则是其对应的集合的真子集，而均不满足题意，因为是的真子集，所以“”的一个必要条件是“”.故选：C 6.设，则（）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与“0，1”比较即可.【详解】，．故选：A．7.已知，点都在二次函数的图象上，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用二次函数的对称性和单调性求解即可.【详解】二次函数，其图象的对称轴方程为，而，所以，即，当时，是单调增函数，因为，所以，所以，即，综上，．故选：D．8.若函数有个零点，则实数的取值范围是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，函数在上有一个零点，在上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点，当时，函数至多两个零点，因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点，当时，令，可得，必有，解得，所以，，解得；当时，由，可得或，所以，，解得.综上所述，实数的取值范围为.故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角和的终边关于x轴对称，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，然后根据诱导公式逐项判断即可.【详解】因为角和的终边关于x轴对称，可得. 对于A，由，A正确；对于B，由，B错误；对于C，由，C正确；对于D，由，D错误.故选：AC10.下列说法正确的是（）A.若，则有最小值2B.若，则有最大值2C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式和不等式的性质判断．【详解】，则，当且仅当时等号成立，A正确；，．，当且仅当，即时等号成立，因此的最大值是，B错；由不等式的性质知C正确，因为，所以，所以，即，D正确，故选：ACD．11.关于幂函数，下列结论正确的是（）A.的图象经过原点B.为偶函数C.的值域为D.在区间上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】由题意，得，利用幂函数的性质判断各选项即可.【详解】由题意，，所以，即对于A，的定义域为，故的图象不经过原点，A错误；对于B，因为的定义域为，，故为偶函数，B正确；对于C，由于，故值域为，C正确；对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误．故选：BC．12.设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数则称为的“界函数”.若函数，则（）A.B.的最小值为C.在上单调递减D.为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】根据题意得出的解析式，即可判断ABC；求得的解析式，作出函数的图象，由图象判断D．【详解】根据题意，由，解得，，所以，故A正确；当时，，且在上单调递增，在上单调递减， ，所以，即的值域为，故B正确，C错误；因为，则的图象如图所示，由图可知的图象关轴对称，所以函数为偶函数，故D正确．故选：ABD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某扇形所在圆的半径为3，扇形的面积为，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】【解析】【分析】先根据扇形面积求得弧长，再利用弧长公式求得圆心角.【详解】由扇形面积，得，解得，所以该扇形的圆心角（正角）.故选：14.已知集合，若，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由命题的真假得出，从而易得其范围．【详解】，，因为，所以，所以的范围是，故答案为：． 15.函数的单调递增区间为__________.【答案】【解析】【分析】利用分离常数法，得，结合的范围可得答案.【详解】，由，得，当时，单调递减，单调递增；当时，单调递减，单调递增，所以的单调增区间为．故答案为：．16.已知函数与函数的图象交于三点，则此三点中最远的两点间的距离为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，三个交点中一个必是点，另外两个点关于点对称．不妨记，设，由求得，所以此三点中最远的两点间的距离为．【详解】不妨记，函数与是奇函数且关于坐标原点对称，易知两个函数的图象均以点为对称中心，所以三个交点中一个必是点，另外两个点关于点对称．不妨记，设，所以，即，解得，， 则，所以此三点中最远的两点间的距离为．故答案为：．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知角的终边经过点．（1）求，的值；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数定义即可得；（2）结合诱导公式即可得.【小问1详解】由，故角的终边经过点，所以，；【小问2详解】. 18.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知均为正数，且，求证：；（2）已知，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用1的妙用，结合基本不等式证明即可；（2）利用作差法证明即可.【小问1详解】证明：因为，所以，又因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以．【小问2详解】证明：，因为，所以，所以，所以，即．19.已知函数．（1）求证：函数是定义域为的奇函数；（2）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）证明见解析（2）函数在上单调递增，证明见解析 【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数为奇函数；（2）利用定义法证明函数的单调性.【小问1详解】函数定义域为，对于，都有，且，所以函数是定义域为的奇函数．【小问2详解】函数在上单调递增，证明如下：对于，且，，因为，所以，则，则，故函数在上单调递增.20.已知（a，b均为常数），且．（1）求函数的解析式；（2）若对，不等式成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由，代入函数解析式求出，得函数的解析式；（2）不等式等价于，利用函数在定义区间内的值域，求实数m的取值范围．【小问1详解】由，得，即，由， 可得解得所以【小问2详解】由，可得，所以对，都有成立．由于，所以在上单调递减，且，因此当时，，要使，则，且，解得．故实数m的取值范围为．21.已知函数和的图象关于原点对称，且.（1）求函数的解析式；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设点是图象上任意一点，则关于原点的对称点在函数的图象上，即可求解；（2），分为，与三种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】设点是图象上任意一点，则关于原点的对称点在函数的图象上，所以，即，所以． 【小问2详解】，①当时，在上单调递减，满足题意；②当时，要使在上单调递减，由二次函数的性质可得，解得，所以；③当时，要使在上单调递减，由二次函数的性质可得，解得，所以．综上，实数的取值范围是．22.两县城和相距，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为对城与对城的影响度之和.记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为9.（1）若垃圾处理厂建在圆弧的中点处，求垃圾处理厂对城和城的总影响度；（2）求垃圾处理厂对城和城的总影响度的最小值.【答案】（1）0.065（2）0.0625【解析】【分析】（1）由题意得，由可得，从而得总影响度的解析式，即可求解；（2）可得，令，所以，利用基本不等式求解即可得出答案.【小问1详解】点在以为直径的半圆上，所以， 由，可得，由题意可得，因为垃圾处理厂建在弧的中点处，所以，故所求总影响度0.065．【小问2详解】由（1）知，令，则，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，取得最小值，此时，故垃圾处理厂对城和城的总影响度的最小值为0.0625．