浙江省浙东北联盟（ZDB）2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

浙东北联盟（ZDB）2023/2024学年第一学期期中考试高一数学试卷总分150分考试时间120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再求两集合的并集.【详解】由，得，所以，因，所以，故选：B2.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，，则【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，若且，则，该选项错误；对于B选项，取，，，，则，均满足，但，B选项错误；对于C选项，取，，则满足，但，C选项错误；对于D选项，由不等式的性质可知该选项正确，故选D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用不等式的性质以及举反例的方法来进行验证，考查推理能力，属于基础题.3.函数的图象大致为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断出的奇偶性，结合幂函数的图象得到答案.【详解】的定义域为R，又，故为偶函数，当时，，结合幂函数的图象可知，C正确.故选：C4.已知的解集为，则的值为（）A.B.C.1D.2【答案】A【解析】【分析】由题意可得方程的两个根分别为和，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果.【详解】因为解集为，所以方程的两个根分别为和，所以，所以，故选：A5.函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，.则的值为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】根据题中定义求出、的值，即可求得的值.【分析】因为，则，，所以，.故选：B.6.命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】根据全称量词命题为真命题求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出合适的选项.【分析】若命题“，”是真命题，则，因为Ü，，Ý，故命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是.故选：A.7.已知，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【分析】因为，，且， 所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：D.8.已知函数定义域为，满足，当时，总有，则的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】在等式中，分别令、可得出、的关系式，再由，可得出，即可得出关于、的方程组，即可解得的值.【详解】在等式中，令可得，令可得，当时，总有，则，所以，，解得，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数求值，对自变量赋值是解题的关键，要注意所求函数值对应的自 变量与所赋的自变量值之间的关系.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下说法中正确的有（）A.若定义在上的函数满足，则函数是偶函数B.若定义在上的函数满足，则函数在上不是增函数C.不等式的解集为D.函数与是同一函数【答案】BC【解析】【分析】对于A，举例判断，对于B，由函数单调性的定义判断，对于C，通过解不等式判断，对于D，根据两函数为相等函数的判断方法分析判断.【详解】对于A，，则，而不是偶函数，所以A错误，对于B，因为在上的函数满足，所以在上不是增函数，所以B正确，对于C，由，得，所以不等式的解集为，所以C正确，对于D，因为的定义域为，的定义域为，所以与不是同一个函数，所以D错误，故选：BC10.若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（）A.B.1C.D.2【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解.【详解】由，对称轴为，当时，函数取得最小值为， 或2时，函数值为，因为函数的定义域为，值域为，所以，实数t的可能取值为，，2.故选：BCD.11.已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】设，则由，可得，然后列方程组可求出，从而可求得答案.【详解】由题意设，因为，所以，即，所以，解得或，所以或，故选：AB12.已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的值可能是（）A.B.C.D. 【答案】BC【解析】【分析】画出的图象，令，则结合函数图象可得关于的方程在上有两个不同实根，从而可求出的范围.【详解】的图象如图所示，令，则可化为，因为方程恰有6个不相等的实数根，所以由图可知关于的方程在上有两个不同实根，令，则，即，解得，所以AD不符合题意，BC符合题意，故选：BC【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查数形结合的思想，解题的关键是正确画出的图象，结合图象求解，考查数学转化思想，属于较难题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，，那么、的大小关系是__________.【答案】## 【解析】【详解】利用作差法可得出、的大小关系.【分析】因为，，则，故.故答案为：.14.已知，函数，且，则______．【答案】1【解析】【分析】根据解析式直接计算即可得出.【详解】因为，所以，则，解得.故答案为：1.15.定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【详解】分析可知，函数在上为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【分析】因为定义在上的奇函数在上是减函数，则函数在上也为减函数，所以，函数在上为减函数，由可得， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为：.16.关于的不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】分析可知，求出两个不等式的解集，将这两个解集取交集，可知交集中只含唯一的整数，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】解不等式，可得或，由得，因为关于的不等式组的整数解的集合为，则，可得，所以，不等式的解集为，关于的不等式组的整数解的集合为，所以，或中只含唯一的整数，不含整数，如下图所示：则. 故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，从而可求出实数的取值范围；（2）由，得，求出集合，然后根据两集合的包含关系列不等式组可求得答案.【小问1详解】因为，所以，解得，即实数的取值范围为；【小问2详解】由，得，所以，因为，所以，因为，所以，解得，即实数的取值范围为.18.已知幂函数的图像关于轴对称.（1）求实数的值；（2）设函数，求的定义域和单调递增区间. 【答案】（1）（2）定义域为，增区间为.【解析】【分析】（1）由题知，进而解方程并根据图像关于y轴对称求解即可；（2）由（1）可得，求出定义域结合单调性定义可得解.【小问1详解】由题，解得或，又因为的图像关于轴对称，所以为偶函数，则为偶数，从而；【小问2详解】由（1）得，，由，解得或，所以函数的定义域为，任取，且，，，，且，所以当时，有，即成立，所以函数在上单调递增，当时，有，即成立，所以函数在上单调递减，故函数的增区间为.19.已知函数是定义在的奇函数，当时，（1）求函数在上的解析式； （2）求证：函数在上单调递减.【答案】（1）（）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数结合已知的解析式可求得结果；（2）根据函数单调性定义证明即可.【小问1详解】设，则，因为当时，，所以，因为函数是定义在的奇函数，所以，所以，得（）；【小问2详解】证明：任取，且，则，因为，且，所以，，，所以，所以，即，所以函数在上单调递减.20.年六月，嘉兴市第十届运动会胜利召开，前期需要改造翻新某体育场的所有座椅. 要求座椅的使用年限为年，已知每千套座椅成本是万元.按照采购合同约定，座椅供应商还负责座椅使用过程中的管理与维修，并收取管理费和维修费.按照促销的原则，每年的管理费用万元与总座椅数千套按照关系式收取.而年的总维修费用为万元，记为年的总费用.（总费用成本费用使用管理费用总维修费用）.（1）求总费用关于总座椅数的函数关系式；（2）当设置多少套座椅时，这年的总费用最小，并求出最小值.【答案】（1）（2）当设置千套桌椅时，这年的总费用最小，且最小值为万元【解析】【分析】（1）求出建造成本费以及使用管理费，结合题意可得出总费用关于总座椅数的函数关系式；（2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.【小问1详解】解：由题意可得，建造成本费用为万元，使用管理费用为万元，所以，.【小问2详解】解：因为，则，万元，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，当设置千套桌椅时，这年的总费用最小，且最小值为万元.21.已知函数，.（1）若集合为单元素集，求实数的值；（2）在（1）的条件下，对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）分析可知，关于的方程有两个相等的实根，可得出，即可解得实数的值；（2）分析可知，存在，使得，求出函数在上的最小值，结合参变量分离法可得出，然后利用单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：由题意可知，集合为单元素集，且，由，其中，整理可得，所以，关于的方程有两个相等的实根，所以，，解得，合乎题意，故.【小问2详解】解：当时，，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，当时，，对任意，总存在，使成立，则存在，使得，则，可得，所以，，令，其中，因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数，当时，，故， 因此，实数的取值范围是.22.已知函数，其中.（1）当时，画出函数在上的图象；（2）若函数在上的最大值为，求实数的值.【答案】（1）见解析；（2）或.【解析】【分析】（1）先化简函数解析式，然后画出函数图象；（2）先化简函数解析式，然后分，和三种情况讨论即可.【小问1详解】当时，，函数在上的图象如图所示小问2详解】 ，则在和上单调递增，在上单调递减，①当，即时，在上单调递增，所以，解得，不合题意，舍去，②当，即时，在上递增，在上递减，所以，解得，③当时，在和上单调递增，在上单调递减，所以，所以当时，得，或当时，解得，综上，或.