浙江省浙东北联盟(ZDB)2022-2023学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

浙东北联盟（ZDB）2022—2023学年第一学期期中考试高一数学试卷命题学校：嘉善高级中学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】应用集合的交运算求集合即可.【详解】由.故选：B2.命题：“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定判断即可.【详解】命题：“，”的否定是“，”.故选：C.3.下列函数中与函数表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据同一函数的标准，定义域相同，对应法则一致，来逐项进行判断.【详解】对于A，，与题干中函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误；对于B，，定义域为，与题干中函数的对应法则不一样，不是同一函数，故B错误；对于C，，与题干中函数的定义域，对应法则均一样，故C正确；对于D，，，与题干中函数的定义域，对应法则均不一样，故D错误.故选：C.4.不等式的解集为（）A.或B.或C.D.【答案】A【解析】【分析】将分式不等式转化为求解集即可.【详解】由，可得或，所以不等式解集为或.故选：A5.若函数是幂函数，且，则（）A.B.C.4D.8【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数解析式，再代入即可.【详解】设，（其中a为常数），，则，解得，所以，所以， 故选：A.6.函数的值域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令，转化为二次函数的值域问题求解.【详解】设，则因为，所以，即，所以函数的值域为，故选：D.7.已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析】函数为上增函数，，反之不成立，即可判断出结论．【详解】函数为上增函数，，反之不成立，例如定义在,上，，且在上满足，则有“”，“”是“函数为增函数”的必要不充分条件．故选：B．8.已知，均为定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，，则（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性构造方程组，解出即可.【详解】令，，则，又因为是奇函数，是偶函数，令替换有，即，即，整理得，联立，解得，，所以所以，故选：A.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题列出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.已知集合，则下列表述正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据元素与集合的关系与集合与集合的关系判断即可.【详解】集合所以，， 故选：AC.10.下列函数的图象关于原点对称的有（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据函数奇偶性的判断方法即可得到答案.【详解】对A，因为，定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数，则其图象关于原点对称，故A正确；对B，因为，定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，则其图象关于原点对称，故B正确；对C，因为，定义域关于原点对称，当时，，当时，，则为奇函数，则的图象关于原点对称，故C正确；对D，函数定义域为，不关于原点对称，故D错误.故选：ABC.11.已知，则下列成立是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】对A，利用作差法比较大小即可判断；对B，利用不等式性质可判断；对C，D利用基本不等式 可判断.【详解】对于A，，，，但是的正负不确定，即与的大小不确定，故A错误；对于B，，，，即得，所以，故B正确；对于C，，当且仅当，即时等号成立，，，故C正确；对于D，，，当且仅当，即时等号成立，且，，故D正确.故选：BCD.12.已知函数，则下列判断正确的是（）A.对任意实数，方程有唯一解B.对任意实数，方程有唯一解C.存在实数，方程有3个不同的解D.存在实数，方程有3个不同的解【答案】AC【解析】【分析】直接代入计算即可判断AB，根据嵌套函数的性质即可判断CD.【详解】令，即，所以，所以对任意实数，有唯一解，故A正确；令，即， ，当时，方程有无数解，故B错误；对C，因为，所以或，由，即，解得；由，即，解得；所以有四个根为，当时，此时的根分别为，故C正确；对D，令，，化简得，则必有两根或，要使有3个不同的解，分两种情况讨论：当，即时，需要有两个不同的根，此时为，显然无解，不满足题意；当，即时，只需，即有不同于或的一根即可；此时，解得或，当时，由，得，解得，不满足题意；当时，由，得，解得，此时，也不满足题意；综上，不可能有3个不同的解，故D错误.故选：AC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题有4小题，每空5分，共20分）13.函数的定义域为_____________. 【答案】【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数有意义，只需解得：且，从而的定义域为.故答案为：14.已知函数，则__________．【答案】6【解析】【分析】直接代入计算即可.【详解】，故答案为：6.15.集合，则__________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式解的情况的得到方程组，解出即可.【详解】由题意得，解得，所以，故答案为：.16.若正数，满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】 【分析】先得到，，进而得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】因为正数，满足，所以，且，则，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：.四、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合为全体实数集，集合或，．（1）若，求和；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）或，.（2）【解析】【分析】（1）利用补集及并集的定义运算即得；（2）分，讨论，根据条件列出不等式，解之即得.【小问1详解】当时，，所以或，又或，所以；【小问2详解】 由题可得，当时，则，即时，此时满足，②当时，则，所以，综上，实数的取值范围为.18.已知函数，．（1）解方程，并在图中画出函数，的图象；（2）定义：对，表示与中的较大者，记为，根据图象，写出函数的解析式及其最小值．【答案】（1）或，图象见解析（2），.【解析】【分析】（1）令，解出，再作出图象即可；（2）根据图象直接写出解析式，再求出最小值即可【小问1详解】令，两边同平方得，解得或，作出图象如下图所示： 【小问2详解】当时，，此时单调递减，此时；当时，，此时单调递增，此时；当时，，此时单调递增，，综上：，.19.已知实数，均为正实数．（1）若，求的最小值；（2）若，求的最小值．【答案】（1）9（2）25【解析】【分析】（1）利用乘“1”法即可；（2）利用基本不等式构造关于的一元二次不等式即可.【小问1详解】因为实数，均为正实数，所以，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为9.【小问2详解】由题意得，解得或（舍去），则，当且仅当时等号成立.则的最小值为25.20.已知幂函数为偶函数．（1）求幂函数的解析式，判断在上的单调性，并用定义证明；（2）解不等式．【答案】20.，在上单调递增，证明见解析；21.【解析】【分析】（1）根据幂函数定义解出，再根据偶函数的性质验证即可；（2）根据函数单调性和奇偶性列出不等式组解出即可.【小问1详解】由题意得，解得或，当时，，显然不是偶函数，当时，，定义域为，关于原点对称，且，所以偶函数.在上单调递增，证明：任取，且，则，因为，所以，，所以，即， 所以在上单调递增.【小问2详解】因为为偶函数且在上单调递增，所以在单调递减，所以，即，解得，又因为，解得，且，综上不等式得解集为.21.近年来我国的新能源汽车产业发展迅速，各大汽车企业纷纷布局新能源赛道．已知某汽车企业研发了，两款新能源汽车，款汽车的生产成本（亿元）与生产数量（万辆）之间的函数关系近似为，款汽车的生产成本（亿元）与生产数量（万辆）之间的函数关系近似为，款汽车的售价为15万元每辆，款汽车的售价为12万元每辆．（1）若当，两款汽车的产量都为60万辆时，有，求的值；（2）若，该汽车企业的年产能为80万辆，并且当年生产的汽车能全部售完，如何分配，两款汽车的产量，能使利润最大？最大利润是多少？（利润销售额生产成本）【答案】（1）（2）款汽车产量为（万辆），款汽车产量为（万辆）时利润最大，最大利润为600万元.【解析】【分析】（1）根据题意得到方程，解出即可.（2）分段列出利润表达式并求出最值进行比较即可,【小问1详解】由题意得，解得.【小问2详解】设款汽车产量为（万辆），则款汽车产量为（万辆），总利润为万元，当时，（万元） 当时，（万元），当且仅当，即时等号成立，显然，此时（万辆），则安排款汽车产量为（万辆），款汽车产量为（万辆）时利润最大，最大利润为600万元.22.已知函数．（）（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；（2）若函数在上的最小值为，最大值为，求和的值．【答案】（1）（2）当时，；当时，.【解析】【分析】（1）利用数形结合，得出，列不等式组解出即可；（2）利用二次函数轴与区间的关系，分四类进行讨论即可.【小问1详解】函数的对称轴是，其图象与x轴的交点坐标是（0,0）和，则函数的图象如图所示. 所以函数的单调递减区间是和.因为函数在上单调递减，所以，所以，解得，即的取值范围为.【小问2详解】若函数在上的最小值为，最大值为.当时，函数在上单调递减，则，，且，解得解出；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.，，且，解得，无解；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，，，，解得，无解；当时，函数在上单调递增，则，，且， 解得，解出；综上，当时，；当时，.