安徽省示范高中培优联盟2023-2024学年高一上学期冬季联赛数学试题（Word版附解析）

安徽省示范高中培优联盟2023年冬季联赛（高一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根据交集定义即可得解.【详解】由，解得或，则，，所以.故选：A.2.若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】变形为在上有解，利用基本不等式求出最小值，从而得到，得到答案.【详解】由题意得在上有解，即在上有解，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，故实数的取值范围为.故选：C.3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定的函数关系，结合抽象函数定义域，列出不等式组求解即得.【详解】由函数的定义域为，得，因此函数中，，解得或，所以函数的定义域为.故选：D4.若，：关于的方程有两个不相等的实数根，则是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到或，进而判断出答案.【详解】由，解得或，由于或，但或，故是成立的充分不必要条件.故选：A.5.已知定义域为的函数和，函数图象关于原点对称，函数满足，若，则与的大小关系为（）A.B.C.D.不确定【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用方程组的思想求出函数的解析式即可得解.【详解】由函数图象关于原点对称，得，又，，则，即，解得，，因此，，所以.故选：A6.已知，，，，则（）A.2B.5C.10D.20【答案】D【解析】【分析】利用换底公式转化，再利用基本不等式与已知条件结合，得出结果. 【详解】∵，∴，即，由基本不等式可知，又因为，所以，即满足基本不等式取等条件，即，故选：D.7.已知函数定义域为，若对于，当时，都有成立，则称函数是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是（）A.B.C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据题意可对化简后得，然后构造函数从而可求解.举例说明A不成立.【详解】对于B：，定义域为，根据题意，，当时，都有，化简得，即，设，即，得在其定义域上为单调递减函数，此时在上是单调递减函数，故B项符合；对于C：，，定义域为，由上可知得在其定义域上为单调递减函数，但此时在上单调递增，故C项不符合； 对于D：，，定义域为，由上可知得在其定义域上为单调递减函数，但此时在上单调递增，故D项不符合；对于A：当且时，恒成立，不符合“共建”函数定义，即A项不符合；故选：B.8.函数的最小值是（）AB.3C.D.【答案】D【解析】【分析】设，函数变形后利用基本不等式求出，结合对勾函数性质得到答案.【详解】设，则，，因为，由对勾函数性质可知在上单调递增，所以.故选：D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若实数，满足，则下列说法中正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，由同向可加性得到结果；CD选项，由不等式性质得到.【详解】A选项，当时，，故A错误；B选项，因为，根据同向可加性可知，故B正确；CD选项，因为，所以，，则，故C错误，D正确.故选：BD.10.若点在幂函数的图象上，则以下关于函数的说法中正确的是（）A.的定义域是B.的值域是C.是增函数D.【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，结合幂函数定义求出，进而求出的解析式，再逐项求解判断即可.【详解】由为幂函数，得，解得，由点在的图象上，得，解得，于是，由，解得，的定义域是，A错误；函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数是增函数，C正确；当时，，即，的值域为，B正确；由，得，即，D正确.故选：BCD11.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是（）A.B.C.D. 【答案】ABD【解析】【分析】先得到四个选项中函数的零点，再根据零点存在性定理得到的零点所在区间，从而得到答案.【详解】A选项，在R上单调递增，令，解得，B选项，因在R上单调递增，所以在R上单调递增，令，解得，C选项，因为在R上单调递增，在R上单调递减，故在R上单调递增，又，故零点为0，D选项，由于在上单调递增，且单调递增，令，解得，由同增异减可知，在上单调递增，又，故零点为1，在上单调递增，又，，，由零点存在性定理可得的零点所在区间为，因为，，所以ABD选项满足要求，C选项不满足要求，故选：ABD.12.定义在上的函数，当时，，当时，，若关于函数在定义域内有四个零点，则实数的取值可以是（） A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】画出的图象，设，故函数有两个不同零点和，不妨设，根据韦达定理和函数图象可得，结合对勾函数单调性得到，得到答案.【详解】画出的图象，如下：令，则，由题意原函数有4个零点，结合函数图象，可知函数有两个不同零点和，不妨设，且，，分析函数的图象可知，，由对勾函数性质可知，在上单调递增，则，解得.故选：AB第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数，则的值域为________.【答案】 【解析】【分析】换元后，转化二次函数问题，求出值域.【详解】令，则，，，当时，取的最小值，最小值为，则的值域为.故答案为：14.已知函数的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组的值________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，可得函数的图象过原点求出，再按分类讨论即得.【详解】函数的定义域为，当，即时，的图象必过第四象限，矛盾，因此，由函数的图象不经过第二、四象限，得点只能在原点，则，即，当时，若，则有，的图象必过第四象限，矛盾，当时，若，则，此时的图象在第三象限，若，则，此时的图象在第一象限，所以且，满足条件的一组的值可以为.故答案为：15.设点，，点是函数图象上一点，则面积的最小值为________. 【答案】【解析】【分析】设，表达出，利用基本不等式求出最小值.【详解】如图所示，设，，因为，所以，当且仅当时取等号，此时面积的最小值为.故答案为：16.若函数对于都有，则________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出函数图象的对称中心，再求出函数的所有零点，求出解析式即可得解.【详解】由对于都有，得函数图象的对称中心为，显然，则，于是，因此，所以.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表月份1月2月3月小型汽车数量（辆）306080创造的收益（元）480060004800（1）根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式；（2）利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？【答案】17.选取②，18.且【解析】【分析】（1）根据表格中数据的单调性选取②，根据对称性得到对称轴，设函数顶点式，代入坐标，求出解析式；（2）在（1）基础上，得到，求出不等式，因为只能取整数值，所以得到且.【小问1详解】选取②，由题表可知，随着的增大，的值先增大后减小，而函数及均为单调函数，故不符合题意，所以选取②，将，，三点分别代入函数解析式，可得二次函数对称轴为，故可将函数解析式设为，即得到，解出， ∴，∴，，；【小问2详解】设在一周内大约应生产辆小型汽车，根据题意，可得，即，即，因为，所以方程有两个实数根，，由二次函数的图象可知不等式的解为.因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量且之间时，这家工厂能够获得6020元以上的收益.18.（1）已知，求证；（2）利用（1）的结论，证明：（且）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）作差法比较出大小；（2）在（1）的基础上，得到，利用放缩法证明出，得到答案.【详解】（1）证明：因为，所以，于是.（2）即证（且），由（1）式可知，， 故（且），（且），即（且），原式得证.19.我们知道存储温度（单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间（单位：），温度越高，保鲜时间越短.已知与之间的函数关系式为（为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为，在25℃的保鲜时间为.（参考数据：）（1）求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；（2）若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，那么对存储温度有怎样的要求？【答案】19.254小时；20.存储温度要不高于15℃.【解析】【分析】（1）把给定的数对代入函数关系，求出，并确定，再求出即得.（2）利用（1）中信息，建立不等式，再借助指数函数单调性解不等式即得.【小问1详解】依题意，把，分别代入，得，于是，则，，当时，，此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间为254小时.【小问2详解】 依题意，，由（1）知，显然，于是，则，因此，而，则有，所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，存储温度要不高于15℃.20.定义在上的函数，满足，对于任意的都有成立，并且，使得.（1）判断函数的单调性，并证明；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）函数单调递减，证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义结合条件计算即可证明；（2）由条件转化不等式为，利用（1）的结论去函数符号，分离参数计算范围即可.【小问1详解】函数单调递减.，证明如下：由得，，设，则当时，，因为，所以，则，故，所以函数单调递减.【小问2详解】 不等式可等价变形为，因为，所以，则不等式可变为，由（1）知，函数在定义域内单调递减，故，恒成立，则，解得，因此实数的取值范围是.21.已知函数（1）请在网格纸中画出的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数在定义域内的，若满足，则称为函数的一阶不动点，简称不动点；若满足，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点.①求函数的不动点；②求函数的稳定点.【答案】（1）作图见解析，单增区间为，，的单减区间为 （2）①；②，和1.【解析】【分析】（1）根据分段函数解析式，画出相应的函数图像，结合函数图像写出单调区间.（2）结合分段函数解析式，由不动点，稳定点的定义计算分析求解.【小问1详解】的单增区间为，，的单减区间为.【小问2详解】易知①当时，，令得，解得；当时，，令得，解得（舍）综上所述：函数的不动点为.②当时，，且，则令得，，解得或（舍）；当时，，且，则令，得，解得；当时，，且， 则，令，得，解得或（舍）综上所述：函数的稳定点有3个，分别是，和1.22.已知函数，其中.（1）若存在，使得，求的最小值；（2）令，若关于的方程有两个根，求当时，实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用对数函数的性质结合基本不等式计算即可；（2）利用换元法将问题转化为一元二次方程有两个不等根，利用判别式及韦达定理消元转化结合二次函数求范围即可.【小问1详解】由题意可知为单调递增函数，所以当时，，则当时，有，即，解得，则，当且仅当时，取得等号，故的最小值为.【小问2详解】由题意得令，则，，，若，则， 即，即，由和满足方程，即为方程的两根可得：，解得，且，，因为，所以，解得，所以，易求得当时，，满足，故实数的取值范围.【点睛】关键点睛：本题关键在于第二问需要利用换元法将问题转化为一元二次方程有两个不等根，利用判别式及韦达定理消元转化，再利用二次函数的性质计算范围即可.