安徽省皖豫联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023—2024学年大联考安徽高一（上）期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定即可得答案.【详解】命题“”的否定是“”.故选：A.2.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由集合的交集运算可得.【详解】，，所以. 故选：C.3.函数的定义域为（）A.B.C.且D.【答案】C【解析】【分析】根据偶次根式下非负及分母不为零列方程计算即可.【详解】由题意可知的定义域需要满足解得且.故选：C.4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质计算可以判断B选项，赋值法可以判断A,C,D选项.【详解】令A选项错误；，根据不等式的性质可得，所以，B选项正确,C选项错误；,D选项错误.故选：B.5.已知为幂函数，则（）A.在上单调递增B.在上单调递减C.在上单调递增D.在上单调递减【答案】A【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，即可得出解析式，再分析其性质即可得出答案.【详解】是幂函数，，解得或，或.对于，函数在R上单调递增；对于，函数在上单调递减，在上单调递增.故只有A选项“在上单调递增”符合这两个函数的性质.故选：A.6.设，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小关系.【详解】，又.故选：D.7.碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物组织内的碳14质量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体生物组织内碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的质量约为原始质量的0.92倍，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（）A.金（公元年）B.元（公元年）C.明（公元年）D.清（公元1616-1911年） 【答案】B【解析】【分析】设活体生物组织内碳14的质量，由题意建立方程求解即可.【详解】设活体生物组织内碳14的质量，由题意知：，又，，，所以该生物死亡的朝代为元.故选：B.8.已知函数为偶函数，当且时，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据偶函数性质可得，结合单调性可得，分和两种情况，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.【详解】由题意知在上单调递减，且是偶函数，所以在上单调递增，且，因为恒成立，所以，所以恒成立，当时，，符合题意，；当时，可得，又因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即； 综上所述：实数的取值范围为.故选：C.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.B.，都有C.设，则“且”是“”的必要不充分条件D.设，则“”是“”的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要不充分条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，满足，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，由“且”，可以得出“”，故C错误；对于D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确.故选：AD10.十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若且，则 【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式的性质一一判断即可.【详解】对于A：，，故A正确；对于B：，又函数在上单调递增，，故B正确；对于C：由可得，所以，，故C错误；对于D：且，故D正确.故选：ABD11.已知不等式的解集为或，则（）A.B.C.不等式的解集为D.不等式的解集为【答案】BCD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集，先求得的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为不等式的解集为或，则，且关于的方程的两根分别为，由根与系数的关系可得，所以.对于A，，A错误；对于B，不在不等式的解集内，令，则有，B正确；对于C，，该不等式的解集为，C正确；对于D，不等式即为， 化简可得，解得，因此，不等式的解集为，D正确.故选：BCD12.已知定义在上的函数满足，且，当时，，则（）A.B.C.在区间上单调递减，在区间上单调递增D.不等式的解集是【答案】ABD【解析】【分析】对于，令，可得，正确；对于，令，可得，正确；对于，利用函数单调性定义可判断出在上单调递增，错误；对于,利用题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断.【详解】对于，令，得，即，正确；对于，令，得，因，所以，正确；对于，对任意，则，所以，所以在上单调递增，错误；对于，又，所以原不等式等价于， 因为在上单调递增，所以，解得正确.故选：三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，若，则__________.【答案】【解析】【分析】根据集合相等求参再检验即可.【详解】因为，所以，解得或，当时，与集合中元素的互异性矛盾，故不符合题意.经检验可知符合.故答案为：-1.14.已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】分段函数单调递增，在各段区间单调递增，且由区间端点处满足的大小关系列不等式组求解即可.【详解】因为在上单调递增，所以，即，解得 则的取值范围是.故答案为：.15.若为定义在上的偶函数，函数，则__________.【答案】4【解析】【分析】利用奇偶函数性质得，从而得到答案.详解】由题意可得，所以，故，所以.故答案为：4.16.已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的定义简化不等式得出或，再根据已知画出函数草图，即可根据草图得出不等式，解出答案.【详解】为奇函数，，即，则或，，且为奇函数，，函数在上是增函数， 函数在上也为增函数，画出函数单调性示意图如下，结合函数的单调性示意图可得或.解得故答案为：.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指数幂运算法则进行运算即可；（2）把两边平方得，化简表达式，代入即可求值.【详解】（1）因为，所以.（2）由题可知，故，.18.已知函数且的图象过点，.（1）求的值； （2）记在区间上的值域分别为集合，若是的必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）代入点，求出；（2）求出的值域和的值域，根据题目条件得到，得到不等式，求出实数的取值范围.【小问1详解】的图象过点，，解得.【小问2详解】由（1）得，当时，的值域为，即，当时，的值域为，即，是的必要条件，，∴，解得，的取值范围是.19.已知函数.（1）若关于x的方程有两个不等的正实数根，求实数a的取值范围；（2）当时，设的最小值为，求的表达式.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据一元二次函数与方程之间的关系，结合韦达定理即可求解；（2）利用一元二次函数图像，分类讨论给定区间与对称轴之间的关系，求出各种情况下函数的最小值.【小问1详解】方程即，设方程两根为，要使方程有两个不等的正实数根，则解得，即a的取值范围是.【小问2详解】当时，①若，即，则在上单调递减，；②若，即，则在上单调递增，；③若，即，则.综上， 20.一艘运送化工原料的船只在江面上发生故障导致化学品泄漏，发现时已有的水面被污染，且污染面积以每小时的速度扩大，经测算，水面被污染造成的直接经济损失约为每平方米300元.有关部门在发现的同时立即安排清污船清理被污染的水面，该部门需要支付一次性租金为每条清污船1600元，劳务费和耗材费合计为每条清污船每小时200元.若安排条清污船清理水面，假设每条清污船每小时可以清理的水面，需要小时完成污染水面的清理（污染面积减小到）.（1）写出关于的函数表达式；（2）应安排多少条清污船清理水面才能使总损失最小？（总损失水面被污染造成的直接经济损失+清污工作的各项支出）【答案】（1）；（2）安排22条.【解析】【分析】（1）根据给定信息列等式，再变形即得.（2）根据给定的函数模型，结合（1）求出总损失关于的函数关系，再利用基本不等式求解即得.【小问1详解】依题意，，所以【小问2详解】设总损失为元，则，当且仅当，即时取等号，所以应安排22条清污船清理水面才能使总损失最小.21.（1）已知函数满足为奇函数，函数为偶函数，求的解析式；（2）已知函数满足，判断在上的单调性并用定义证明. 【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用奇偶性得到的方程组，求解可得；（2）以替换，构造另一个等式，联立解方程组可得.【详解】（1）为奇函数，.①.偶函数，.②①+②，得，.（2），①把用替换，得，②由①②得，.判断：在上单调递减.证明：设任取，且，则，，则， ，在上单调递减.22.已知函数为指数函数，函数为奇函数.（1）求的解析式；（2）设函数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】（1），（2）8【解析】【分析】（1）根据指数函数解析式即可求得，再利用奇函数的定义求出即可；（2）由（1）求出，不等式恒成立，令，可得在时恒成立，利用基本不等式可得答案.【小问1详解】因为为指数函数，所以，解得（舍去）或，所以，所以，因为为奇函数，所以，即，得到，解得，可得，且，奇函数所以； 【小问2详解】因为，所以，所以，所以，不等式恒成立，即恒成立，令，则，由，可得在时恒成立，因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，