安徽省皖中名校联盟2023-2024学年高一上学期第一次联考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年智学大联考·皖中名校联盟高一（上）第一次联考数学试题一、单选题1.不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】，解得或，所以不等式的解集为.故选：D2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可得答案．【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为存在量词命题：，故选：C3.2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（）A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C．4.下列不等式中成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】利用不等式性质判断不等关系．【详解】对于A，若，则，故A错误；B显然正确；对于C，若，如，，则有，故C错误；对于D，若，则，无法得到，故D错误．故选：B．5.如果两个正方形的边长之和为2，那么它们的面积之和的最小值是（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式解决实际问题即可；【详解】设一个正方形的边长为x，面积之和为y，则另一个正方形的边长为，， 则，当且仅当，即时，等号成立，故两个正方形面积之和的最小值为故选：D6.某校高一班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A.27B.23C.15D.7【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的实际应用，属于基础题．由题意，求出参加田赛或径赛的同学人数，即可求解．【详解】解：设高三班有50名学生组成的集合为U ，参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛项目的学生组成的集合为由题意集合A有15个元素，B有20个元素，中有12个元素，所以有个元素，所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为故选：A7.已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为（）A.3B.4C.5D.10【答案】D【解析】【分析】先求出一元二次不等式对应方程的根，再讨论根的大小确定两个集合，从而可求出两集合的交集，通过长度为4可求出的值，再求两集合的并集及其长度.【详解】方程的两根为，的两根为，当时，，当时，，，则，当时，，，则， 因为的长度为4，所以或，得或，当时，，，则，当时，，，则所以的长度为10，故选：D8.已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数m的取值范围（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查命题的否定及函数的值域求解，属于中档题．分析可得“任意，使等式成立”是真命题，转化为任意， 成立，转化为求函数值域问题．【详解】因为命题“存在，使等式成立”是假命题，所以命题“任意，使等式成立”是真命题，即任意，恒成立，令，则 在上为增函数，所以，因为，即或，所以命题“存在，使等式成立”是假命题时，实数m的取值范围为或 故选：C二、多选题9.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.集合A的真子集个数为8【答案】AC【解析】【分析】本题考查集合的基本运算和真子集个数的求法，属于基础题．【详解】解：集合，，共同的元素为0和1，故，，故AC正确；全集，，可知B中没有元素3和4，故，故B错误；集合A中有3个元素，所以真子集个数为，故D错误．故选：AC.10.设且，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式进行判断．【详解】由得，A正确；在时，，但不成立，B错；同理C也错误；时，，，当且仅当时等号成立，D正确．故选：AD．11.下列说法正确是（）A.是的必要不充分条件 B.若集合中只有一个元素，则或C.已知，，则为假命题D.已知集合，则满足条件的集合N的个数为4【答案】ACD【解析】【分析】利用充分必要条件判定A；根据时，判定B；根据p与的真假性判定C；根据若，则，判定D【详解】解：对于A：不能推出，能推出，故是的必要不充分条件，故A正确；对于B：当时，，故B错误；对于C：当时，，故p为真命题，即为假命题，故C正确；对于D：若，则，故，故D正确．故选：ACD12.下列命题为真命题的是（）A.若一个直角三角形的斜边长为2，则它周长的最大值为B.若一个直角三角形的斜边长为2，则它面积的最大值为1C.若的解集是，则的解集是D.若的解集是，则的解集是【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式及一元二次不等式的解法一一判定即可.【详解】对于A，设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边则，由于,当且仅当时，等号成立，则周长的最大值为，故A正确；对于B，设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边 则，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积，故面积的最大值为1，故B正确；对于C，若的解集是，所以1和2是方程的两根且，则有，所以不等式，解得，则的解集是，故C正确；对于D，由C的分析可得不等式，解得，故的解集是，故D错误．故选：ABC三、填空题13.设集合，或，若，则实数a的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】根据，，得，然后解出a的范围即可．【详解】，或，且，显然，则，解得， 综上得，实数a的取值范围为故答案为：．14.已知x>2，求的最小值___________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求最值即可.【详解】∵∴，当且仅当时，等号成立，故答案为：15.已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】考虑和，两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】当时，解得或，当时，不等式为，解集不为空集，不合要求，舍去；当时，不等式为，解集为空集，满足要求，当时，要想不等式解集为空集，则，解得，综上，实数的取值范围是故答案为：16.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响，据以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为__________. 【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法以及学生解决实际问题的能力，难度一般．设风暴中心最初在处，经小时后到达处，自向轴作垂线，垂足为若在点处受到热带风暴的影响，则，求出的范围，即可得出结论．【详解】解：记现在热带风暴中心的位置为点，小时后热带风暴中心到达点位置，自向轴作垂线，垂足为由题意，，则，，若在点处受到热带风暴的影响，则，即，即，上式两边平方并化简、整理得，解得：，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为．故答案为：．四、解答题 17.已知集合，，（1）求（2）若，求a的取值范围．【答案】（1） 或 （2）【解析】【分析】（1）根据集合的补集及交集运算求解；（2）根据集合的包含关系，分类讨论，列出不等式求解即可.【小问1详解】 ，  ， 或  ， 或 【小问2详解】 ，当  时，要使  ，需有  ，解得  ；当  时，  ，解得  的取值范围为18.（1），其中x，y均为正实数，比较a，b大小；（2）证明：已知，且，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用作差法判断即可；（2）根据不等式的性质证明即可． 【详解】（1）因为，作差得，因为，，所以，，所以，即；（2）因，且，，，所以，所以所以，所以，所以，故.19.已知集合，.（1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的值；（2）从三个条件①，②，③中选出合适的一个，补充在下面问题中，并完成解答．已知__________，若集合C含有两个元素且满足，求集合（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据必要不充分条件列方程来求得.（2）根据所选条件以及求得集合.【小问1详解】若“”是“”的必要不充分条件，则B是A的真子集，或，解得或1或2， 或1时，不满足集合元素的互异性，应舍去，，存在实数使得.【小问2详解】若选择条件①，则，不满足集合元素的互异性，不符合题意；若选择条件②，则，或或；若选择条件③，则，或或或或或．20.若关于x的不等式的解集为或，（1）求a，b的值；（2）实数a，b满足，，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据一元二次方程有两根1和，应用韦达定理求解，注意；（2）把作为整体，应用不等式的性质求解.【小问1详解】 的解集为 或 ，所以  ，解得  ；【小问2详解】设  ， ，解得  ，  ， ，  ，  ，  ， ，即 21.已知，不等式恒成立，使不等式成立．若p和都是真命题，求a取值范围．【答案】【解析】【分析】求出的最大值，然后解相应不等式得的范围，即为为真时的范围，由判别式大于0得为真时的范围，再求出为假命题时的范围，求公共部分即得.【详解】当时，，若  ，不等式  恒成立，则  ，解得或，故命题p为真命题时，或若q为真命题，则，使不等式成立，则，解得或，故是真命题即命题q为假命题时，综上可知，当p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为22.某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选 择哪种补贴方案？为什么？【答案】（1）日加工处理80吨时平均成本最低，处于亏损状态；（2）选择方案二，日获利较多.【解析】【分析】（1）利用基本不等式计算比较即可；（2）利用二次函数的性质分类讨论计算比较即可.【小问1详解】由题意可得，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为，又，当且仅当，即时，等号成立，所以每日处理厨余垃圾80吨时，平均成本最低，又，所以此时处理厨余垃圾处于亏损状态；【小问2详解】若该企业采用第一种补贴方案，设企业每日获利为元，由题意可得，因为，所以当时，企业每日获利最大，为1550元，若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元，由题意可得，因为，所以当时，企业每日获利最大，为1800元，