广西三新学术联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

2023年广西三新学术联盟高一年级12月联考数学本卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知，则的最小值为（）A.4B.5C.6D.73.若函数，则的定义域为（）A.B.C.D.4.新课程互助学习小组在学习二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为（）A.B.C.D.5.若角终边经过点，则的值为（）A.B.1C.D. 6.函数的大致图象是（）A.B.C.D.7.若，，，，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，，则D.若，则8.已知，，则与之间的大小关系是（）A.B.C.D.无法比较二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.与终边相同角是（）A.B.C.D.10.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（）A.在上是减函数B.C.的值域是D.的值域是 11.已知函数（，为自然对数底数），则（）A.函数至多有2个零点B.，使得是R上增函数C.当时，的值域为D.当时，方程有且只有1个实数根12.，，为正实数，若，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若是上的奇函数，且，已知，则______.14.函数的值域为______.15.函数，则关于的不等式的解集为______.16.已知是定义域为R的奇函数，的部分解析式为，若方程的解为，，，且，则的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知集合，集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.18.计算下列各式的值：（1）；（2）. 19.已知函数.（1）证明函数为偶函数；（2）对于，恒成立，求实数的取值范围.20.首届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁举行，假设你是某纪念章公司委托的专营店销售总监.现有一款纪念章，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向学青会组委会上交特许经营管理费2元用于活动公益开支，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元..（1）请你写出专营店一年内销售这种纪念章所获利润（元）与每枚纪念章的销售价格（元）的函数关系式；（2）当每枚纪念章销售价格为多少元时，该专营店一年内的利润最大？最大利润为多少元？21.已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，.（1）判断并证明函数的单调性；（2）若，求解关于的不等式的解集.22.已知函数（且）.（1）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由. 2023年广西三新学术联盟高一年级12月联考数学本卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义，直接求解即可.【详解】，，故故选：B2.已知，则的最小值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】变形后由基本不等式求出最值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当,即时，等号成立.故选：B 3.若函数，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的性质以及分式的性质即可求解.【详解】的定义域满足：，解得且，所以定义域为，故选：A4.新课程互助学习小组在学习二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，先求出的符号，根据二分法结合零点存在定理，即可得出答案.【详解】令，可知，.又，则，所以，根据二分法结合零点存在定理可知，近似解所在的区间为.又，所以，根据二分法结合零点存在定理可知，近似解所在的区间为.故选：B.5.若角终边经过点，则的值为（） A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】利用任意角三角函数的定义以及同角三角函数关系求解.【详解】因为角终边经过点，所以，所以，故选:C.6.函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】采用排除法先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值的符号进行判断.【详解】从函数图象看，定义域都一样，关于原点对称，∵，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BD；又，∴可排除A.故选：C7.若，，，，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用不等式的相关性质可推理判断选项A,D,通过举反例判断选项B,C.【详解】对于A选项，由可得，因，故不能判断的值正负，故A项错误；对于B选项，因时，，故B项错误；对于C选项，取满足，，但是有，故C项错误；对于D选项，因，故，又因，故，由不等式的同向皆正可乘性可得：，移项得：，故D项正确.故选：D.8.已知，，则与之间的大小关系是（）A.B.C.D.无法比较【答案】C【解析】【分析】利用作差法比较大小.【详解】，所以所以故选：C 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.与终边相同的角是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】借助终边相同角的定义即可得.【详解】与终边相同的角为，对A选项：，故A错误；对B选项：，故B正确；对C选项：，故C正确；对D选项：，故D错误.故选：BC.10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（）A.在上是减函数B.C.的值域是D.的值域是【答案】CD【解析】【分析】先对分离常数得到，即可研究函数的单调性和值域，进而可得的值域与，从而得解.【详解】因为， 而在定义域上单调递增，且，在上单调递增，所以在上是增函数，故A错误；且，，故C正确；所以，D正确；而，故B错误.故选：CD.11.已知函数（，为自然对数的底数），则（）A.函数至多有2个零点B.，使得是R上的增函数C.当时，的值域为D.当时，方程有且只有1个实数根【答案】AD【解析】【分析】根据分段函数的解析式，考查每段的零点情况即可判定A;根据函数在上单调递减，可判定B；分段求出函数值的取值范围，可判定C，令，解出方程可判定D.【详解】当时，，符合条件，故是函数的一个零点，当时，令，由韦达定理知，两个根之和，故方程不可能有两个正根，也不可能有一正根一个根为零，若方程有一负根一正根，则，解得，即方程至多有一个正根，综上可知，函数至多有2个零点，故A正确；因为函数的图象开口向下，对称轴为， 故在上单调递减，则不存在，使得是R上的增函数，故B错误；当时，，当时，函数的图象开口向下，对称轴为，故在上单调递减，所以，当时，则函数的值域为，不符合题意，故C错误；当时，，令，则方程，可化为，若，则，解得，若，则，解得或者，均不符合条件，故只有，即，此时只有为其根，故时，方程有且只有1个实数根，则D正确，故选：AD.12.，，为正实数，若，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】将变形得到即可得、、间的大小关系，再分别构造出、化简后即可得、、大小关系.【详解】由， 即有，由，则，故A正确，B错误，因为，故，因为，故，同理，因为故，因为，故，即有，故C正确，D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若是上的奇函数，且，已知，则______.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合代入法进行求解即可.【详解】因为是上的奇函数，，所以，所以，故答案为：14.函数的值域为______.【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域，再换元令，则，求出的范围，再利用对数函数的性质可求出函数的值域.【详解】由，得，令，则，因为，， 所以，因为函数在上单调递增，所以，所以函数的值域为.故答案为：15.函数，则关于的不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】首先判断为奇函数且在定义域上单调递增，所以可转化为，根据奇偶性和单调性可解出的范围.【详解】因为，是恒成立的，所以的定义域为R，，所以为奇函数，当时，为递增函数，又为递增函数，在其定义域上为增函数，故为增函数，而，所以在R上为增函数，所以可化为，所以，即，解得，故答案为：.16.已知是定义域为R的奇函数，的部分解析式为，若方程的解为，，，且，则的取值范围为______. 【答案】【解析】【分析】先根据奇函数性质求出时的解析式，然后画出函数的图象，由有四个根，可得，结合图象，找到的范围，利用对勾函数单调性求解范围即可.【详解】当时，，又为奇函数，所以，当时，，又为奇函数，所以，画出图象如下：由图可知，当时，函数与交点横坐标，当时，函数与交点横坐标为，结合图象知，由对勾函数单调性知，函数在上单调递增，所以，即的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把方程问题转化为函数交点问题，数形几何分析方程根的范围，然后利用函数的性质求解范围.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知集合，集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】17.；18..【解析】【分析】（1）先解对数不等式求集合A，然后由并集运算可得；（2）由知，分和利用数轴讨论即可.【小问1详解】由得，即，若，则，所以，.【小问2详解】若，则，当，即时，，满足题意；当，即时，由图可得，无实数解.综上，实数的取值范围为.18.计算下列各式的值： （1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求解即可得出答案；（2）根据对数的运算性质，化简求解即可得出答案.【小问1详解】.【小问2详解】.19.已知函数.（1）证明函数为偶函数；（2）对于，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先分析的定义域，然后根据的关系进行判断即可；（2）将问题转化为“”，利用基本不等式求解出，则的范围可求.【小问1详解】的定义域为，且定义域关于原点对称， 又因为，所以为偶函数；【小问2详解】因为，且，所以，当且仅当时取等号，所以，又因为，恒成立，即，所以，解得或，所以的取值范围为.20.首届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁举行，假设你是某纪念章公司委托的专营店销售总监.现有一款纪念章，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向学青会组委会上交特许经营管理费2元用于活动公益开支，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元..（1）请你写出专营店一年内销售这种纪念章所获利润（元）与每枚纪念章的销售价格（元）的函数关系式；（2）当每枚纪念章销售价格为多少元时，该专营店一年内的利润最大？最大利润为多少元？【答案】（1）（2）当每枚纪念章销售价格为元时，该专营店一年内的利润最大，最大利润为元【解析】【分析】（1）根据题意，每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，得到与的函数关系式. （2）分别求出各段函数的最大值比较即得解.小问1详解】依题意，所以.【小问2详解】因为，所以当时，则，(元)，当时，则或24时，(元)，综上：当时，该特许专营店获得的利润最大为元.即当每枚纪念章销售价格为元时，该专营店一年内的利润最大，最大利润为元.21.已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，.（1）判断并证明函数的单调性；（2）若，求解关于的不等式的解集.【答案】（1）在上单调递减，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）赋值法求出，，且，则，根据单调性的定义结合已知即可证明； （2）赋值法求出，根据已知结合函数的单调性，将不等式化为.求解结合函数的单调性，即可得出答案.【小问1详解】在上单调递减，证明如下：令，由已知可得，，则.由已知可得，.，且，则，则，所以，，所以，在上单调递减.【小问2详解】令，由已知可得.又，不等式化为.由（1）知，在上单调递减，所以，.又，，所以，所以有，整理可得，，解得，所以，. 所以，不等式的解集为.22.已知函数（且）.（1）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）在上单调递增，则在上单调递减，即的范围就是在上的值域；（2）由题可得，则问题转化为在上有两个互异实根，转化为二次方程根的分布问题求解即可.【小问1详解】由，得或．∴的定义域为；令，任取，则，因为，，，所以，即函数在上单调递增；又，∴在上为单调递减，且当；函数在有且只有一个零点，即在有且只有一个解，∵函数在的值域为， ∴取值范围是．【小问2详解】假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，由且，可得．又由（1）在上为增函数，在上为减函数.则在上为减函数，得.即在上有两个互异实根，由得，即，有两个大于1的相异零点.由，函数开口向上，且对称轴为，则，解得．故存在这样的实数符合题意．