浙江省宁波市三锋教研联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】设,由于Ü，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B2.学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据交集的含义求解即可.【详解】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛， 故没有同学参加三项比赛，即.故选：D3.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题：，的否定为：，.故选：B.4.下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（）A.①，②，③，④B.①，②，③，④C.①，②，③，④D①，②，③，④【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应； ，其图像应与④对应．故选：A．5.若，满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由不等式性质求解即可【详解】,，，，，又可得，所以，所以的取值范围是故选：A6.下列大小关系错误的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由幂函数和指数函数的单调性对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，，所以，A正确；对于B，因为，所以，B正确；对于C，因为在上单调递增，所以， 又因为，所以，所以，故C错误；对于D，因为在上单调递增，，所以，故D正确.故选：C.7.已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解.【详解】因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，又，当即时，在上单调递减，函数是定义域上的减函数，则，解得.故选：A.8.已知函数，且，那么等于（）A.－18B.－26C.－10D.10【答案】B【解析】【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质计算．【详解】设，则，∴是奇函数，又，所以，，故选：B． 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列命题中，是真命题的有（）A.，是同一函数B.，C.某些平行四边形是菱形D.【答案】BC【解析】【分析】A选项，根据相同函数的定义可判断；B选项，根据全称命题的真假性可判断；C选项，由特称命题的真假性可判断；D选项，根据根式和分数指数幂互化可判断.【详解】对于A，的定义域为，而函数的定义域为R，所以与不是同一函数，故A错误；对于B，，，，故B正确；对于C，两邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确；对于D，，故D错误.故选：BC.10.设，则下列不等关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由题意，对每一选项结合作差法比较大小即可求解.【详解】对于A，因为，所以，，故A正确；对于B，因为，所以，，故B错误； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，，故D正确.故选：ACD.11.在下列函数中，最小值是2的函数有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据二次函数、指数函数的性质，基本不等式等求出函数的最小值然后判断．【详解】选项A，，，A错；选项B，，∴，且，B正确；选项C，，当且仅当时等号成立，C正确；选项D，时，，时，，且，D正确．故选：BCD．12.已知函数满足对任意的，都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，，都有，则下列结论正确的是（）A.的图象关于直线对称B.是偶函数C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据平移结合已知可推得的图象关于点对称，是奇函数.进而根据奇函数的性质，结合已知即可判断A项，以及求出函数周期，进而判断C项；根据已知结合函数单调性的定义， 即可得出函数在上的单调性，结合函数的周期性以及对称性，即可判断D项.【详解】对于A、B项，由已知函数的图象关于点对称，可得，的图象关于点对称.又定义域为R，所以是奇函数，故B项错误.由是奇函数，可得.又由已知可得，，所以有，所以的图象关于直线对称，故A项正确；对于C项，由可得，，所以有，所以的周期为4，所以.又是奇函数，所以.由代入可得，，所以，，故C项正确；对于D项，由的周期为4，可得.又的图象关于直线对称，所以，，，所以，.由对任意的，，，都有，可得，.所以，，都有，所以，在上单调递增. 所以，，即有，故D项错误.故选：AC.三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分）13.是定义在上的奇函数，则实数______【答案】5【解析】【分析】根据奇函数的定义求解．【详解】由题意定义域关于原点对称，∴，，故答案为：5.14.已知函数的单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案.【详解】令，解得，故函数定义域为，其中，故在上单调递增，在上单调递减，其中在上单调递增，由复合函数单调性可知，的单调递增区间为.故答案为：15.不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】由分式不等式的解法求解即可. 【详解】由可得：，即，所以，解得：或.故答案为：.16.已知实数x，y，且．当x，y均为正数时，则的最小值为______；当x，y均为整数时，的最小值为______【答案】①.##②.－9【解析】【分析】由基本不等式可得，解不等式即可；由可得因为x，y均为整数，所以，为整数，分类讨论，即可得出答案.【详解】因为x，y均为正数时，，则，当且仅当时取等，即，解得：或，因为x，y均为正数，所以，所以的最小值为；由可得因为x，y均为整数，所以，为整数，则，，解得：，所以，，，解得：，所以，，，解得：，所以，，，解得：，所以， ，，解得：，所以，，，解得：，所以，，，解得：，所以，，，解得：，所以，故的最小值为.故答案为：；.非选择题部分四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.函数是定义在R上的奇函数，当时，，且函数图象如图所示．（1）求在R上的解析式；（2）求的值．【答案】（1）（2）-1【解析】【分析】（1）结合函数图像求得时的函数解析式，根据函数奇偶性即可求得时的解析式，即得答案；（2）根据指数幂的运算性质求得的值，结合函数解析式即可求得答案.【小问1详解】由图象可知当时的函数图象过点，故， 即此时函数解析式为；又函数是定义在R上的奇函数，故当时，，则，故在R上的解析式；【小问2详解】因为，则．18.已知集合，集合．（1）若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由判别式为0可得；（2）由得，然后对分类讨论可得；【小问1详解】集合B元素个数为1．，即，解得：；【小问2详解】∵，∴对集合B讨论：当时，即时，，满足条件；当时，即，此时，满足条件；当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去综上所述，实数a的取值范围是19.已知函数．（1）若，，不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围；（2）若的解集为，求关于x的不等式的解集．【答案】19.20.【解析】分析】（1）由题意一元二次不等式恒成立等价于，解不等式组即可.（2）由题意的解集为等价于，从而不等式等价于，解一元二次不等式即可.【小问1详解】由题意对一切实数x都成立恒成立，，解不等式组得，所以a的取值范围为.【小问2详解】由于即的解集为，所以， 即，所以，所以不等式，即，所以，，解得或，所以不等式的解集为．20.杭州第19届亚运会（The19thAsianGames）又称“杭州2022年第19届亚运会”，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.本次亚运会共有45个国家（地区）12500余名运动员参加，赛事分6个赛区40多个场馆进行.某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米隔热层的建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：（，k为常数）．当隔热层的厚度为5厘米时，等于2万元．已知15年的总维修费用为20万元，记为15年的总费用．（总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用）．（1）求常数k；（2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用最小，并求出最小值．【答案】（1）（2）时，取最小值，最小值为70万元．【解析】分析】（1）当时，，代入求出常数；（2）列出总费用关于的函数表达式，使用基本不等式求最小值.【小问1详解】依题意，当时，， ∴，∴.【小问2详解】由（1）知，∴，当且仅当，即时，取最小值，最小值为70万元．21.设函数（且，），是定义域为的奇函数．（1）求的值，判断当时，函数在上的单调性并用定义法证明；（2）若，函数，求的值域．【答案】（1），在上单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数为上的奇函数，可求得的值，即可得函数的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；（2）根据的值，可以求得，即可得的解析式，利用换元法，将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域.【小问1详解】因为是定义域为的奇函数，则，所以，所以，当时，在上单调递增，，x2∈R，设 由于，,则，，得，在上单调递增.【小问2详解】，得，，令，由（1）知为增函数，，，设，值域为．22.已知函数．（1）当时，求的单调增区间；此时若对任意，，当时，都有，求m的最大值；（2）当时，记函数，在上的最大值为，求的最小值．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）时求出增区间，设，由得在，上单调递减；再求m的最大值；（2）由最大值在，，中取得，分、、、讨论，根据单调性可得答案．【小问1详解】时，增区间为，，若，不妨设， 对于，则，∴，即在，上单调递减；，由图象知，m的最大值为2；【小问2详解】，其中，因为，对称轴为，开口向下；，对称轴为，开口向上，于是最大值在，，中取得，当，即时，在上单调递减．∴；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，∴；当，即时，在上单调递减，上单调递增，在上单调递减，∴；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴， ∴，∴．