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安徽省部分地区大联考2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(Word版附解析)
安徽省部分地区大联考2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(Word版附解析)
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绝密★启用前安徽省2023—2024学年(上)高一冬季阶段性检测数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,若,则实数的取值范围为()A.B.C.D.2.命题“,函数是奇函数”的否定是()A.,函数是偶函数B.,函数不是奇函数C.,函数是偶函数D.,函数不是奇函数3.给出函数,如下表,则函数的值域为()123456432165113355A.B.C.D. 4.已知函数是定义域为的偶函数,则“”是“在上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数在内有一个零点,且求得的部分函数值如下表所示:010.50.750.6250.5625068750.656250.67187510.17190.01245若用二分法求零点的近似值(精确度为0.1),则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为()A.4,0.7B.5,0.7C.4,0.65D.5,0.656.函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为()A.B.C.D.7.已知函数可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和,若关于的不等式的解集非空,则实数的取值范围为()A.B.C.D.8.已知函数,,,,设 ,则关于的方程的实根个数最小值为()A.0B.1C.2D.3二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某网约车平台对乘客实行出行费用优惠活动:(1)若原始费用不超过10元,则无优惠;(2)若原始费用超过10元但不超过20元,给予减免2元的优惠;(3)若原始费用超过20元但不超过50元,其中20元的部分按第(2)条给予优惠,超过20元的部分给予9折优惠;(4)若原始费用超过50元,其中50元的部分按第(2)(3)条给予优惠,超过50元的部分给予8折优惠.某人使用该网约车平台出行,则下列说法正确是()A.若原始费用为12.8元,则优惠后的费用为10.8元B.若优惠后的费用为27.9元,则原始费用为31元C.若优惠后的费用为47.8元,则优惠额为5.9元D.优惠后的费用关于原始费用的函数是增函数10.已知函数,则()A.的最小值为2B.,C.D.11.若函数的图象连续不断,且存在常数,使得对于任意实数恒成立,则称为“学步”函数.下列命题正确的是()A.“学步”函数B.(为非零常数)为“学步”函数充要条件是C.若是的“学步”函数,且时,,则时, D.若是的“学步”函数,则在上至少有1012个零点12.已知,则下列不等式正确的是()A.B.C.D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数的定义域是_______________.14.已知函数的图象不是一条直线,且满足,写出一个满足条件的的解析式:______.15.已知函数奇函数,则______.16.在平面直角坐标系中,已知原点,,,若点是围成的区域内(包括边界)的一点,则的最大值为______.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合,,求,.18.解关于的一元二次不等式.(结果用集合表示)19.已知正数满足.(1)求实数的取值范围;(2)当时,用分別表示,.20.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.了解人口数量的变化规律,可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:,其中表示经过的年数,表示时的人口数,表示人口的年自然增长率.为了方便计算,常把人口增长模型中的近似为.已知某地区在2022年末的人口总数约为500万,记,试用马尔萨斯人口增长模型的近似模型解决以下问题.(1)若该地区人口年自然增长率约为1.16%,则大约经过多少年,该地区人口总数将达到600 万?(结果精确到整数)(2)要使该地区人口总数在2042年末不超过600万,则人口的年自然增长率不能大于多少?参考数据:,,.21.已知函数(,),函数,若函数()的图象与函数,的图象交点为,,且,判断与的大小关系并证明.22.设为实数,函数.(1)讨论的奇偶性;(2)求的最小值. 绝密★启用前安徽省2023—2024学年(上)高一冬季阶段性检测数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,若,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的补集运算得到,把转化为,最后利用包含关系得到答案.【详解】因为,,因为,所以,所以,故选:A.2.命题“,函数是奇函数”的否定是()A.,函数是偶函数B.,函数不是奇函数C.,函数是偶函数D.,函数不是奇函数 【答案】B【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】命题“,函数是奇函数”的否定是:,函数不是奇函数.故选:B3.给出函数,如下表,则函数的值域为()123456432165113355A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别取,求出的值,从而得到答案.【详解】当时,,,当时,,,当时,,,当时,,,当时,,,当时,,,的值域为,故选:D.4.已知函数是定义域为的偶函数,则“”是“在上单调递增”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】直接利用函数的单调性和函数的值的关系,利用充分条件和必要条件的应用求出结果.【详解】由题意,函数的定义域为的偶函数,当“”时,根据偶函数,,“在不一定单调递增”;当“在上单调递增”时,有,故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件.故选:B.5.已知函数在内有一个零点,且求得的部分函数值如下表所示:010.50.750.6250.56250.68750.656250.67187510.17190.01245若用二分法求零点的近似值(精确度为0.1),则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为()A.4,0.7B.5,0.7C.4,0.65D.5,0.65【答案】C【解析】【分析】根据题意,结合二分法代入计算,即可得到结果【详解】由题意可知,对区间内,设零点为,因,,,所以,精确度为,又,,,精确度为,又,,,精确度为又,,,精确度为 ,需要求解的值,然后达到零点的近似值精确到0.1,所以零点的近似解为0.65,共计算4次.故选:C6.函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为()A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】对B选项,根据确定,二次函数开口向下,不满足,其他选项满足类幂函数和二次函数性质,得到答案.【详解】,当时,二次函数对称轴为,对选项A:根据确定,二次函数开口向下,对称轴在轴右边,满足;对选项B:根据确定,二次函数开口向下,不满足;对选项C:根据确定,二次函数开口向上,对称轴在轴左边,满足;对选项D:取,则,,满足图像;故选:B7.已知函数可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和,若关于的不等式的解集非空,则实数的取值范围为() A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】确定和,相加得到,确定函数的单调区间,变换得到,设,得到,根据函数的单调性计算最值得到答案.【详解】,,两式相加得到,当时,,函数单调递增,故函数在上单调递增,在上单调递减,,即,即,即,设,当且仅当时等号成立,故,,在上单调递增,故,则,解得.故选:D8.已知函数,,,,设 ,则关于的方程的实根个数最小值为()A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据题意写出函数的解析式并画出图象,利用换元法设,解关于的方程;然后根据方程根的个数转化为函数图象交点的个数,结合图象确定实根的个数.【详解】由题意可知,,图象如图所示:设,由得,解得或,即或,当时,由图可知有两个实根,当时,当时,没有实根,当时,有一个实根,当时,有两个实根,综上,有两个实根或三个实根或四个实根,所以实根个数的最小值为2.故选:.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某网约车平台对乘客实行出行费用优惠活动:(1)若原始费用不超过10元,则无优惠;(2)若原始费用超过10元但不超过20元,给予减免2元的优惠; (3)若原始费用超过20元但不超过50元,其中20元的部分按第(2)条给予优惠,超过20元的部分给予9折优惠;(4)若原始费用超过50元,其中50元的部分按第(2)(3)条给予优惠,超过50元的部分给予8折优惠.某人使用该网约车平台出行,则下列说法正确的是()A.若原始费用为12.8元,则优惠后的费用为10.8元B.若优惠后的费用为27.9元,则原始费用为31元C.若优惠后的费用为47.8元,则优惠额为5.9元D.优惠后的费用关于原始费用的函数是增函数【答案】AB【解析】【分析】根据题意得到优惠后的费用和原始费用的函数关系式,逐选项判断即可.【详解】根据题意,设原始费用为元,优惠后的费用为元,则,即,当时,,当时,,当时,,当时,,对于A,若原始费用为12.8元,按第(2)条优惠,优惠后的费用为元,故A准确;对于B,若优惠后的费用为27.9元,符合第(3)条优惠,则,所以原始费用为31元,,故B正确;对于C,若优惠后的费用为47.8元,符合第(4)条优惠,则,,则优惠额为元,故C错误;对于D,当时,,当时,,例,当时,,当时,,所以原始费用和优惠后的费用不是增函数,故D错误,故选:AB. 10.已知函数,则()A.的最小值为2B.,C.D.【答案】AC【解析】【分析】确定在上单调递减,在上单调递增,函数关于对称,计算最值得到A正确,,B错误,,C正确,,D错误,得到答案.【详解】,在上单调递减,在上单调递增,故在上单调递减,在上单调递增,,函数关于对称,对选项A:的最小值为,正确;对选项B:,错误;对选项C:,故,,正确;对选项D:,故,错误;故选:AC.11.若函数的图象连续不断,且存在常数,使得对于任意实数恒成立,则称为“学步”函数.下列命题正确的是()A.是“学步”函数B.(为非零常数)为“学步”函数的充要条件是C.若是的“学步”函数,且时,,则时, D.若是的“学步”函数,则在上至少有1012个零点【答案】BCD【解析】【分析】A选项,得到,不存在,符合题意;B选项,得到,从而得到充要条件是;C选项,化简得到,,借助时,求解;D选项,赋值法结合零点存在性定理得到在区间上均至少有一个零点,得到在上至少有1012个零点.【详解】对于A,是定义在R上的连续函数,且,不存在,使得,故A错误;对于B,函数(为非零常数)是定义在R上的连续函数,且,当时,对于任意的实数x恒成立,若对任意实数x恒成立,则,解得:,故函数(为非零常数)为“学步”函数的充要条件是,故B正确;对于C,若是的“学步”函数,则,即,因为时,,当,,,又因为,即,即, 所以,故C正确;对于D,由题意得:,令得:,所以与异号,即,由零点存在性定理得:在上至少存在一个零点,同理可得:在区间上均至少有一个零点,所以在上至少有1012个零点,故D正确.故选:BCD.12.已知,则下列不等式正确的是()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】确定,,A正确,得到,B错误,确定,C正确,,D正确,得到答案.【详解】对选项A:,,,正确;对选项B:,,故,错误;对选项C:,故,故,正确;对选项D:,故,正确;故选:ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数的定义域是_______________.【答案】【解析】【分析】列出需满足的不等式,再取交集即为函数定义域. 【详解】由题意,,解得且,所以的定义域为,故答案为:14.已知函数的图象不是一条直线,且满足,写出一个满足条件的的解析式:______.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】取,计算得到答案.【详解】取,则,,则,则.故答案为:.15.已知函数为奇函数,则______.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称确定,再利用奇函数的定义得到,进而得到答案.【详解】定义域为且,函数为奇函数,定义域关于原点对称,所以,所以,所以, 即,解得,所以.故答案为:.16.在平面直角坐标系中,已知原点,,,若点是围成的区域内(包括边界)的一点,则的最大值为______.【答案】##【解析】【分析】由已知找到点横纵坐标满足的条件,再基于基本不等式求得最值.【详解】因为点是围成的区域内(包括边界)的一点,由图可知,点在直线AB的下侧阴影部分区域,此时,因,由题可知在上时,即时,取得最大值,故,当且仅当时取等号,故的最大值为,故答案为:四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合,,求,.【答案】答案见解析【解析】【分析】当时,,当时,,,考虑,,,,且,且时四种情况,求交集并集得到答案. 【详解】,当时,,当时,,,①当时,,;②当时,,;③当时,,;④当,且,且时,,.18.解关于的一元二次不等式.(结果用集合表示)【答案】答案见解析【解析】【分析】对进行合理地分类讨论即可.【详解】由已知,可得,(1)当时,方程有两实根,不等式解集为.(2)当时,方程的根的判别式.①当时,,所求不等式的解集为;②当时,,所求不等式解集为;③当时,,所求不等式的解集为或.综上所述:当时,解集为;当时,解集为或. 当时,解集为;时,解集为.19.已知正数满足.(1)求实数的取值范围;(2)当时,用分別表示,.【答案】(1)(2);【解析】【分析】(1)利用基本(均值)不等式求解;(2)分和两种情况讨论.【小问1详解】因为,所以,所以,当且仅当,即时取等号,所以的取值范围为.【小问2详解】因为,所以,当时,由指数函数的单调性可知:,所以,当时,由指数函数的单调性可知:,所以,又,所以,又,所以 .20.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.了解人口数量的变化规律,可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:,其中表示经过的年数,表示时的人口数,表示人口的年自然增长率.为了方便计算,常把人口增长模型中的近似为.已知某地区在2022年末的人口总数约为500万,记,试用马尔萨斯人口增长模型的近似模型解决以下问题.(1)若该地区人口年自然增长率约为1.16%,则大约经过多少年,该地区人口总数将达到600万?(结果精确到整数)(2)要使该地区人口总数在2042年末不超过600万,则人口的年自然增长率不能大于多少?参考数据:,,.【答案】(1)16年(2)0.91%【解析】【分析】(1)由马尔萨斯人口增长模型的近似模型为代入数据计算得出;(2)代入,,,得代入数值算出增长率.【小问1详解】马尔萨斯人口增长模型的近似模型为.代入,,,得,,由参考数据得,,所以,,,所以大约经过16年,该地区人口总数将达到600万.【小问2详解】代入,,,得,,,,由参考数据,得,所以,, 所以要使该地区人口总数在2042年末不超过600万,则人口的年自然增长率不能大于0.91%21.已知函数(,),函数,若函数()的图象与函数,的图象交点为,,且,判断与的大小关系并证明.【答案】,证明见解析【解析】【分析】根据函数单调性的定义和判定方法,求得函数的单调区间,在同一平面直角坐标系中画出函数,,的大致图象,得到()的图象与函数,的图象交点为,结合图象,得到,即可求解.【详解】由函数,任取,且则,当时,,,,所以,即函数()在上单调递增,同理可得,函数()在上单调递喊.又由,当时,,所以在同一平面直角坐标系中画出函数,,的大致图象,如图所示,函数()的图象与函数,的图象交点为,,且,则,得,即,因为,故,, 所以,所以.22.设为实数,函数.(1)讨论的奇偶性;(2)求的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】【分析】(1)根据和分类讨论,利用奇偶函数的定义判断即可;(2)根据和分类讨论,讨论对称轴与区间的位置关系,利用二次函数的性质求解最值即可.【小问1详解】当时,,定义域为R,且,此时是偶函数;当时,因为,所以不是奇函数,又,,由,得不是偶函数,所以当时,既不是奇函数也不是偶函数.【小问2详解】①当时,,当即时,在上单调递减,此时在上的最小值为;当即时,在上单调递减,在上单调递增, 此时在上的最小值为.②当时,,当即时,在上单调递减,在上单调递增,此时在上的最小值为,且,即;当即时,函数在上单调递增,此时.综上,当时,函数的最小值为;当时,函数的最小值为1.
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