安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年第一学期安徽省合肥市重点中学期中联考试题高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求解集合，再根据交集的定义，即可求解.【详解】由题意可知，，，所以.故选：D2.不等式的解集是（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，可得答案.【详解】由不等式，则，解得.故选：B.3.已知，则下列正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.【详解】因为在上单调递减，且，可得，即， 又因为在上单调递增，且，可得，所以.故选：A.4.已知函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合分段函数的性质即得.【详解】由，即“”“”，由，可知当时，可得，解得；当时，可得，可得，即“”“”；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据为偶函数，可得在上的单调性，将所求整理为或，根据的性质，即可求得答案. 【详解】因为在R上的偶函数，且上单调递减，所以在上单调递增，且，则等价于或，根据的单调性和奇偶性，解得或，故选：A6.若函数在上是增函数，则实数取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据一次函数以及二次函数的性质，即可由分段函数的单调性求解.【详解】在上是增函数,则需满足，解得，故选：D7.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A.B.或C.D.或【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧的最小值，根据不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】因为正实数x，y满足，所以，当且仅当，时，取得最小值4，由有解，则，解得或．故实数m的取值范围是或.故选：D8.已知函数，且，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.【详解】解：令，则，因为，，∴为奇函数，又因为，由复合函数单调性知为的增函数，∵，则，∴，，∴，解得或，故故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可.【详解】对于A，函数的定义域均为R，且，A是；对于B，函数的定义域为，而的定义域为R，B不是；对于C，函数的定义域均为，而，C是；对于D，函数的定义域均为R，而当时，，当时，，因此，D是.故选：ACD10.下列说法正确的是()A.命题“，”的否定是“，使得”B.若集合中只有一个元素，则C.关于的不等式的解集，则不等式的解集为D.若函数的定义域是，则函数的定义域是【答案】CD 【解析】【分析】根据命题的否定即可求解A，根据即可求解B，根据一元二次方程与不等式的关系即可求解C，根据抽象函数定义域的求解即可判断D.【详解】对于A，命题“，”的否定是“，使得”，故A错误；对于B，当时，集合也只有一个元素，故B错误；对于C，不等式的解集，则是的两个根，所以，故，则可化为，即，故，所以不等式的解为，C正确；对于D，的定义域是，则函数满足，解得，所以函数的定义域是，D正确，故选：CD11.下列命题中正确的是（）A.的最小值为2B.函数的值域为C.已知为定义在R上的奇函数，且当时，，则时，D.若幂函数在上是增函数，则【答案】CD【解析】【分析】根据基本不等式即可判断A，根据指数复合型函数的单调性即可求解B，根据函数的奇偶性即可求解C，根据幂函数的性质即可求解D.【详解】对于A，由于，所以，当且仅当，即 时等号成立，但无实根，故等号取不到，故A错误，对于B,由于，所以，又，故函数的值域为，B错误，对于C，当时，则，，由于，故时，，C正确，对于D，幂函数在上是增函数，则，解得，故D正确，故选：CD12.若函数同时满足：对于定义域上的任意，恒有；对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是()A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据奇偶性和单调性的定义逐项分析判断.【详解】对于①②可知：“理想函数”在定义域内为奇函数且单调递减.对于选项A：定义域内为奇函数且单调递减，故A正确；对于选项B：定义域内为奇函数且单调递减，故B正确；对于选项C：因为定义域内均为奇函数且单调递增，所以定义域内奇函数且单调递增，故C错误；对于选项D：因为,故为上的奇函数.而定义域内均为单调递减， 所以定义域内为奇函数且单调递减，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.=________.【答案】16【解析】【分析】利用指数运算法则和分数指数幂运算法则计算出答案.【详解】故答案为：1614.若为奇函数，则______.【答案】【解析】【分析】先根据奇函数定义域的特征求得，然后根据奇函数定义验证即可.【详解】由得且，因为为奇函数，所以的定义域关于原点对称，所以，即.当时，，所以为奇函数.故答案为：15.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】分和两种情况讨论求解. 【详解】当，即时，恒成立，当时，因为不等式对一切恒成立，所以，解得，综上，，即的取值范围是故答案为：16.已知.若，求的最小值是________.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式乘“1”法即可求解.详解】由得，由于，所以，当且仅当，即时，等号成立，故最小值为，故答案为：四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合，，．（1），求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）首先应用补集运算求，再由交集运算求即可； （2）由题设BÜA，讨论、列不等式求参数范围即可.【小问1详解】由题意，当时，故或，而，故.【小问2详解】由“”是“”的充分不必要条件，可得BÜA，当时，，符合题意；当时，需满足（、等号不能同时成立），解得，综上，m的取值范围为或．18.已知，命题：，，命题：，使得方程成立.（1）若是真命题，求的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据恒成立的思想可知，由二次函数最值可求得结果；（2）根据基本不等式可求得，由能成立的思想可知时；由题意可知一真一假，分别讨论真假和假真两种情况即可.【小问1详解】若是真命题，则在上恒成立，∵，，∴当时，，∴；【小问2详解】 对于，当时，，当且仅当时取等号，若，使得方程成立，只需即可，若为真命题，为假命题，则和一真一假，当真假时，，当假真时，综上，的取值范围为.19.已知指数函数在其定义域内单调递增．（1）求函数的解析式；（2）设函数，当时．求函数的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解；（2）令，利用二次函数的单调性求解可得.【小问1详解】是指数函数，，解得或，又因为在其定义域内单调递增，所以，；【小问2详解】 ，，令，，，，的值域为．20.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）判断的单调性并用定义证明；（3）若存在，使成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）函数在上是减函数，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出；（2）根据函数单调性定义即可证得函数单调递减；（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意可知问题等价于，由此即可得解.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，又因为，所以， 将代入，整理得，当时，有，即恒成立，又因为当时，有，所以，所以.经检验符合题意，所以.【小问2详解】由（1）知：函数，函数在上是减函数.设任意，且，则由，可得，又，则，则，则函数在上减函数.【小问3详解】因为存在，使成立，又因为函数是定义在上奇函数，所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，所以，所以，令，由题意可知：问题等价转化为，又因为，所以. 21.漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为单位：元（1）求函数的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．【解析】【分析】（1）由已知，分段代入后整理得答案；（2）分段求出函数的最大值，取两个最大值中的较大者得结论．【小问1详解】由已知，又，所以，整理得.【小问2详解】当时，，当时，， 当时，，当且仅当，即时等号成立，，因为综上，所以的最大值为390故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．22.设，函数．（1）当时，求在的单调区间；（2）记为在上的最大值，求的最小值．【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）当时，得，根据二次函数的图象和性质，即可得出在的单调区间；（2）对进行讨论，分类和两种情况，再分和，结合函数的单调性求出在上的最大值，再由分段函数的解析式和单调性，即可求出的最小值．【小问1详解】解：当时，，当时，，则对应抛物线开口向下，对称轴为，可知，在单调递增，单调递减， 即在的单调递增区间为，递减区间为.【小问2详解】解：，若时，，对称轴为，所以在单调递增，可得；若，则在单调递增，在单调递减，在单调递增，若，即时，在递增，可得；由，可得在递增，在递减，即有在时取得，当时，由，解得：，若，即，可得的最大值为；若，即，可得的最大值为；即有，当时，；当时，；当，可得． 综上可得的最小值为．