安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

合肥一中2023～2024学年度高一年级第一学期期中联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：必修第一册第一、二、三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求得，再利用交集运算求解.【详解】解：由已知得，所以．故选：B2.命题p：，的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题p：，全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即，， 故选：C3.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】按定义域的定义列式求解即可.【详解】要使得函数有意义，则，且，解得或，故定义域为．故选：D.4.对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】若，，则，故A错误；若，则，故B错误；因为，所以，即，故C正确；因为，所以，所以，故D错误．故选：C.5.函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解.【详解】由题意，函数（），令，则，可得，故（）的值域为．故选：A.6.已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由分段函数的单调性列式求解.【详解】解：二次函数的对称轴为，因为函数是R上的减函数，所以有解得．故选：B7.对实数a和b，定义运算“◎”：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据定义求出的解析式，在同一个坐标系作出与的图像，即可得到答案. 【详解】因为，，所以：当，即：，解得：，此时：；当时，在区间上有最小值：，当时，在区间上有最大值：所以：当时，当，即：，解得：或，此时，当时，单调递增，所以：，当时，单调递减，所以：，所以：当或，作出的图象，如图所示：函数的图象与轴恰有1个公共点，转化为函数的图象与直线恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的的值，可得：或，则实数m的取值范围是.故D项正确.故选：D.8.已知函数是定义在R上的奇函数，，若，，且，都有，则不等式的解集为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件构造函数，利用函数的单调性及奇偶性解不等式即可.【详解】由，，且，都有,不妨令可知函数在上单调递增，记，则，所以为偶函数，因此在上单调递减，且，不等式等价于，故，解得或，故不等式的解集为：．故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数中，与函数是同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】分别判断函数定义域和对应关系即可判断.【详解】由题意知函数的定义域为，值域为，的定义域为，与函数的定义域不同，不是同一函数，故A错误；定义域为，定义域与对应关系和相同，为同一函数，故B正确；定义域，定义域与对应关系和相同，为同一函数，故C正确；的定义域为，与函数的定义域不同，不是同一函数，故D错误．故选：BC10.设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（） A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】先求出不等式恒成立时的a的范围，由题意可知所选不等式对应的集合应为a的范围对应集合的真子集，结合选项即可判断出答案.【详解】当时，不等式为，满足题意；时，不等式恒成立，则必有且，解得，故a的取值范围为，由题意知所选不等式恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为的真子集，结合选项可知，所对应集合为的真子集，故选项A，B满足条件，故选：AB11.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（）A.糖水加糖更甜可用式于表示，其中，B.当时，的最小值为4C.若，，，则D.若，则的最小值为6【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式比较大小，注意取等号的条件.【详解】对于A，当，，时，，，当时糖水不等式不成立，故A错误；对于B，因为，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为，所以，当且仅当，时等号成立，所以，，当且仅当，时等号成立，故C正确；对于D，因为，所以，所以当且仅当，即，时，等号成立，故D正确．故选：BCD12.已知函数（），则（）A.函数为奇函数B.函数的值域是C.函数上单调递减D.若对任意的，恒成立，则当时，或或【答案】ABD【解析】【分析】选项A，由奇函数的定义证明；选项BC，解析式变形分段形式，画出函数图象可判断；选项D，恒成立问题转化为最值问题处理，先由恒成立得，再主元变换构造关于的函数，转化为的最值问题解决.【详解】选项A，由题意得，，所以函数是奇函数，故A正确； 选项BC，由函数解析式可得，函数图象如图所示，所以的值域是，在上单调递增，故B正确，C错误；选项D，由函数在上单调递增，则当时，，恒成立，则恒成立，即恒成立，令，即时恒成立，则，解得：或或，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数，则______.【答案】0【解析】【分析】分段函数求值，根据自变量取值所在区间确定解析式代入求值.【详解】已知函数，则，所以．故答案为：.14.下列命题中，真命题的编号是______.①，； ②，x为方程的根；③，；④，，使．【答案】①④【解析】【分析】逐项判断命题真假即可.【详解】①正确：恒成立；②错误：由，解得；③错误：；④正确：满足题意.故答案为：①④.15.已知a，b为正实数，满足，则的最小值为______.【答案】12【解析】【分析】通过构造，利用基本不等式,即可找到的最小值.【详解】因为a，b为正实数，满足，所以，所以，则，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为12．故答案为：12.16.已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是________.【答案】【解析】 【分析】作出函数的图象，解方程，数形结合可得出实数的取值范围，即可得解.【详解】因为函数的定义域为，满足，当时，，当时，，则，当时，，则，当时，，则，因为对任意，都有，当时，令，解得或，如下图所示：由图可知，，故实数的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是求出函数的解析式，由此作出函数的图象，利用数形结合思想求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，． （1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由交集的定义求解即可；（2）因为，所以B是A的子集．讨论和，解出实数m的取值范围，即可得出答案.【小问1详解】当时，，所以；【小问2详解】因为，所以B是A的子集．①，即，解得；②，则，所以，综上所述，实数m的取值范围为或18.已知集合，．（1）若集合，求实数m的值；（2）若，“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由一元二次不等式与对应一元二次方程的关系可判断得解；（2）由于“”是“”充分不必要条件，则Ü，分和讨论可得解.【小问1详解】因为， 所以方程的两根分别为和2，由韦达定理得，解得．所以实数的值为2.【小问2详解】由，得，，由于“”是“”的充分不必要条件，则Ü，当时，，此时Ü不成立；当时，，因为Ü，则有，解得；综上所述，实数m的取值范围是．19.已知幂函数为奇函数．（1）求的解析式；（2）若函数是定义在R上的偶函数，当时，，求函数的解析式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程，解出值，再检验即可；（2）根据奇函数的性质求解解析式即可.【小问1详解】因为为幂函数，所以，解得或．当时，是偶函数，不是奇函数﹔当时，奇函数，所以．故的解析式． 【小问2详解】由（1）得，当时，，对于，则，，又因为函数是定义在R上的偶函数，所以，所以，所以函数的解析式．20.已知函数．（1）在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“______，”为真命题，求实数a的取值范围；（2）求函数的单调递增区间．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）选①为不等式有解问题，选②为不等式恒成立问题，都可以转化化二次函数在闭区间上的最值问题处理；（2）将函数分段化简函数解析式.分为两段转化为二次函数求解单调区间即可.【小问1详解】由，得，即，令，，所以在上单调递增，在上单调递减，则在上的最小值为，最大值为．选择条件①，则使得成立，则，所以，故实数a的取值范围是．选择条件②，则使得恒成立， 则，所以，故实数a的取值范围是．【小问2详解】当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，综上函数的单调递增区间为．21.如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200，求运动场面积的最大值．【答案】（1）160m（2）2888【解析】【分析】（1）由运动场面积结合基本不等式即可求最小值；（2）由题意，结合基本不等式及一元二次不等式即可求解.【小问1详解】设矩形运动场的长、宽分别为a，b（如图，单位：m）， 由题意，，所以，当且仅当时取“＝”，故栅栏总长的最小值为160m．【小问2详解】由题意，整理得，而，故，令（），则，解得，所以，即，当且仅当，即时，取“＝”，故运动场面积的最大值为2888．22.已知函数是奇函数，且．（1）判断并根据定义证明函数在，上的单调性；（2）设函数，若对，，都有，求实数t的取值范围．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）由，，联立求解；然后利用函数的单调性定义证明；（2）由，令，得到，从而得到，，根据对，都有恒成立，由求解.【小问1详解】解：因为，且是奇幽数，所以，所以，解得，所以．检验，由解析式可知，定义域，关于原点对称，，所以是奇函数，满足要求；函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：任取，，且，则，因为，，且，所以，，所以，所以，即，所以函数在上单调递减；同理可证明函数在上单调递增．【小问2详解】由题意知，令，， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因为函数对称轴方程为，所以函数在上单调递增，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，．所以，，又因为对，都有恒成立，所以，即，解得，