新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷四高考押题专练二（附解析）

2024年高考数学押题卷(二)时间：120分钟　满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，集合A，B均为U的子集，(∁UA)∩B表示的区域为(　　)A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ2．已知函数f(x)同时满足性质：①f(－x)＝－f(x)；②∀x1，x2∈(0，1)，>0.则函数f(x)可能是(　　)A．f(x)＝ex－e－xB．f(x)＝C．f(x)＝sin4xD．f(x)＝x23．观察下列四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是(　　)4．18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n很大时，1＋＋＋…＋＝lnn＋γ(常数γ＝0.577…).利用以上公式，可以估计＋＋…＋的值为(　　)A．ln104B．ln3＋ln2C．ln3－ln2D．ln25.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)A．(－，0)B．(－，0)C．(－，0)D．(－，0)6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　) A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β7．已知直线2x＋3y－1＝0经过圆(x－m)2＋(y－n)2＝1的圆心，其中m>0且n∈(－1，0)，则－的最小值为(　　)A．9B．5＋2C．1D．5＋8.中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，是由旧石器时代的缝衣打结，推展至汉朝的仪礼记事，再演变成今日的装饰手艺．中国结显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面．已知某个中国结的主体部分可近似地视为由一个大正方形(内部是16个边长为2的小正方形)和16个半圆所组成，如图，A，C是中国结主体部分上的定点，点B是16个半圆上的动点，则·的最大值为(　　)A．66＋6B．66＋4C．66＋2D．18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数z1＝1＋2i，复数z满足|z－z1|＝2，则下列说法正确的有(　　)A．z1·1＝5B．－2<|z|<＋2C．复数1在复平面内所对应的点的坐标是(－1，2)D．若复数z在复平面内所对应的点为Z(x，y)，则(x－1)2＋(y－2)2＝410．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极大值点C．x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极大值点11．已知函数f(x)图象上的点(x，y)都满足(x3－5x＋y)2023＋x2023＝4x－y－x3，则下列说法正确的有(　　)A．f(x)＝－x3＋4xB．若直线l与函数f(x)的图象有三个交点A，B，C，且满足|AB|＝|BC|＝，则直线AC的斜率为3C．若函数g(x)＝f(x)－ax2－4x＋a(a≠0)在x＝x0处取得极小值0，则a＝D．存在四个顶点都在函数f(x)的图象上的正方形，且这样的正方形有两个12．已知曲线C：x|x|－4y|y|＝4，P(x0，y0)为C上一点，则下列说法正确的有(　　)A．∃m∈R，直线x－2y＋m＝0与曲线C有四个交点B．x＋y的最小值为1C．|x0－2y0＋|的取值范围为(，2＋]D．若过点(－2，－2)的直线与曲线C有三个交点，则直线的斜率k∈(， )[答题区]题号123456789101112答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(x2－)5的展开式中的常数项为________．14．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1，数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab9＝________．15．已知正四面体ABCD的棱长为6，P是△ABC外接圆上的动点，Q是正四面体ABCD内切球球面上的动点，则PQ的取值范围是________．16．我们常用的数是十进制数，如1035＝1×103＋0×102＋3×101＋5×100，表示十进制的数要用0～9这10个数字．而电子计算机用的数是二进制数，只需0和1两个数字，如四位二进制的数1001(2)＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20，等于十进制的数9，现有一组十进制表示的数列x1，x2，…，xi，…，x2023(xi∈N*，i＝1，2，…，2023)，定义，n＝1，2，…，2022(表示a1，a2，…，am的乘积)，若将b1，b2，…，b2022表示成二进制数，其中有1011个数末位是0，若将x1，x2，…，xi，…，x2023表示成二进制数，则末位是0的数至多有________个．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sinA＝4sinCcosB，则c＝2.(1)证明：tanB＝3tanC；(2)若b＝2，求△ABC外接圆的面积．解： 18．(12分)如图，在△AOB中，∠AOB＝，OB＝，OA＝1，C为OB的中点，将△AOB绕OB所在的直线逆时针旋转至△BOD形成如图所示的几何体Γ，∠AOD＝.(1)求几何体Γ的体积；(2)求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．解：19．(12分)已知M，N为抛物线C：y2＝2px(p>0)上不同两点，O为坐标原点，OM⊥ON，过O作OH⊥MN，垂足为H，且点H(2，2).(1)求直线MN的方程及抛物线C的方程；(2)若直线l与直线MN关于原点对称，Q为抛物线C上一动点，求Q到直线l的距离最短时，Q点的坐标．解： 20．(12分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝3，a2＋a3＝36，数列{bn}的前n项和Sn满足3Sn＋n2＝3nbn＋n，b1＝.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若存在正整数n，使得27b－8Man≥0成立，求实数M的取值范围．(≈1.4，ln3≈1.1)解：21．(12分)肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤，是一种常见的危害性极大的疾病，研究表明很多肝病是由乙肝发展而来的，身体感染乙肝病毒后，病毒会在体内持续复制，肝细胞修复过程中形成纤维化，最后发展成肝病．感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状，因此忽视治疗，等到病情十分严重时，患者才会出现痛感，但已经错过了最佳治疗时机，对乙肝病毒应以积极预防为主，通过接种乙肝疫苗可以预防感染乙肝病毒，体检是筛查乙肝病毒携带者最好的方法．国家在《中小学生健康体检管理办法(2021年版)》中规定：中小学校每年组织1次在校学生健康体检，现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次．假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立．(1)若m＝0.4，记每人血样化验次数为X，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求此时化验总次数． (2)若m＝0.8，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用k＋4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求此时化验总费用．参考数据及公式：≈3.16，(1＋x)n≈1＋nx(n∈N*，n≥2，|x|≤0.01).解：22．(12分)若定义在区间I上的函数y＝f(x)，其图象上存在不同两点处的切线相互平行，则称函数y＝f(x)为区间I上的“曲折函数”，现已知函数f(x)＝2a2lnx＋x2(a>0).(1)证明：y＝f(x)是(0，＋∞)上的“曲折函数”．(2)设0<x0<a，证明：∃x1∈(x0，a)，∀x∈(x1，a)，(a－x0)f′(x)－f(a)＋f(x0)<0.解： 2024年高考数学押题卷(二)1．解析：(∁UA)∩B表示在集合A之外且在集合B之内的部分，即表示的区域为Ⅳ，故选D.答案：D2．解析：若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，则说明函数f(x)是奇函数；若函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，1)，>0，则说明函数f(x)在(0，1)上单调递增．对A，f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，f′(x)＝ex＋e－x>0在R上恒成立，所以函数f(x)＝ex－e－x是奇函数，且在(0，1)上单调递增，所以选项A满足题意；对B，f(x)＝，f(－x)＝＝2x≠－f(x)，所以选项B不满足题意；对C，f(x)＝sin4x，当x∈(0，1)时，4x∈(0，4)，所以函数f(x)＝sin4x在(0，1)上不单调，所以选项C不满足题意；对D，f(x)＝x2，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以函数f(x)＝x2是偶函数，所以选项D不满足题意．综上，选A.答案：A3．解析：在一元线性回归模型中对随机误差e的假定为E(e)＝0，D(e)＝σ2(一个与自变量x无关的定值).对于A，显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型，所以选项A错误；对于B，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，所以选项B正确；对于C，显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分，所以选项C错误；对于D，显示残差的方差不是一个常数，会随观测时间变大而变大，所以选项D错误．所以只有选项B满足一元线性回归模型中对随机误差的假定，故选B.答案：B4．解析：因为当n很大时，1＋＋＋…＋＝lnn＋γ(γ＝0.577…)，所以＋＋…＋＝(1＋＋＋…＋)－(1＋＋＋…＋)＝ln30000＋γ－(ln20000＋γ)＝ln30000－ln20000＝ln＝ln＝ln3－ln2，故选C.答案：C5．解析：设函数f(x)的最小正周期为T，由图可知＝－＝，所以T＝2π，又ω>0，所以＝2π，所以ω＝1，则f(x)＝2sin(x＋φ)，因为f＝2，所以－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝，则f(x)＝2sin(x＋).因为f(－)＝2sin(－π)＝0，所以(－，0)是函数f(x)＝2sin(x＋)图象的一个对称中心．故选D.答案：D6．解析：对A，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以选项A不正确；对B，当α与β不垂直时，若m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β不成立，所以选项B不正确；对C，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理知，α⊥β，所以选项C正确；对D，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，所以选项D不正确．综上，选C.答案：C7．解析：因为直线2x＋3y－1＝0经过圆(x－m)2＋(y－n)2＝1的圆心，所以有2m＋3n －1＝0，即2(m＋2n)＋(－n)＝1，因为n∈(－1，0)，所以－n∈(0，1)，m＋2n∈(0，)，则－＝(＋)[2(m＋2n)＋(－n)]＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当＝，即m＝1，n＝－时等号成立．故选A.答案：A8．解析：如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，A(0，0)，C(2，8)，则＝(2，8).因为·等于在上的投影向量与的数量积，所以当在上的投影向量与同向，且投影向量的模最大时，·取得最大值，记一个半圆的圆心为M(1，8)，点B在直线AC上的射影为D.由图可知，当点B在半圆M上，且B，D连线与半圆M相切时，·取得最大值．半圆M的方程为(x－1)2＋(y－8)2＝1(0≤x≤2，8≤y≤9)，设B(1＋cosθ，8＋sinθ)(0≤θ≤π)，则＝(1＋cosθ，8＋sinθ).所以·＝2(1＋cosθ)＋8(8＋sinθ)＝66＋8sinθ＋2cosθ＝66＋2sin(θ＋φ)，其中tanφ＝，当θ＋φ＝时，·取得最大值，且最大值为66＋2，故选C.答案：C9．解析：因为复数z1＝1＋2i，所以1＝1－2i，其在复平面内所对应的点的坐标为(1，－2)，所以选项C错误；z1·1＝(1＋2i)(1－2i)＝5，所以选项A正确；若复数z在复平面内所对应的点为Z(x，y)，则可设复数z＝x＋yi，由|z－z1|＝2得，|(x－1)＋(y－2)i|＝2，即(x－1)2＋(y－2)2＝4，所以选项D正确；由D选项的分析可知，若设复数z在复平面内对应的点为Z(x，y)，则|z|＝，其几何意义为圆(x－1)2＋(y－2)2＝4上任意一点到原点的距离，圆心(1，2)到原点的距离为，半径为2，所以－2≤|z|≤＋2，所以选项B错误．综上，选AD.答案：AD10．解析：因为函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是函数f(x)的极大值点，所以存在区间(a，b)，x0∈(a，b)，∀x∈(a，b)，有f(x)≤f(x0)，但在定义域R上，f(x0)不一定是最大值，所以选项A错误；因为函数f(－x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，所以－x0是函数f(－x)的极大值点，所以选项B正确；因为函数－f(x)的图象与函数f(x)的图象关于x轴对称，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，所以x0是－f(x)的极小值点，所以选项C正确；因为函数－f(－x)的图象与函数f(x)的图象关于原点对称， x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，所以－x0是－f(－x)的极小值点，所以选项D错误．综上，选BC.答案：BC11．解析：(x3－5x＋y)2023＋x2023＝4x－y－x3变形为(x3－5x＋y)2023＋(x3－5x＋y)＝－x2023－x，即(x3－5x＋y)2023＋(x3－5x＋y)＝(－x)2023＋(－x)　①，令h(x)＝x2023＋x，则①式即h(x3－5x＋y)＝h(－x)，因为h′(x)＝2023x2022＋1>0在R上恒成立，所以函数h(x)在R上单调递增，所以由h(x3－5x＋y)＝h(－x)得，x3－5x＋y＝－x，即y＝－x3＋4x，又函数f(x)图象上的点(x，y)都满足(x3－5x＋y)2023＋x2023＝4x－y－x3，所以f(x)＝－x3＋4x，所以选项A正确．对于选项B，因为f(－x)＝－(－x)3＋4(－x)＝x3－4x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．若直线l与函数f(x)＝－x3＋4x的图象有三个交点A，B，C，且满足|AB|＝|BC|＝，则点A，C关于点B对称，所以直线l过原点，且点B为原点，设直线l的方程为y＝kx，则由，消去y并整理得，x3＋(k－4)x＝0，即x(x2＋k－4)＝0　②，因为直线l与函数f(x)＝－x3＋4x的图象有三个交点A，B，C，所以4－k>0，解②式得x＝0或x＝或x＝－，不妨设A(，k)，则|AB|＝·＝，即k2－4k2＋k＋6＝0，即(k－3)(k－2)(k＋1)＝0，解得k＝3或k＝2或k＝－1，均符合4－k>0，所以选项B错误．对于选项C，g(x)＝f(x)－ax2－4x＋a＝－x3－ax2＋a(a≠0)，则g′(x)＝－3x2－2ax＝－3x(x＋)，令g′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.若a>0，则当x<－或x>0时，g′(x)<0；当－<x<0时，g′(x)>0.所以g(x)在(－∞，－)，(0，＋∞)上单调递减，在(－，0)上单调递增．所以当x＝－时，函数g(x)取得极小值，且极小值为g＝－－a＋a＝0，因为a>0，所以解得a＝.若a<0，则当x<0或x>－时，g′(x)<0；当0<x<－时，g′(x)>0.所以g(x)在(－∞，0)，(－，＋∞)上单调递减，在(0，－)上单调递增．所以当x＝0时，函数g(x)取得极小值，且极小值为g(0)＝a＝0，与a<0矛盾，故舍去．综上，若函数g(x)在x＝x0处取得极小值0，则a＝，所以选项C正确．对于选项D，由正方形和f(x)图象的对称性知，若存在四个顶点都在函数f(x)的图象上的正方形MNPQ，则正方形MNPQ的中心是原点O，对角线MP，NQ所在直线斜率均存在且不为0，根据对称性不妨设对角线MP所在直线的方程是y＝tx(t>0)，则由消去y并整理得，x3＋(t－4)x＝0，则4－t>0，解得x＝0或x＝或x＝－，不妨设M(，t)，则|MO|＝·，即|MO|2＝(1＋t2)(4－t)，不妨设N(，－)，则同理得，|NO|2＝(1＋)(4＋)＝(1＋t2)(＋).根据|MO|2＝|NO|2得，(1＋t2)(4－t)＝(1＋t2)(＋)，即4－t＝＋，即4t－t2＝＋，所以4(t－)＝t2＋，令t－＝m，则m2－4m＋2＝0，解得m＝2＋或m＝2－，即t－＝2＋或t－＝ 2－，且0<t<4.因为函数y＝x－在(0，4)上单调递增，且值域为(－∞，)，所以方程t－＝2＋及方程t－＝2－在0<t<4时都有且只有一个根，所以存在四个顶点都在函数f(x)的图象上的正方形，且这样的正方形有两个，故选项D正确．综上，选ACD.答案：ACD12．解析：因为曲线C的方程为x|x|－4y|y|＝4，所以当x≥0，y≤0时，x2＋4y2＝4，即＋y2＝1；当x≥0，y>0时，x2－4y2＝4，即－y2＝1；当x<0，y>0时，－x2－4y2＝4，无意义，舍去；当x<0，y≤0时，－x2＋4y2＝4，即y2－＝1.则曲线C的大致形状如图所示．对于A，曲线－y2＝1(x≥0，y>0)和曲线y2－＝1(x<0，y≤0)的渐近线方程均为y＝x.直线x－2y＋m＝0的斜率为，所以其与渐近线y＝x平行，所以直线x－2y＋m＝0与曲线－y2＝1(x≥0，y>0)和曲线y2－＝1(x<0，y≤0)都最多有一个交点．当直线x－2y＋m＝0过曲线＋y2＝1(x≥0，y≤0)上的点(0，－1)时，m＝－2，此时该直线也过曲线＋y2＝1(x≥0，y≤0)上的点(2，0).若直线x－2y＋m＝0与曲线C有四个交点，则直线x－2y＋m＝0与曲线＋y2＝1(x≥0，y≤0)有两个交点，且与曲线－y2＝1(x≥0，y>0)和曲线y2－＝1(x<0，y≤0)都各有一个交点，由图易知这是不可能的，所以选项A不正确．对于B，|OP|＝(O为坐标原点)，由图易知，当点P(x0，y0)在曲线＋y2＝1(x≥0，y≤0)上时，|OP|＝有最小值，所以x＋y＝x＋1－＝x＋1(0≤x0≤2)，所以当x0＝0时，x＋y有最小值，且最小值为1，所以选项B正确．对于C，作出直线x－2y＋＝0，|x0－2y0＋|的几何意义为点P(x0，y0)到直线x－2y＋＝0的距离的倍，易知直线x－2y＋＝0与渐近线y＝x平行且距离为，所以结合图形可知，|x0－2y0＋|>.方法一　由图可知，当点P(x0，y0)在曲线＋y2＝1(x≥0，y≤0)上时，点P到直线x－2y＋＝0的距离有最大值，设x0＝2cosθ，y0＝sinθ，θ∈[－，0]，则|x0－2y0＋|＝|2cosθ－2sinθ＋|＝|2cos(θ＋)＋|≤2＋，当θ＝－，即x0＝ ，y0＝－时，等号成立．所以|x0－2y0＋|的取值范围为(，2＋]，所以选项C正确．方法二　设直线x－2y＋n＝0，由得，2x2＋2nx＋n2－4＝0，令Δ＝4n2－8(n2－4)＝0，解得n＝2(舍去)或n＝－2，结合图形可知当n＝－2时，直线x－2y－2＝0与曲线＋y2＝1(x≥0，y≤0)相切，此时直线x－2y－2＝0与直线x－2y＋＝0的距离为，所以|x0－2y0＋|的最大值为2＋.所以|x0－2y0＋|的取值范围为(，2＋]，所以选项C正确．对于D，由C的方法二可知，直线x－2y－2＝0与曲线＋y2＝1(x≥0，y≤0)相切，且点(－2，－2)在直线x－2y－2＝0上，作出直线x－2y－2＝0，由图可知当过点(－2，－2)的直线l的斜率大于且小于直线l与曲线－y2＝1(x≥0，y>0)相切时的斜率时，直线l与曲线C有三个交点．直线l的方程为y＋2＝k(x＋2)，与－y2＝1联立并整理得，(1－4k2)x2－8k(2k－2)x－4(2k－2)2－4＝0，令Δ′＝64k2(2k－2)2＋4(1－4k2)[4(2k－2)2＋4]＝0，化简得，4k2－16k＋9＝0，解得k＝或k＝，结合图可知，k＝，所以直线l的斜率的取值范围为(，)，所以选项D正确．综上，选BCD.答案：BCD13．解析：方法一　(x2－)5的展开式的通项Tk＋1＝C(x2)5－k＝(－2)kCx10－，令10－＝0，解得k＝4，所以常数项为(－2)4×C＝16×5＝80.方法二　将(x2－)5看作5个(x2－)相乘，若求展开式中的常数项，则在其中一个(x2－)中取x2，剩下的4个(x2－)中取－，所以常数项为Cx2·＝80.答案：8014．解析：因为an＝n－1，所以abn＝bn－1，所以ab1＋ab2＋…＋ab9＝(b1－1)＋(b2－1)＋…＋(b9－1)＝(b1＋b2＋…＋b9)－9＝－9＝502.答案：50215．解析：设正四面体内切球半径为R，正四面体每个面的面积为S，正四面体的高为h，则由×4SR＝Sh，得R＝.如图所示，设点O1为底面正三角形ABC的中心，则O1即底面正三角形ABC的外接圆的圆心，连接DO1，则DO1⊥平面ABC，由正四面体的对称性可知，正四面体内切球的球心在线段DO1上，设球心为O，连接PO1，因为正四面体ABCD的棱长为6，所以PO1＝6××＝2，所以h＝DO1＝＝＝2 ，所以正四面体内切球半径R＝＝，即OO1＝，连接OP，所以PO＝＝＝.因为Q是正四面体ABCD内切球球面上的动点，所以PO－R≤PQ≤PO＋R，即≤PQ≤2，所以PQ的取值范围为[，2].答案：[，2]16．解析：若(a1a2a3…an－1an)2是一个二进制数，并且a1＝1，an＝0，则(a1a2a3…an－1an)2表示成十进制数为a1×2n－1＋a2×2n－2＋…＋an－1×21＋0×20，因为a1×2n－1，a2×2n－2，…，an－1×21均为2的倍数，所以a1×2n－1＋a2×2n－2＋…＋an－1×21＋0×20是偶数，即一个十进制数表示成二进制数之后，若其末位是0，则这个十进制数是偶数．因为bn＝∏xi＋∏xj，n＝1，2，…，2022，所以b1＝x1＋x2x3x4·…·x2023，b2＝x1x2＋x3x4·…·x2023，b3＝x1x2x3＋x4x5·…·x2023，…，b2022＝x1x2·…·x2022＋x2023.设A＝x1x2·…·xi，B＝xi＋1xi＋2·…·x2023，i＝1，2，…，2022，则bi＝A＋B.因为b1，b2，…，b2022表示成二进制数，其中有1011个数末位是0，所以b1，b2，…，b2022这2022个数中有1011个偶数．若x1，x2，…，xi，…，x2023都是奇数，则A，B都是奇数，所以bi＝A＋B(i＝1，2，…，2022)都是偶数，不符合题意；若x1，x2，…，xi，…，x2023都是偶数，则A，B都是偶数，所以bi＝A＋B(i＝1，2，…，2022)都是偶数，不符合题意．所以数列x1，x2，…，xi，…，x2023中既有偶数又有奇数，不可能都是奇数，也不可能都是偶数．数列x1，x2，…，xi，…，x2023中偶数的个数至少为2，假设只有一个偶数，则A和B一定一个是奇数，另一个是偶数，则bi＝A＋B(i＝1，2，…，2022)是奇数，不符合题意，所以数列x1，x2，…，xi，…，x2023中偶数的个数至少为2.设在数列x1，x2，…，xi，…，x2023中最左端的偶数为xm，最右端的偶数为xk.当i≤m－1时，因为x1，x2，…，xi均为奇数，所以A＝x1x2·…·xi为奇数，因为xi＋1，xi＋2，…，x2023中有偶数，所以B＝xi＋1xi＋2·…·x2023为偶数，所以bi＝A＋B为奇数；当i≥k时，因为x1，x2，…，xi中有偶数，所以A＝x1x2·…·xi为偶数，因为xi＋1，xi＋2，…，x2023均为奇数，所以B＝xi＋1xi＋2·…·x2023为奇数，所以bi＝A＋B为奇数；当m≤i≤k－1时，因为x1，x2，…，xi中至少有一个偶数，所以A＝x1x2·…·xi为偶数，因为xi＋1，xi＋2，…，x2023中至少有一个偶数，所以B＝xi＋1xi＋2·…·x2023为偶数，所以bi＝A＋B为偶数．因为数列b1，b2，…，b2022中有1011个偶数，所以令(k－1)－m＋1＝k－m＝1011，此时，当xm和xk之间的项都是偶数时，符合题意，所以数列x1，x2，…，xi，…，x2023中最多有k－m＋1＝1012(个)偶数，即若将x1，x2，…，xi，…，x2023表示成二进制数，则末位是0的数至多有1012个．答案：101217．解析：(1)证明：因为sinA＝4sinCcosB，所以sin(B＋C)＝4sinCcosB，即sinBcosC＋cosBsinC＝4sinCcosB，即sinBcosC＝3sinCcosB，所以tanB＝3tanC.(2)因为sinA＝4sinCcosB，所以a＝4c·，即a2＋2c2－2b2＝0.又b＝2，c＝2，所以a＝4， 所以c2＋b2＝a2，所以A＝，则△ABC外接圆的半径R＝a＝2，所以△ABC外接圆的面积S＝πR2＝4π.18．解析：(1)依题意得，几何体Γ的体积V＝××π×12×＝.(2)方法一　如图，过点O作OM⊥OA，分别以OA，OM，OB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，0，)，B(0，0，)，D(－，，0)，则＝(－1，0，)，＝(－，，0)，＝(－1，0，).设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒，令y＝3，得n＝(，3，2).设直线AB与平面ACD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，∴直线AB与平面ACD所成角的正弦值为.方法二　由题意得，AC＝CD＝＝＝， 由余弦定理得，AD2＝OA2＋OD2－2OA·ODcos＝3，∴AD＝.设AD的中点为E，如图，连接CE，∵CA＝CD，∴CE⊥AD，根据勾股定理得CE＝1，∴S△ACD＝AD×CE＝××1＝.S△AOD＝×1×1×sin＝.设点B到平面ACD的距离为h，∵VBACD＝VBAOD－VCAOD＝S△AOD·BC，∴S△ACD·h＝S△AOD·BC，即×h＝×，∴h＝.易知AB＝2.设直线AB与平面ACD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.19．解析：(1)如图，由点H(2，2)，得直线OH的斜率为1.因为OH⊥MN，所以直线MN的斜率为－1，故直线MN的方程为y－2＝－1(x－2)，整理得直线MN的方程为x＋y＝4.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得，得y2＋2py－8p＝0，Δ>0，则.由OM⊥ON，得·＝0，即x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝0，因为y1y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以－4p2＝－8p，得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设点A(x，y)是直线l上任一点，则点A关于原点的对称点A′(－x，－y)在直线MN上，所以－x＋(－y)＝4，即直线l的方程为x＋y＝－4.设点Q(x0，y0)(x0≥0)，则y＝4x0，点Q到直线l的距离d＝＝＝， 当y0＝－2时，d取得最小值，此时，Q(1，－2).20．解析：(1)设数列{an}的公比为q(q>0)，由已知得3q＋3q2＝36，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍)，所以an＝3·3n－1＝3n.因为3Sn＋n2＝3nbn＋n，所以当n≥2时，3Sn－1＋(n－1)2＝3(n－1)bn－1＋n－1，两式作差得3(n－1)bn＝3(n－1)bn－1＋2(n－1)(n≥2)，因为n≥2，所以bn－bn－1＝，即数列{bn}是首项为，公差为的等差数列，所以bn＝＋(n－1)×＝n.(2)27b－8Man≥0，即M≤＝，设cn＝，则M小于等于数列{cn}的最大项．设n＝k(k∈N*)时，cn最大，因为c1＝，c2＝>c1，所以k>1.所以(k≥2)，即(k≥2)，即(k≥2)，即(k≥2)，解得.即2.5≤k≤3.5(k∈N*)，所以k＝3.故数列{cn}的最大项是c3＝＝1，所以M≤1，即实数M的取值范围是(－∞，1].21．解析：(1)由题意知，若混合血样呈阴性，则X＝，P(X＝)＝0.996k，若混合血样呈阳性，则X＝＋1，P(X＝＋1)＝1－0.996k，所以E(X)＝×0.996k＋(1＋)×(1－0.996k)＝1＋－0.996k＝1＋－(1－0.004)k≈＋0.004k.令f(x)＝＋0.004x，则f′(x)＝0.004－，当x∈(0，5)时，f′(x)<0，当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，5)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增．因为k∈N*，5≈5×3.16＝15.8，且f(15)＝＋0.004×15≈0.1267，f(16)＝＋0.004×16＝0.1265，所以当k＝16时，E(X)取得最小值，且E(X)的最小数点值为0.1265.所以当k取16时，每人血样化验次数X的数学期望最小，此时化验总次数为4000×0.1265＝506.(2)设每组k人时，每组化验总费用为Y元， 若混合血样呈阴性，则Y＝k＋4，若混合血样为阳性，则Y＝6k＋4，且P(Y＝k＋4)＝0.992k，P(Y＝6k＋4)＝1－0.992k，所以E(Y)＝(k＋4)×0.992k＋(6k＋4)(1－0.992k)＝6k－5k×0.992k＋4.每个人血样的化验费用为＝6－5×0.992k＋＝6－5×(1－0.008)k＋≈6－5×(1－0.008k)＋＝1＋0.04k＋≥1＋2＝1.8，当且仅当0.04k＝，即k＝10时取等号，所以当k取10时，每人血样化验费用的数学期望最小，此时化验总费用为4000×1.8＝7200(元).22．解析：(1)要证y＝f(x)是(0，＋∞)上的“曲折函数”，即证存在x′1，x2∈(0，＋∞)，且x′1≠x2，使得f′(x′1)＝f′(x2)，令g(x)＝f′(x)＝＋2x(a>0，x>0)，则转化为证∃x′1，x2∈(0，＋∞)，x′1≠x2，使得g(x′1)＝g(x2).任取m>4a，考虑关于x的方程g(x)＝m的正实数根的情况．＋2x＝m⇔2x2－mx＋2a2＝0，判别式Δ＝m2－16a2>0，故关于x的方程2x2－mx＋2a2＝0有两个不等实根x′1，x2.由根与系数的关系可知，x′1＋x2＝>0，x′1x2＝a2>0，从而x′1，x2>0.即关于x的方程g(x)＝m有两个不同的正实数根x′1，x2，所以g(x′1)＝g(x2)，即y＝f(x)是(0，＋∞)上的“曲折函数”．(2)设函数F(x)＝(a－x0)f′(x)－f(a)＋f(x0)，将f′(x)＝＋2x及f(x)＝2a2lnx＋x2代入，可得F(x)＝(a－x0)(＋2x)－2a2ln－a2＋x，则F′(x)＝(2x2－2a2).因为x0<a，所以当x∈(0，a)时，F′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，F′(x)>0，故F(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．取x＝x0，代入函数y＝F(x)，可得F(x0)＝(a－x0)(＋2x0)－2a2ln－a2＋x＝a2[－＋－2ln－1].令＝t，其中t>1，故F(x0)＝a2(2t－3－＋－2lnt).构造函数H(t)＝2t－3－＋－2lnt(t>1)，则H′(t)＝2－＋－＝2>0，从而H(t)在(1，＋∞)上单调递增，故H(t)>2×1－3－＋－2ln1＝0，所以F(x0)>0　①.再取x＝a，代入函数y＝F(x)，可得F(a)＝4a(a－x0)－2a2ln－a2＋x＝a2(3－4＋ ＋2ln).令＝p，其中0<p<1，则F(a)＝a2(3－4p＋p2＋2lnp).构造函数S(p)＝3－4p＋p2＋2lnp，p∈(0，1)，则S′(p)＝2>0，所以S(p)在(0，1)上单调递增，故S(p)<3－4×1＋12＋2ln1＝0，所以F(a)<0　②.又F(x)在(x0，a)上单调递减，所以结合①②及零点存在定理知，必存在唯一的x1∈(x0，a)，使得F(x1)＝0，且对任意的x∈(x1，a)，F(x)<F(x1)＝0成立．证毕．