统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练3数列文（附解析）

数列(3)1．[2023·四川雅安三模(文)]已知数列{an}，满足a2＝，3an＋1－an＝0(n∈N*)；正项等差数列{bn}满足b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)证明：ab1＋ab2＋…＋abn<.2．[2023·甘肃武威模拟预测(文)]已知数列{an}是等比数列，且8a3＝a6，a2＋a5＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn，并证明：Tn<. 3．[2023·黑龙江哈尔滨三中模拟(文)]已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a7＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足bn＝an·2an+12，求数列{bn}的前n项和Sn.4．[2023·全国乙卷(文)]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 5．[2023·贵州文德民族中学模拟]已知数列{an}的前n项和是Sn，且2Sn＝3an－3，等差数列{bn}中，b3＝23，b5＝19.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；(2)定义：a*b＝记cn＝an*bn，求数列{cn}的前20项和T20.6．[2023·江西南昌三模]{an}是各项均为正数的等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＝2，4Sn＝anan＋1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，若{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<. 数列（3）1．解析：（1）∵3an＋1－an＝0，∴3an＋1＝an，即＝.又当n＝1时，有3a2－a1＝0，且a2＝，∴a1＝，而＝也符合上式，∴数列{an}是首项、公比均为的等比数列，∴an＝；设正项等差数列{bn}的公差为d，∵b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列，∴（b2－1）2＝b1b3，即（2＋d－1）2＝2（2＋2d），解得d＝3或d＝－1（舍），∴bn＝2＋3（n－1）＝3n－1，故an＝，bn＝3n－1.（2）证明：由（1）可得an＝，bn＝3n－1，∴ab1＋ab2＋…＋abn＝a2＋a5＋…＋a3n－1＝＋＋…＋＝＝[1－]<.2．解析：（1）设等比数列{an}的公比是q，首项是a1.由8a3＝a6，可得q＝2.由a2＋a5＝36，可得a1q（1＋q3）＝36，所以a1＝2，所以an＝2n.（2）证明：因为bn＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（－）＋（－）＋…＋（－）＝－＝－.又>0，所以Tn<.3．解析：（1）a1＝1，a3＋a7＝18，因为{an}是等差数列，所以a1＋2d＋a1＋6d＝18，所以d＝2，则数列{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝1＋2（n－1）＝2n－1.（2）bn＝an·2an+12＝（2n－1）·2n，所以{bn}的前n项和Sn为Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn， 则Sn＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋（2n－3）2n－1＋（2n－1）2n，　①①两边同时乘以2得2Sn＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋（2n－3）2n＋（2n－1）2n＋1，　②①－②得：－Sn＝1·21＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n－（2n－1）2n＋1，化简为－Sn＝1·21＋2·－（2n－1）2n＋1＝（－2n＋3）2n＋1－6，所以Sn＝（2n－3）2n＋1＋6.4．解析：（1）设{an}的公差为d，则，解得a1＝13，d＝－2.所以{an}的通项公式为an＝13＋（n－1）·（－2）＝15－2n.（2）由（1）得|an|＝.当n≤7时，Tn＝13n＋×（－2）＝14n－n2，当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋（2n－15）＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2（n－7）－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2.综上，Tn＝.5．解析：（1）由题意，当n＝1时，2S1＝3a1－3⇒a1＝3≠0.当n≥2时，2Sn＝3an－3，2Sn－1＝3an－1－3.两式相减，得2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1.∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列．∴an＝3n.设数列{bn}的公差为d，∵b5－b3＝19－23＝－4＝2d，∴d＝－2⇒b1＝27.∴bn＝29－2n.（2）由an≤bn⇒3n≤29－2n⇒n≤2.∴cn＝an*bn＝∴T20＝a1＋a2＋b3＋b4＋b5＋…＋b20＝3＋32＋×18＝3＋9＋×18＝12＋18×6＝120.6．解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵4Sn＝anan＋1，∴4Sn＋1＝an＋1an＋2，两式作差得4an＋1＝an＋1（an＋2－an）＝2d·an＋1， ∵an＋1>0，∴2d＝4，解得d＝2，∴an＝2＋2（n－1）＝2n.（2）证明：由（1）得：Sn＝＝n2＋n，∴bn＝＝＝（－），∴Tn＝（1－＋－＋－＋－＋…＋－＋－＋－）＝（1＋＋－－－）＝∵＋＋>0，∴Tn<×＝.