统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练3数列理（附解析）

数列(3)1．[2023·云南昆明一模]已知数列{an}满足a1＝，an＋1＋＝1.(1)设bn＝，证明：{bn}是等差数列；(2)设数列的前n项和为Sn，求Sn.2．[2023·安徽巢湖市第一中学模拟预测]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝30，S5－S4＝16.(1)求an；(2)记bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<. 3．[2023·全国甲卷(理)]记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和Tn.4．[2023·内蒙古呼和浩特二模]从①a1＋a2＋…＋an＝2n＋1－2，②Sn＝2an－2，这两个 条件中选择一个补充到下面问题中，并完成解答．问题：已知数列{an}的前n项和为Sn，且____，{bn}为等差数列，b1＝1，b2，a2，b6成等差数列．(1)写出所选条件的序号，并求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．5．[2023·广西桂林二模]已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等比数列；②数列{}是等比数列；③a2＝a1(1－a1).注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 6．[2023·江西南昌三模]已知数列{an}为等比数列，且a1＝1，anan＋1＝－22n－1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.数列（3）1．解析：（1）证明：因为bn＋1－bn＝－＝－＝－＝－＝1，所以数列{bn}是以1为公差的等差数列．（2）因为b1＝＝3，所以bn＝3＋（n－1）×1＝n＋2，由＝n＋2得an＝.故＝＝，所以Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＋ ＝＝＝＝－.2．解析：（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d，由，得，解得，∴an＝2n＋6.（2）证明：∵bn＝＝＝，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝×＝×<×＝.∴Tn<.3．解析：（1）当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝（n－1）an－1，两式相减得2an＝nan－（n－1）an－1，即（n－1）an－1＝（n－2）an，当n＝2时，可得a1＝0，故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·，整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1（n≥3）.当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1.（2）方法一　令bn＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋①，Tn＝＋＋…＋＋②，由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－， 即Tn＝2－.方法二　设bn＝，所以bn＝＝＝（n＋0）×，故a＝，b＝0，q＝.故A＝＝＝－1，B＝＝＝－2，C＝－B＝2.故Tn＝（An＋B）·qn＋C＝（－n－2）＋2，整理得Tn＝2－.4．解析：（1）选择条件①：由题意知：a1＋a2＋…＋an＝2n＋1－2，即Sn＝2n＋1－2，当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，适合n＝1.综上数列{an}的通项公式为an＝2n.选择条件②：由题意知：Sn＝2an－2，当n＝1时，a1＝2a1－2解得a1＝2，当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n.∵b2，a2，b6为等差数列，∴2a2＝b2＋b6＝8，又∵数列{bn}为等差数列，设公差为d且b1＝1，∴b2＋b6＝2b4＝2（b1＋3d）＝8，解得d＝1，所以等差数列{bn}的通项公式为bn＝1＋（n－1）＝n.（2）由（1）知，an＝2n，bn＝n，∴cn＝＝＝－，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，∴Tn＝.5．解析：选①②作条件证明③：设＝aqn（a>0，q>0）， 则1－Sn＝a2q2n，Sn＝1－a2q2n.当n＝1时，a1＝S1＝1－a2q2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（1－a2q2n）－（1－a2q2n－2）＝a2q2n－2（1－q2）；因为{an}也是等比数列，所以a1＝1－a2q2也满足上式，1－a2q2＝a2（1－q2），解得a2＝1.所以an＝q2n－2（1－q2），则a1＝1－q2，a2＝q2（1－q2）.所以a2＝a1（1－a1）.选①③作条件证明②：因为a2＝a1（1－a1），{an}是等比数列，所以公比q＝＝1－a1，所以Sn＝＝1－（1－a1）n.即＝，＝，因为＝＝.所以{}是等比数列．选②③作条件证明①：设＝aqn（a>0，q>0），则1－Sn＝a2q2n，Sn＝1－a2q2n.当n＝1时，a1＝S1＝1－a2q2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（1－a2q2n）－（1－a2q2n－2）＝a2q2n－2（1－q2）.因为a2＝a1（1－a1），所以a2q2（1－q2）＝（1－a2q2）a2q2，解得a2＝1.所以an＝q2n－2（1－q2），n≥1.则＝＝q2.所以{an}为等比数列．6．解析：（1）因为anan＋1＝－22n－1，所以an＋1an＋2＝－22n＋1，两式相除可得＝4，即q2＝4，因为anan＋1＝aq，所以aq＝－22n－1<0，可得q<0，所以q＝－2，所以an＝a1qn－1＝（－2）n－1.（2）bn＝＝－， 则Sn＝－　①＝－　②①－②可得：＝－＝－＝－2，故Sn＝－4.