统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练14解析几何理（附解析）

解析几何(14)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2023·云南省昆明市测试]抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y2＝1的渐近线的距离为(　　)A．B．C．D．22．[2023·广东省湛江市高三一模]已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y＝2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且|MF|＝6，则p＝(　　)A．4B．6C．8D．103．[2023·全国甲卷(理)]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则|OP|＝(　　)A．B．C．D．4．[2023·河北省邯郸市高三一模]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为(　　)A．B．2C．2D．45．[2023·福建省六校联考]过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率大于0的直线l交抛物线于点A，B(点A位于第一象限)，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，则直线AB的斜率为(　　)A．2B．2C．D．6．[2023·全国乙卷(理)]设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)A．(1，1)B．C．D．7．[2023·成都诊断性检测]已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过F的直线与抛物线相交于A，B两点，P，若PB⊥AB，则|AF|＝(　　)A．B．2C．D．38．[2023·河北省邯郸市高三一模]设F1，F2是双曲线C：－＝1的两个焦点，O为 坐标原点，点P在C的左支上，且＝2，则△PF1F2的面积为(　　)A．8B．8C．4D．49．[2023·广东深圳模拟]已知椭圆C：＋＝1，F1，F2分别是其左、右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，·>0恒成立，则实数m的取值范围为(　　)A．(－3，0)∪(0，3)B．[－3，0)∪(0，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)10．[2023·温州适应性测试]设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)A．B．C．2D．11．[2023·河南省高中毕业班测试]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点(，)，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为(　　)A．B．C．D．12．[2023·四川遂宁模拟]已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的长半轴长为2，且过点M(0，1).若过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，P为椭圆上任意一点，记点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，则的最大值为(　　)A．2B．C．5D．[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2023·辽宁省丹东市高三质量监测]已知双曲线C经过坐标原点O，两个焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(3，0)，则C的离心率为________．14．[2023·济南名校联考]可知F1，F2为双曲线x2－＝1的左、右焦点，P为双曲线 右支上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的面积为________．15．[2023·辽宁省沈阳市高三质量监测]已知抛物线x2＝4y，点M(t，－2)，t∈[－1，1]，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，直线AB与y轴交于点P，则的取值范围是________．16．[2023·山东济南模拟]已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，则椭圆的方程为________；若点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围是________．解析几何（14）1．B　因为抛物线的焦点为（1，0），双曲线的渐近线为x±y＝0，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d＝＝，故选B.2．A　设M（x0，y0），则，解得p＝4，故选A.3．B　方法一　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图，不妨令F1（－，0），F2（，0）.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝　①，由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6　②.由①②，解得mn＝. 设|OP|＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得＝－，得x2＝＝＝，所以|OP|＝.方法二　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图（图同方法一），设点P的坐标为（x0，y0），α＝∠F1PF2，则cos∠F1PF2＝cosα＝，故sin∠F1PF2＝sinα＝＝＝，则tan＝或tan＝2（舍去）.故△F1PF2的面积S△F1PF2＝b2tan＝6×＝3.又S△F1PF2＝×2c|y0|＝|y0|，故y＝3，又＋＝1，所以x＝，|OP|2＝x＋y＝，|OP|＝.方法三　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图（图同方法一），设点P的坐标为（x0，y0），利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝.因为cos∠F1PF2＝，所以sin∠F1PF2＝，故S△F1PF2＝＝3.又S△F1PF2＝×2c|y0|＝|y0|，故y＝3，又＋＝1，所以x＝，|OP|2＝x＋y＝，|OP|＝.方法四　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图（图同方法一），不妨令F1（－，0），F2（，0）.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝　①， 由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6　②.由①②，解得mn＝.因为＝（＋），所以||2＝（m2＋n2＋2mncos∠F1PF2）＝＝，所以|OP|＝.4．B　∵PF的中点到y轴的距离为3，∴＝3，即＝3，解得xP＝4，代入抛物线方程可得P（4，4），因为F点的坐标为（2，0），所以直线PF的斜率为＝2.故选B.5．B　作BB1垂直准线于B1，在Rt△BCB1中，cos∠CBB1＝＝＝，sin∠CBB1＝＝，所以tan∠CBB1＝2，所以直线AB的斜率为2.故选B.6．D　设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），由点A，B在双曲线上，得，两式作差，得x－x＝，即（x1－x2）（x1＋x2）＝，化简得＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·.由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3 ，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D.7．D　解法一　由题意，知F（0，1），直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y＝kx＋1（k≠0），A（x1，y1）（y1>0），B（x2，y2）（y2>0），由，消去x，得y2－（4k2＋2）y＋1＝0，Δ>0，所以y1y2＝1　①因为P，所以|PF|＝1＋＝.由抛物线的定义，知|BF|＝y2＋1.因为PB⊥AB，所以△PBF为直角三角形，所以|BF|2＋|BP|2＝|PF|2，即（y2＋1）2＋x＋（y2＋）2＝，即（y2＋1）2＋4y2＋（y2＋）2＝，得y2＝，代入①，解得y1＝2，所以|AF|＝y1＋1＝2＋1＝3，故选D.解法二　由题意，知F（0，1），直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y＝kx＋1（k≠0），A（x1，y1）（y1>0），B（x2，y2）（y2>0），由，消去x，得y2－（4k2＋2）y＋1＝0，所以y1y2＝1，所以x1x2＝－4　①因为PB⊥AB，所以·＝0，即（x2，y2＋）·（x2－x1，y2－y1）＝0，结合①整理，得2y＋15y＋6y2－7＝0，即（y2＋7）（y2＋1）（2y2－1）＝0，得y2＝，所以y1＝2，所以|AF|＝y1＋1＝2＋1＝3，故选D.8．A　由＋＝＝＝||＝2，不妨设F1（－2，0），F2（2，0），所以|OP|＝|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝48.又|PF1|－|PF2|＝2a＝4，所以16＝（|PF1|－|PF2|）2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝48－2|PF1||PF2|， 解得：|PF1||PF2|＝16，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝8.故选A.9．C　当点P为短轴上的顶点时，∠F1PF2最大，要使·>0恒成立，则∠F1PF2为锐角，即∠F1PO<45°（O为坐标原点），即tan∠F1PO＝<1，所以c2<b2.而c2＝a2－b2＝m2＋9－m2＝9，所以9<m2，解得m>3或m<－3，故选C.10．B　解法一　以OF为直径的圆的方程为x2＋y2－cx＝0，圆O的方程为x2＋y2＝a2，所以PQ所在直线的方程为x＝，把x＝代入x2＋y2＝a2，得|PQ|＝，因为|PQ|＝|OF|，所以＝c，即2ab＝c2＝a2＋b2，所以a＝b，所以双曲线的离心率e＝＝，故选B.解法二　因为|PQ|＝|OF|，所以PQ为以OF为直径的圆的直径，所以可取P，又|OP|＝a，所以＝a，所以离心率e＝＝，故选B.11．B　由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，a＝b，将点（，）代入双曲线方程得a＝b＝1，根据对称性，不妨设P点在第一象限，P到x轴的距离为h，|F1F2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝（|PF1|－|PF2|）2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝4，由三角形面积公式得|PF1|·|PF2|sin60°＝|F1F2|·h，得h＝.故选B.12．B　由题意可得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1.设P（x，y）.①若直线l1，l2中的一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，不妨设直线l1的方程为x＝0，则l2的方程为y＝1.则d＋d＝x2＋（1－y）2，因为P在椭圆上，所以x2＝4－4y2，所以d＋d＝5－3y2－2y＝5－3（y＋）2＋，y∈[－1，1]，所以当y＝－时，d＋d有最大值，所以的最大值为.②当直线l1，l2的斜率存在，且不为0时，设直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，则l2的方程为y＝－x＋1，即x＋ky－k＝0. 则d1＝，d2＝，所以d＋d＝＝x2＋y2－2y＋1＝4－4y2＋y2－2y＋1＝5－3y2－2y，由①可得的最大值为.故选B.13．答案：2解析：双曲线C经过坐标原点O，两个焦点坐标分别为F1（－1，0），F2（3，0），可得2c＝4，所以c＝2，c－a＝1，所以a＝1，所以双曲线的离心率为：e＝＝2.14．答案：4解析：因为点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝2，|PF1|＝4，又易知|F1F2|＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2×4＝4.15．答案：解析：设切点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线y＝x2，y′＝x，∴切线MA：x1x＝2y1＋2y，同理切线MB：x2x＝2y2＋2y，又点M是两条切线的交点，所以x1t＝2y1－4，x2t＝2y2－4.所以直线AB的方程为tx＝－4＋2y，即y－2＝－.此直线恒过P（0，2），则＝＝＝－.，消去y，得x2－2tx－8＝0，∴x1＋x2＝2t，x1x2＝－8，∴＝＋＋2＝－.∵t∈[－1，1]，∴－∈，即－≤＋＋2≤0，令m＝，则－≤m＋＋2≤0， 即，解得－2≤m≤－，∴∈，即＝－∈.16．答案：＋y2＝1　[1，4]解析：由已知得2b＝2，故b＝1，∴a2－c2＝b2＝1.∵△F1AB的面积为，∴（a－c）b＝，∴a－c＝2－，∴a＝2，c＝，则椭圆的方程为＋y2＝1.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴＋＝＝＝，又2－≤|PF1|≤2＋，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤＋≤4.即＋的取值范围为[1，4].