统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练13解析几何理（附解析）

解析几何(13)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A(－2，0)，B(4，a)两点到直线l：3x－4y＋1＝0的距离相等，则a＝(　　)A．2B．C．2或－8D．2或2．双曲线x2－2y2＝2的焦点坐标为(　　)A．(±1，0)B．(±，0)C．(0，±1)D．(0，±)3．已知直线l：y＝x被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝r2(r>0)截得的弦长为2，则r＝(　　)A．B．C．3D．44.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为(　　)A．B．C．D．5．已知圆C：(x－1)2＋y2＝4与抛物线y＝ax2(a>0)的准线相切，则a＝(　　)A．B．C．4D．86．已知坐标原点O，直线l与圆x2＋(y－3)2＝1相切，直线l与圆x2＋y2＝相交于M，N两点，·＝0，则l的斜率为(　　)A．±B．±C．－或－D．±或± 7．[2023·全国甲卷(理)]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　)A．B．C．D．8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作C的渐近线的垂线，垂足为点P，|PF1|＝a，则C的离心率为(　　)A．B．2C．D．9.[2023·辽宁省五校协作体模拟]如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，点M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交抛物线于P点，记|AB|＝λ|FP|，则λ的值为(　　)A．2B．4C．6D．810．[2023·湘豫名校高三联考]已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：－＝1(b>a>0)上有一点P(，m)(m>0)，点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为，则双曲线的标准方程是(　　)A．x2－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝111．返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列选项错误的是(　　) 　A．椭圆的长轴长为4B．线段AB长度的取值范围是[4，2＋2]C．△ABF面积的最小值是4D．△AFG的周长为4＋412．已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为2，M为CC1的中点，P为侧面BCC1B1上的动点，且满足AM∥平面A1BP，则下列结论错误的是(　　)A．AM⊥B1MB．CD1∥平面A1BPC．AM与A1B1所成角的余弦值为D．动点P的轨迹长为[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若直线l：x－my＋9＝0被圆C：x2＋y2＋2x－24＝0截得线段的长为6，则实数m的值为________．14．已知函数f(x)＝xlnx－ax2＋x(a∈R)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l恒过定点________．15．[2023·全国乙卷(理)]已知点A在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．16．设F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，|PF1|－|PF2|＝4，那么双曲线C的离心率为________． 解析几何（13）1．D　因为A（－2，0），B（4，a）两点到直线l：3x－4y＋1＝0的距离相等，所以有＝⇒|13－4a|＝5⇒a＝2，或a＝，故选D.2．B　双曲线x2－2y2＝2，即－y2＝1，所以a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝3，即c＝，所以焦点坐标为（±，0）；故选B.3．A　圆心到直线的距离d＝＝，弦长的一半为1，r＝＝.故选A.4．B　如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则A（，4），B（－，2），直线AB：＝，整理为x－y＋＝0，原点O到直线距离为＝，故选B.5．A　因为圆C：（x－1）2＋y2＝4的圆心为（1，0），半径为r＝2，抛物线y＝ax2（a>0）的准线为y＝－，所以＝2，即a＝，故选A.6．D　当直线l的斜率不存在时，由直线l与圆x2＋（y－3）2＝1相切可得直线l的方程为x＝±1，此时直线l与圆x2＋y2＝相离，故不满足；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0，因为直线l与圆x2＋（y－3）2＝1相切，所以＝1　①，因为直线l与圆x2＋y2＝相交于M，N两点，·＝0，所以OM⊥ON，所以圆心O到直线l的距离为，即＝　②，由①②可解得m＝－3或m＝1，k＝±或k＝±，故选D. 7．D　根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．方法一　由，得5x2－16x＋12＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝|x1－x2|＝＝，故选D.方法二　则圆心（2，3）到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝，故选D.8．D　由题意得F2（c，0）到一条渐近线bx－ay＝0的距离为|PF2|＝＝b，则|OP|＝a，cos∠PF2O＝，在△F1PF2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|cos∠PF2O，即5a2＝b2＋4c2－2b·2c·，得5a2＝4c2－3（c2－a2），则离心率e＝＝，故选D.9．B　解法一　依题意，F（1，0），设直线l的方程为x＝my＋1，由消去x，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝－4，y1＋y2＝4m，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2＝4m2＋2，则＝2m2＋1，＝2m，因为M为线段AB的中点，所以M（2m2＋1，2m）.设P（x0，2m），因为点P在抛物线上，所以4m2＝4x0，即x0＝m2，所以P（m2，2m）.由抛物线的定义可得，|PF|＝m2＋1，|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋2＋2＝4m2＋4，所以λ＝＝＝4，故选B.解法二　不妨设直线AB⊥x轴，因为AB过焦点F，所以|AB|＝4，此时点M即焦点F，点P即原点O，所以|FP|＝1，所以λ＝＝＝4，故选B.10．C　据题意，双曲线的半焦距c＝，可设一条平行线方程为y－m＝－（x－ ），由，解得xA＝，则|OA|＝，又点P到直线y＝x的距离d＝，∴·＝＝，又－＝1⇒5b2－a2m2＝a2b2，∴ab＝，又c＝，解得a＝，b＝，所以双曲线的标准方程是－＝1，故选C.11．C　由题知，椭圆中的几何量b＝c＝2，得a＝2，则2a＝4，A正确；AB＝OB＋OA＝2＋OA，由椭圆性质可知2≤OA≤2，所以4≤AB≤2＋2，B正确；记∠AOF＝θ，则S△ABF＝S△AOF＋S△OBF＝OA·OFsinθ＋OB·OFsin（π－θ）＝OAsinθ＋2sinθ＝（OA＋2）sinθ，取θ＝，则S△ABF＝1＋OA≤1＋×2<4，C错误；由椭圆定义知，AF＋AG＝2a＝4，所以△AFG的周长L＝FG＋4＝4＋4，D正确．故选C.12．A　如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则A（0，0，2），A1（0，2，2），B（0，0，0），M（2，1，0），P（x，y，0），所以＝（0，－2，－2），＝（x，y，0），＝（2，1，－2），由AM∥平面A1BP，得＝a＋b，即，化简可得：3x－2y＝0，所以动点P在直线3x－2y＝0上，对于选项A：＝（2，1，－2），＝（2，－1，0），·＝2×2＋1×（－1）＋（－2）×0＝3≠0，所以与不垂直，所以A选项错误；对于选项B：CD1∥A1B，A1B⊂平面A1BP，CD1⊄平面A1BP，所以CD1∥平面A1BP，B选项正确；对于选项C：＝（0，0，－2），cos〈，〉＝＝，C选项正确；对于选项D：动点P在直线3x－2y＝0上，且P为侧面BCC1B1上的动点，则P在线段P1B上，P1（，2，0），所以P1B＝＝，D选项正确；故选A.13．答案：±解析：圆C：x2＋y2＋2x－24＝0⇒（x＋1）2＋y2＝25的圆心坐标为（－1，0），半径为5，圆心（－1，0）到直线l：x－my＋9＝0的距离d＝＝.据题意，得（）2＋（）2＝52，解得m＝±.14．答案：（，0）解析：函数f（x）＝xlnx－ax2＋x（a∈R）的定义域为（0，＋∞），由f（x）＝xlnx－ax2＋x，得f′（x）＝lnx＋2－2ax，则f′（1）＝2－2a.又f（1）＝1－a，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程为y－（1－a）＝2（1－a）（x－1），即y＝2（1－a）（x－），由可得， 所以直线l恒过定点（，0）.15．答案：解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以A到准线的距离为1－＝.16．答案：解析：由题意|PF1|－|PF2|＝2a＝4，则a＝2，又a2＋b2＝c2，则c＝2，所以双曲线C的离心率为e＝＝.