统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练9数列理（附解析）

数列(9)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2023·洛阳统考]在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a3a5＝64，则数列{an}的前10项和等于(　　)A．511B．512C．1023D．10242．[2023·贵阳摸底考试]等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝51，则2a10－a11＝(　　)A．2B．3C．4D．63．[2023·湖南省衡阳市高三模拟]数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*都有an＋1＝1＋an＋n，则a10＝(　　)A．54B．55C．56D．574．[2023·湖北省高三联合测评]已知等差数列{an}对任意正整数n都有an－2an＋1＋3an＋2＝6n＋8，则a2＝(　　)A．1B．8C．5D．45．[2023·湖北省随州市一中高三模拟]已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n，Sn为数列{an}的前n项和，则S2017的值为(　　)A．2017n－mB．n－2017mC．mD．n6．[2023·江苏省常州市四校联考]已知数列{an}满足an＋1＝a－an＋1(n∈N*)，设Sn＝＋＋…＋，且S9＝，则数列{an}的首项a1的值为(　　)A．B．1C．D．27．[2023·合肥调研]设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝an－，则S5＝(　　)A．81B．121C．243D．3648．[2023·全国乙卷(理)]已知等差数列的公差为，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝，则ab＝(　　)A．－1B．－C．0D．9．[2023·山东省新高考高三联考]《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，遂千百五二十岁，……生数皆终，万物复苏，天以更远作纪历”，某老年公寓住 有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90－100)，其余19人的年龄依次相差一岁，则年龄最小者的年龄为(　　)A．65B．66C．67D．6810．[2023·十堰模拟]如图是谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形，在所给的四个三角形图案中，阴影小三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是(　　)A．an＝3n－1B．an＝2n－1C．an＝3nD．an＝2n－111．[2023·河北省保定市定州中学高三期中]已知{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝(n∈N*)，Sn＝a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an，则5Sn－4nan＝(　　)A．n－1B．nC．2nD．n212．[2023·河北省保定市定州中学高三模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)A．λ>B．λ>C．λ<D．λ<[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2023·河北省衡水中学高三二调]已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a＋b·2n，且a2，9，a5成等差数列，则a－b的值为________．14．[2023·福建省名校联盟高三大联考]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．15．[2023·南京学情调研]已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Sn＝anan＋1，n∈N*，则a4＝________；若a1＝2，则S20＝________．16．[2023·重庆市第一中学高三期中]已知等比数列{an}的公比为q，且0<a1<1，a2020＝1，则q的取值范围为________；能使不等式＋＋…＋≤0成立的最大正整数m＝________． 数列（9）1．C　设{an}的公比为q，q>0，由a2＝2，得a3a5＝a2q·a2q3＝22·q4＝4q4，又a3a5＝64，所以4q4＝64，q4＝16，所以q＝2，an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－1.所以其前10项和S10＝＝＝210－1＝1023，故选C.2．B　解法一　∵S17＝51，∴＝51，可得a1＋a17＝6＝2a9，解得a9＝3，∴2a10－a11＝a9＋a11－a11＝a9＝3.故选B.解法二　S17＝17a9＝51，得a9＝3，则2a10－a11＝a9＋a11－a11＝a9＝3.故选B.3．B　对任意的n∈N*都有an＋1＝1＋an＋n，则an＋1－an＝n＋1，∴a10＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（a10－a9）＝1＋2＋3＋…＋10＝＝55，故选B.4．D　因为等差数列{an}对任意正整数n都有an－2an＋1＋3an＋2＝6n＋8当n＝1时，a1－2a2＋3a3＝14，整理得：a1－2a1－2d＋3a1＋6d＝14，可得：2a1＋4d＝14，即a3＝7①，当n＝2时a2－2a3＋3a4＝6×2＋8，整理得：（a3－d）－2a3＋3（a3＋d）＝20，可得：a3＋d＝10②，将①代入②，可得d＝3，所以a2＝a3－d＝7－3＝4.故选D.5．C　由题设可得an＋2＝an＋1－an＝an－an－1－an＝－an－1，则an＋3＝－an，an＋6＝an，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝m＋n＋n－m＋（－m）＋（－n）＋（－n＋m）＝0，而2017＝336×6＋1，所以S2017＝a1＝m，故选C.6．C　若存在an＝1，由an＝a－an－1＋1，则可得an－1＝1或an－1＝0，由Sn＝＋＋…＋可得an≠0，由S9＝可得a10≠1，所以{an}中恒有an≠1，由an＋1＝a－an＋1，可得an＋1－1＝an（an－1），所以＝＝－，即＝－， 所以Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－，所以S9＝－＝，即＝＋＝＝2，所以＝2，则a1－1＝，所以a1＝.故选C.7．B　当n≥2时，由Sn＝an－　①，得Sn－1＝an－1－　②.①－②，得an＝an－an－1，即an＝3an－1.又a1＝S1＝a1－，解得a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以S5＝＝121，故选B.8．B　方法一　由题意得an＝a1＋（n－1），cosan＋3＝cos[a1＋（n＋2）]＝cos（a1＋n＋）＝cos（a1＋n＋2π－）＝cos（a1＋n－）＝cosan，所以数列{cosan}是以3为周期的周期数列，又cosa2＝cos（a1＋）＝－cosa1－sina1，cosa3＝cos（a1＋）＝－cosa1＋sina1，因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cosa1＝cosa2≠cosa3，cosa1＝cosa3≠cosa2，cosa2＝cosa3≠cosa1.下面逐一讨论：①当cosa1＝cosa2≠cosa3时，有cosa1＝－cosa1－sina1，得tana1＝－，所以ab＝cosa1（－cosa1＋sina1）＝－cos2a1＋sina1cosa1＝＝＝＝－.②当cosa1＝cosa3≠cosa2时，有cosa1＝－cosa1＋sina1，得tana1＝，所以ab ＝cosa1（－cosa1－sina1）＝－cos2a1－sina1cosa1＝＝＝＝－.③当cosa2＝cosa3≠cosa1时，有－cosa1－sina1＝－cosa1＋sina1，得sina1＝0，所以ab＝cosa1（－cosa1－sina1）＝－cos2a1＝－（1－sin2a1）＝－.综上，ab＝－，故选B.方法二　取a1＝－，则cosa1＝，cosa2＝cos（a1＋）＝，cosa3＝cos（a1＋）＝－1，所以S＝，ab＝－，故选B.9．B　设年龄最小者的年龄为n，年龄最大者的年龄为m（m∈[90，100]），所以n＋（n＋1）＋…＋（n＋18）＋m＝1520，所以19n＋m＝1349，所以m＝1349－19n，所以90≤1349－19n≤100，所以65≤n≤66，因为年龄为正整数，所以n＝66，故选B.10．A　题图中的阴影小三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，分别为a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3＝33，因此{an}的通项公式可以是an＝3n－1.故选A.11．B　由an＋an＋1＝得4nan＋4nan＋1＝1，取n＝1，2，3，…，n，得到n个等式并两边相加得（4a1＋42a2＋43a3＋…＋4nan）＋（4a2＋42a3＋…＋4nan＋1）＝n，因为Sn＝a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an，a1＝1，得4Sn＋（Sn－a1＋4nan＋1）＝n，整理得5Sn＝n＋1－4nan＋1又4nan＋4nan＋1＝1，所以5Sn－4nan＝n＋1－4nan＋1－4nan＝n＋1－（4nan＋4nan＋1）＝n.故选B.12．C　由an＋1＝得，＝＋1，则＋1＝2由a1＝1，得＋1＝2，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列， ∴＋1＝2×2n－1＝2n，由bn＋1＝（n－2λ）·（n∈N*），得bn＋1＝（n－2λ）·2n，因为数列{bn}是单调递增数列，所以n≥2时，bn＋1>bn，∴（n－2λ）·2n>（n－1－2λ）·2n－1，即λ<，所以λ<，又∵b1＝－λ，b2＝（1－2λ）·2＝2－4λ，由b2>b1，得2－4λ>－λ，得λ<，综上：实数λ的取值范围是.故选C.13．答案：－2解析：因为等比数列{an}的前n项和Sn＝a＋b·2n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（a＋b·2n）－（a＋b·2n－1）＝b·2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝a＋2b＝b·20，所以a＋b＝0①，又a2，9，a5成等差数列，所以a2＋a5＝18，即2b＋24·b＝18②由①②解得a＝－1，b＝1，所以a－b＝－2.14．答案：an＝解析：由Sn＝n2an，可得当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2an－1，则an＝Sn－Sn－1＝n2an－（n－1）2an－1，即（n2－1）an＝（n－1）2an－1，故＝，所以an＝···…···a1＝···…·××1＝. 当n＝1，a1＝1满足an＝.故数列{an}的通项公式为an＝.15．答案：4　220解析：当n≥2时，由2Sn＝anan＋1　①，得2Sn－1＝an－1an　②.①－②，得2an＝anan＋1－an－1an.因为an>0，所以an＋1－an－1＝2，所以a4－a2＝2.又2a1＝2S1＝a1a2，所以a2＝2，所以a4＝a2＋2＝4.由an＋1－an－1＝2知数列{an}的奇数项与偶数项分别构成公差为2的等差数列，又a1＝a2＝2，所以S20＝2×＝220．16．答案：（1，＋∞）　4039解析：由已知a1q2019＝1⇒a1＝，结合0<a1<1知0<<1，解得q>1，故q的取值范围为（1，＋∞）.由于{an}是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列．要使＋＋…＋≤0成立，则a1＋a2＋…＋am≤＋＋…＋，即≤，将a1＝代入整理得：qm≤q4039⇒m≤4039，故最大正整数m＝4039.