统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练4函数与导数理（附解析）

函数与导数(4)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2023·河北省六校联考]设a＝log2，b＝，则有(　　)A．a＋b>abB．a＋b<abC．a＋b＝abD．a－b＝ab2．[2023·山东烟台市高三二模]已知函数f(x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝，则方程f(x)＋x2＝2根的个数为(　　)A．3B．4C．5D．63．[2023·广东佛山市高三模拟]函数f(x)＝(x－π)sinx＋1在区间[－2π，4π]上的所有零点之和为(　　)A．0B．πC．4πD．8π4．[2023·四川雅安市高三模拟]函数y＝a3－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在双曲线－＝1(m>0，n>0)上，则m－n的最大值为(　　)A．6B．4C．2D．15．[2023·河北张家口、邢台、衡水联考]函数f(x)＝的大致图象为(　　)　6．[2023·福建省龙岩市六市区一中高三联考]若函数f(x)＝(a∈R)在R上没有零点，则a的取值范围是(　　)A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)∪{0}C．(－∞，0]D．(－∞，1]7．[2023·广东高三模拟]下列函数中，既是奇函数又在区间(0，1)上单调递增的是(　　) A．y＝xB．y＝x＋C．y＝ex－e－xD．y＝log2|x|8．[2023·湖南高三二模]若2a＝3，3b＝2，lnc＝a，则a，b，c的大小关系是(　　)A．c>a>bB．a>b>cC．c>b>aD．a>c>b9．[2023·安徽黄山市高三模拟]设函数f(x)＝，若函数y＝f(x)在区间(m，m＋1]上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)A．[2，3]B．(2，3)C．(2，3]D．[2，3)10．[2023·四川成都市高三模拟]已知函数f(x)＝loga(x－1)＋1，(a>0，a≠1)恒过定点A，过定点A的直线l：mx＋ny＝1与坐标轴的正半轴相交，则mn的最大值为(　　)A．B．C．D．111．[2023·黑龙江哈尔滨市哈九中高三月考]已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝－x＋m(m>0)与y＝f(x)的图象相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2的取值范围是(　　)A．B．C．D．12．[2023·全国高三模拟]已知函数f(x)＝则方程(x－1)f(x)＝1的所有实根之和为(　　)A．2B．3C．4D．1[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2023·浙江温州市模拟]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f(2017)＝2018，f(2018)＝2019，f(2019)＝2020，则f(2020)＝________．14．[2023·福建省莆田第二十五中学高三期中]已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．15．[2023·山东省菏泽市高三模拟]已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋6)－f(x)＝3f(3)，若y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，且f(1)＝3，则f(2021)＝________． 16．[2023·全国乙卷(理)]设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．函数与导数（4）1．A　∵a＝log2＝－log23，<log23<2，∴－<－log23<－，即－<a<－，b＝>＝，∴a＋b>0，ab<0，∴a＋b>ab.故选A.2.D　要求方程f（x）＋x2＝2根的个数，即为求f（x）与y＝2－的交点个数，由题设知，在（0，＋∞）上的图象如图所示，∴由图知：有3个交点，又由f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上是偶函数，∴在（－∞，0）上也有3个交点，故一共有6个交点．故选D.3．D　由f（x）＝（x－π）sinx＋1＝0得sinx＝，作出y＝sinx和y＝的图象，如图，它们关于点（π，0）对称，由图象可知它们在[－2π，4π]上有8个交点，且关于点（π，0）对称，每对称的两个点的横坐标和为2π，所以8个点的横坐标之和为8π.故选D.4．B　设y＝f（x）＝a3－x，因为y＝f（3）＝1，所以点A的坐标为（3，1）， 又因为点A在双曲线－＝1上，所以－＝1，因此m－n＝1·（m－n）＝（m－n）＝10－－＝10－≤10－2＝4，当且仅当＝时取等号，即n＝2，m＝6时取等号，故选B.5．C　因为f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，排除D.因为f（0）＝，所以排除B.因为f（2）＝＝－，而0<<<1，所以f（2）∈（－1，0），排除A.选C.6．B　由函数f（x）＝（a∈R）在R上没有零点，当x≤0时，令2x－a＝0，解得a＝2x∈（0，1]，若方程无解，可得a>1或a≤0，当x>0，令－3x－a＝0，解得x＝－，若方程无解，则－≤0，解得a≥0.所以a的取值范围是（1，＋∞）∪{0}．故选B.7．C　函数y＝x的定义域是[0，＋∞），所以函数是非奇非偶函数，故A错误；y＝x＋在（0，1）上单调递减，故B错误；因为f（－x）＝e－x－ex＝－（ex－e－x）＝－f（x），所以函数是奇函数，且在（0，1）上单调递增，故C正确；因为f（－x）＝log2|－x|＝log2|x|＝f（x），所以函数是偶函数，故D错误；故选C.8．A　log22<log23<log24，log31<log32<log33，elog23>e1＝e，所以a＝log23∈（1，2），b＝log32∈（0，1），又c＝ea>e，故c>a>b.故选A.9.A　函数f（x）＝的图象如图所示，函数f（x）在（－∞，2]以及（4，＋∞）上递增，在[2，4）上递减，故若函数y＝f（x）在区间（m，m＋1]上单调递减， 需满足2≤m且m＋1≤4，即2≤m≤3，故选A.10．C　令x－1＝1，即x＝2，得f（1）＝1，则A（2，1），则2m＋n＝1且m>0，n>0，由2m＋n≥2⇒1≥2⇒mn≤.当且仅当m＝，n＝时，等号成立，故选C.11．D　作出函数f（x），g（x）的图象如图，不妨设x1<x2，当y＝g（x）经过点时，m＝，联立，得x＝，所以x2∈；因为y＝log2与y＝2x－的图象关于直线y＝x对称，而y＝－x＋m与y＝x垂直，所以x1＋x2＝log2＋x2，且x2∈.令h（x）＝log2＋x，且x∈，则易知h（x）为增函数，所以h（1）≤h（x）<h，因为h（1）＝log23，h＝，所以x1＋x2∈.故选D.12．A　当x>1时，2－x<1，所以f（2－x）＝－ln[2－（2－x）]＝－lnx＝－f（x），当x<1时，2－x>1，所以f（2－x）＝ln（2－x）＝－f（x），当x＝1时，f（1）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称．显然x＝1不是方程的根， 当x≠1时，原方程可变为f（x）＝，画出函数y＝f（x）和y＝的图象（如图所示），由图知，二者仅有两个公共点设为A（x1，y1），B（x2，y2），因为函数y＝f（x）和y＝的图象都关于点（1，0）对称，所以A，B关于点（1，0）对称，所以＝1，即x1＋x2＝2.故选A.13．答案：2027解析：因为函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，又f（2017）＝2018，f（2018）＝2019，f（2019）＝2020，所以x3＋ax2＋bx＋c＝x＋1的根为2017，2018，2019，即方程x3＋ax2＋（b－1）x＋c－1＝0的根为2017，2018，2019，所以x3＋ax2＋（b－1）x＋c－1＝（x－2017）（x－2018）（x－2019），所以f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c＝（x－2017）（x－2018）（x－2019）＋x＋1，所以f（2020）＝（2020－2017）×（2020－2018）×（2020－2019）＋2020＋1＝2027.14．答案：5解析：令y＝2f2（x）－3f（x）＋1＝0可得f（x）＝1或f（x）＝，当f（x）＝1时，由f（x）＝可得x＝10或0或，三个解；当f（x）＝时，由f（x）＝可得两个解，故答案为5.15．答案：3解析：因为y＝f（x＋1）的图象关于直线x＝－1对称，所以f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，令x＝－3则f（－3＋6）－f（－3）＝3f（3），所以f（3）－f（－3）＝3f（3）， 又f（－3）＝f（3），则f（3）＝0f（x＋6）＝f（x），所以周期为6，所以f（2021）＝f（－1）＝f（1）＝3.16．答案：[，1）解析：由题意得当x>0时，f′（x）＝axlna＋（1＋a）xln（1＋a）＝ax≥0，设g（x）＝lna＋ln（1＋a），因为ax>0，所以g（x）≥0.因为a∈（0，1），所以ln（1＋a）>0，＋1>1，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，故只需满足g（0）≥0，即lna＋ln（1＋a）＝ln（a＋a2）≥0，所以a＋a2≥1，解得a≤－或a≥，又0<a<1，所以a的取值范围为[，1）.