统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练5函数与导数文（附解析）

函数与导数(5)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2023·全国甲卷(文)]曲线y＝在点(1，)处的切线方程为(　　)A．y＝xB．y＝xC．y＝x＋D．y＝x＋2．[2023·安徽模拟]函数y＝log(－x2＋4x＋12)单调递减区间是(　　)A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－2，2)D．(－2，6)3．[2023·湖南岳阳三校10月联考]过曲线y＝ex－x外一点(e，－e)作该曲线的切线l，则切线l在y轴上的截距为(　　)A．－eeB．－ee＋2C．－ee＋1D．ee＋24．[2023·昆明市“三诊一模”教学质量检测]曲线y＝xe－2x＋1在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　)A．eB．C．D．5．[2023·山东青岛市高三二模]已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：甲：f(x)是奇函数；乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减；丁：函数f(x)的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是(　　)A．甲B．乙C．丙D．丁6．[2023·辽宁葫芦岛第二次测试]已知y＝f(x－1)是定义在R上的偶函数，且y＝f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则不等式f(－2x－1－1)<f(3)的解集为(　　)A．(2，＋∞)B．(3，＋∞)C．(－∞，2)D．(－∞，3)7．[2023·全国甲卷(文)]已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f()，b＝f()，c＝f()，则(　　)A．b>c>aB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b 8．[2023·江苏省启东市高三模拟]已知定义域为R的函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，且f(4－x)＋f(x)＝0，则使得不等式f(x2＋x)＋f(x＋1)<0成立的实数x的取值范围是(　　)A．－3<x<1B．x<－1或x>3C．x<－3或x>1D．x≠－19．[2023·河南洛阳月考]已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，当x≥0时，恒有f′(x)＋f(x)≥0，则不等式x3f(x)－(1＋2x)3f(1＋2x)<0的解集为(　　)A．{x|－3<x<－1}B．{x|－1<x<－}C．{x|x<－3或x>－1}D．10．[2023·全国乙卷(文)]函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)B．(－∞，－3)C．(－4，－1)D．(－3，0)11．[2023·江西九江部分重点中学联考]函数f(x)＝(2ax－1)2－loga(ax＋2)在区间上恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)A．B．(0，2]∪[3，＋∞)C．(1，2)∪[3，＋∞)D．[2，3)12．[2023·河南新乡市高三模拟]已知函数f(x)＝.若关于x的方程f(x)－a|x|＝0恰有两个不同的实根，则a的取值范围是(　　)A．(1，5)B．[1，5]C．(1，5)∪{0}D．[1，5]∪{0}[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2023·福建省莆田第一中学高三期中]函数f(x)＝ex＋sinx在点(0，1)处的切线方程为________．14．[2023·安徽师范大学附属中学]函数f(x)＝x2－2lnx＋x的极值点是________．15．[2023·福建高三二模]已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]的所有零点之和为________．16．[2023·黑龙江大庆市高三二模]定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则函数f(x)的图象与g(x)＝的图象的交点个数为 ________．函数与导数（5）1．C　由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝y′|x＝1＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝（x－1），即y＝x＋，故选C.2．C　令y＝logu，u＝－x2＋4x＋12.由u＝－x2＋4x＋12>0，得－2<x<6.因为函数y＝logu是关于u的递减函数，且x∈（－2，2）时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，所以y＝log（－x2＋4x＋12）为减函数，所以函数y＝log（－x2＋4x＋12）的单调减区间是（－2，2）.故选C.3．B　对y＝ex－x求导，得y′＝ex－1.设切点为（x0，ex0－x0），则切线l的斜率为k＝ex0－1，所以切线方程为y－（ex0－x0）＝（ex0－1）（x－x0）.因为切线过点（e，－e），所以－e－ex0＋x0＝（ex0－1）（e－x0），解得x0＝e＋1，所以切线方程为y－ee＋1＋e＋1＝（ee＋1－1）（x－e－1）.令x＝0，求得y＝－ee＋2.故选B.4．C　根据题意知，切点为，y′＝e－2x＋1－2xe－2x＋1，所以切线的斜率k＝－，切线方程为y－＝－（x－1），即y＝－x＋，则切线与两坐标轴的交点为（2，0），，所以三角形的面积S＝×2×＝，故选C.5．D　由连续函数f（x）的特征知：由于区间[－1，1]的宽度为2，所以f（x）在区间[－1，1]上单调递减与函数f（x）的周期为2相互矛盾，即丙、丁中有一个为假命题；若甲、乙成立，即f（－x）＝－f（x），f（x＋1）＝f（1－x），则f（x＋2）＝f（x＋1＋1）＝f[1－（1＋x）]＝f（－x）＝－f（x），所以f（x＋4）＝f（x＋2＋2）＝－f（x＋2）＝f（x），即函数f（x）的周期为4， 即丁为假命题．由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，故选D.6．D　因为函数y＝f（x－1）是定义在R上的偶函数，所以y＝f（x－1）的图象关于y轴对称．因为y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度得到y＝f（x－1）的图象，所以y＝f（x）的图象关于直线x＝－1对称．因为y＝f（x）在[－1，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，－1）上单调递减．易知－2x－1－1<－1且f（3）＝f（－5），所以f（－2x－1－1）<f（3）可转化为－2x－1－1>－5，所以2x－1<4，解得x<3，所以原不等式的解集为（－∞，3），故选D.7．A　函数f（x）＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（）＝f（2－），又＜2－＜＜1，所以f（）＜f（2－）＜f（），所以b>c>a，故选A.8．C　f（4－x）＋f（x）＝0，则f（x）关于（2，0）对称，因为f（x）在[2，＋∞）上单调递减，所以f（x）在R上单调递减，所以f（x＋1）＝－f（3－x），由f（x2＋x）＋f（x＋1）<0得f（x2＋x）－f（3－x）<0，所以f（x2＋x）<f（3－x），所以x2＋x>3－x，解得x>1或x<－3.故选C.9．D　令g（x）＝x3f（x），则g′（x）＝3x2[f（x）＋f′（x）].当x≥0时，恒有f′（x）＋f（x）≥0，即当x≥0时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，＋∞）上单调递增．易知f（－x）＝－f（x），所以g（－x）＝－x3f（－x）＝g（x），即g（x）为偶函数．由x3f（x）－（1＋2x）3f（1＋2x）<0，可得g（x）<g（1＋2x），所以g（|x|）<g（|1＋2x|），解得x>－或x<－1，故选D.10．B　由题意知f′（x）＝3x2＋a，要使函数f（x）存在3个零点，则f′（x）＝0 要有2个不同的根，则a<0.令3x2＋a＝0，解得x＝±.令f′（x）>0，则x<－或x>，令f′（x）<0，则－<x<.所以f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，）上单调递减，所以要使f（x）存在3个零点，则即，解得>1，即a<－3.故选B.11．D　由题意可知a>0且a≠1，函数f（x）＝（2ax－1）2－loga（ax＋2）在区间上恰有一个零点，即函数g（x）＝（2ax－1）2的图象与函数h（x）＝loga（ax＋2）的图象在区间上恰有一个交点．①当0<a<1时，h（x）＝loga（ax＋2）在区间上单调递减，则loga3＝h≤h（x）≤h（0）＝loga2<0，因此h（x）的图象在x轴下方，而函数g（x）＝（2ax－1）2的图象恒在x轴上方（含x轴），所以此时函数g（x）的图象与函数h（x）的图象没有交点，不符合题意．②当a>1时，h（x）＝loga（ax＋2）在区间上单调递增，要使函数g（x）的图象与函数h（x）的图象在区间上恰有一个交点，必有解得2≤a<3.综上可知，实数a的取值范围是[2，3）.故选D.12．C　当x＝0时，f（0）＝1≠0，故x＝0不是方程f（x）－a|x|＝0的根，当x≠0时，由f（x）－a|x|＝0得，a＝，方程f（x）－a|x|＝0恰有两个不同的实根等价于直线y＝a与函数y＝的图象有两个不同的交点，作出函数y＝f（x）的大致图象如图所示， 由图可知，a＝0或1<a<5.故选C.13．答案：y＝2x＋1解析：因为函数f（x）＝ex＋sinx，所以f′（x）＝ex＋cosx，所以f′（0）＝2，f（0）＝1，所以函数在点（0，1）处的切线方程为：y－1＝2x，即y＝2x＋1，故答案为y＝2x＋1.14．答案：1解析：f（x）＝x2－2lnx＋x的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝x－＋1＝（x＋2）（x－1），所以令f′（x）>0，解得x>1，令f′（x）<0，解得x<1，所以x＝1为f（x）＝x2－2lnx＋x的极值点．15．答案：解析：x≤0时，x＋1＝0，x＝－1，由f（x）＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝；x>0时，log2x＝0，x＝1，由f（x）＝1，可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；∴函数y＝f[f（x）]的所有零点为－2，，0，2，所以所有零点的和为－2＋＋0＋2＝.16．答案：7解析：由题意知：f（x）的周期为2，当x∈[－1，1]时，f（x）＝x2，∴f（x）、g（x）的图象如图： 即f（x）与g（x）共有7个交点．