统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练10立体几何理（附解析）

立体几何(10)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，要得到直线m⊥平面β，还需要补充的条件是(　　)A．m⊂αB．m∥αC．m⊥lD．m⊂α且m⊥l2．[2023·洛阳统考]设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)A．若a平行于α内的无数条直线，则a∥αB．若a∥α，a∥b，则b平行于α内的无数条直线C．若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥bD．若a∥β，α⊥β，则α∥β3．[2023·全国乙卷(理)]如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为(　　)A．24B．26C．28D．304．[2023·云南师大附中高三月考]已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB＝2，AC＝AD＝4，CD＝2，则球O的表面积为(　　)A．20πB．18πC．36πD．24π5．[2023·河南省名校联考]已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是(　　)A．α∥β，m∥α，则m∥βB．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βD．m⊥α，m∥n，α∥β，则n⊥β6．[2023·浙江省路桥中学高三模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　) A．2B．4C．6D．127．[2023·“超级全能生”高三联考]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)A．B．4πC．D．8π8．[2023·陕西省名校高三下学期检测]如图所示的是某多面体的三视图，其中A和B分别对应该多面体的两个顶点，则这两个顶点的距离为(　　)A．B．2C．D．9.[2023·全国高三月考]如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平 行四边形，且AB＝AC＝BD，E为CD的中点，则下列说法不正确的是(　　)A．BD⊥平面PACB．平面PAB⊥平面PAEC．若F为PB的中点，则CF∥平面PAED．若PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成角为10．[2023·全国高三月考]底面为正三角形的直棱柱ABCA1B1C1中，AB＝8，AA1＝6，M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成的角的余弦值为(　　)A．B．C．D．11.[2023·宁夏银川二中高三二模]如图，正四棱锥PABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形．若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为(　　)A．B．C．D．12．[2023·全国乙卷(理)]已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　)A．πB．πC．3πD．3π[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2023·重庆市八中高三检测]若圆锥轴截面面积为2，母线与底面所成角为60°，则体积为________．14．[2023·安徽省名校大联考]已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，点N在侧面ADD1A1内，若BM⊥A1N，则△ABN面积的最小值为________．15．[2023·湖北高三二模]在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，且 AB⊥BC.若该三棱柱的外接球半径是2，则三棱锥C1ABC体积的最大值为________．16．[2023·辽宁高三一模]已知圆柱底面圆心分别为O1，O2，圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面、圆柱侧面均相切，过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为12，若P为圆柱底面圆弧CD的中点，则平面PAB与球O的交线长为________．立体几何（10）1．D　选项A，B，C的条件都不能得到直线m⊥平面β.而补充选项D后，可以得到直线m⊥平面β.理由如下：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．故选D.2．B　选项A，若a平行于α内的无数条直线，则a⊂α或a∥α，A错误；选项B，若a∥α，a∥b，则b⊂α或b∥α，两种情况都能得到b平行于α内的无数条直线，B正确；选项C，由α⊥β，a⊂α，b⊂β无法确定直线a，b的关系，C错误；选项D，由a∥α，α⊥β无法确定直线a与平面β的关系，D错误．3．D　作出该零件的直观图如图所示，该零件可看作是长、宽、高分别为2，2，3的长方体去掉一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体所得，其表面积为2×（2×2＋2×3＋2×3）－2×1×1＝30，故选D.4．A　因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，∴BC＝BD＝＝2，在△BCD中，CD＝2，∴CD2＝BC2＋BD2，∴BC⊥BD.如图所示：三棱锥ABCD的外接球即为长方体AGFHBCED的外接球， 设球O的半径为R，则2R＝＝＝2，解得R＝，所以球O的表面积为20π，故选A.5．D　对于A选项，α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，所以A选项错误．对于B选项，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，只有加上条件m与n相交时，才有结论α∥β，所以B选项错误．对于C选项，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以C项错误．对于D选项，m⊥α，m∥n，则n⊥α，又α∥β，则n⊥β，所以D选项正确．故选D．6．A　由三视图可知该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，如图所示，所以该几何体的体积为×（1＋2）×2×2＝2，故选A.7．C　由三视图还原原几何体如图，该几何体是半径为2的半球内部挖去一个圆锥，圆锥的底面与半球的大圆面重合，圆锥的高为半球的半径．则该几何体的体积V＝×π×23－π×22×2＝.故选C.8．D　根据题意可得如图所示直观图，为一组合体，底面为直角梯形，侧棱垂直底面，所以BE＝＝，由高AE＝1，所以两个顶点的距离为＝＝，故选D.9．D　设底面平行四边形ABCD的对角线相交于点O.则O为BD，AC的中点，由AB＝AC＝BD， 在△BCO中，OB2＋OA2＝BD2＋＝BD2，AB2＝BD2，所以OB2＋OA2＝AB2，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AP，又AP∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，故选项A正确．由上有BD⊥AC，可知底面平行四边形ABCD为菱形．由AB＝AC，则AD＝AC，又E为CD的中点，所以AE⊥CD，即AE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以AE⊥AP，又AP∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB，又AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE，故选项B正确．如图取AP的中点H，连结FH，EH,由H为AP的中点，F为PB的中点，则HF∥AB且HF＝AB，又AB∥CD，且AB＝CD，E为CD的中点，所以HF∥CE且HF＝CE，所以四边形CFHE为平行四边形，则FC∥EH,又EH⊂平面PAE，CF⊄平面PAE，所以CF∥平面PAE，故选项C正确．连结PO，由选项A的证明过程可知BD⊥平面PAC，所以直线PB在平面PAC上的射影为PO,所以∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角．由PA＝AB＝2，则PB＝2，由AB＝AC，则AO＝1，所以OB＝.在直角△BPO中，sin∠BPO＝＝＝，所以∠BPO≠，故选项D不正确．故选D.10．C　 如图，||＝||＝＝2，·＝（＋）·＝·＝＋·＋·＋·＝36＋×8×8×＝28，∴cos〈，〉＝＝，故选C.11．A　设球M、球O的半径分别为R，r，AB＝a，连接PO，BO，如图，因为正四棱锥PABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形，在Rt△POB中，OB＝，PB＝a，所以PO＝，所以OB＝OA＝OC＝OD＝OP＝R＝，因为半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，所以4×S△PAB·r＝×a2·r＝×a2×a，解得r＝a，则半球O的体积与球M的体积的比为＝×＝，故选A.12．B　在△AOB中，AO＝BO＝，∠AOB＝，由余弦定理得AB＝＝3，设等腰三角形PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝×3h＝，解得h＝，由勾股定理得母线PA＝＝3，则该圆锥的高PO＝＝，所以该圆锥的体积为×3π×＝π，故选B.13．答案：π解析：如图△ABP的面积为2，∠PAO＝60°，所以PO＝AO， S△ABP＝×2AO×PO＝AO×AO＝2，所以AO＝，PO＝，所以圆锥的体积V＝×π×AO2×PO＝×2×＝.14.答案：解析：如图，分别取AD，BC的中点E，F，连接A1E，EF，B1F，因为M为CC1的中点，所以BM⊥B1F，且A1E∥B1F，所以BM⊥A1E，所以点N在线段A1E上，因为AA1＝2，AE＝1，所以A1E＝，点A到直线A1E的距离d＝＝，所以△ABN的面积的最小值为×2×＝.15．答案：解析：如图，由题意可知三棱柱ABCA1B1C1的外接球的直径为AC1，则AC1＝4，即AB2＋BC2＋C1C2＝AC＝16，从而2AB2＋C1C2＝16.三棱锥C1ABC的体积为V＝S△ABC·CC1＝×AB2·CC1＝－CC＋CC1.设f（x）＝－x3＋x（0<x<4），则f′（x）＝－x2＋（0<x<4）. 由f′（x）>0，得0<x<；由f′（x）<0，得4>x>.故f（x）≤f（x）max＝f＝.16．答案：π解析：因为球与圆柱的上下底面及母线均相切，∴四边形ABCD为正方形，其面积为12，则AB＝AC＝＝2，平面APB与球O的交线为圆形，如图，O1E即为截面圆的直径，由题意可得，O1P＝＝，O1O2＝2，Rt△O1O2P∽Rt△O1EO2，则＝，∴O1E＝＝＝.故交线长为π·O1E＝π.